现代数字信号处理复习题2014

现代数字信号处理技术复习题现代数字信号处理技术复习题 一、填空题一、填空题 1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起 始时间无关，只与时间间隔有关。 判断随机信号是否广义平稳的三个条件是： （1）x(t)的均值为与时间无关的常数： （C 为常数） ；Ctmx)( （2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：；)(),(),( xiixjix RttRttR （3）信号的瞬时功率有限，即：。)0( xx RD 高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类 噪声信号。 信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个 样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。 广义遍历信号 x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。 2、连续随机信号 f(t)在区间上的能量 E 定义为： 其功率 P 定义为： 离散随机信号 f(n)在区间上的能量 E 定义为： 其功率 P 定义为： 注意:(1)如果信号的能量 00，使 RLxf 2 a.e. B F0R 这里是 f(x)的 Fourier 变换，则称 f(x)是 B 频率截断的，这时，只要采样间隔，信号 f(x)按间隔 FB 进行采样就不会损失信息，而且，利用采样序列可按如下公式构造原信号 Znnf ; Znnx nx nfxf 1 1 sin 上式称为 Shannon 插值公式。 采样定理与尺度函数 尺度函数为： x x x 1 1 sin 写出 Shannon 小波的时域和频域表达式 频域形式为 2 0 2 1 0 2 在时间域可表示为 x xx xxx sin2sin 22 这就是一个 Shannon 小波。 写出两个不同的 Shannon 小波，并说明它们都是正交小波 x xx xxx sin2sin 22 2 1 2 1 22 2 1 2 1 sin 2 1 2sin tt t tt t 定义函数 t t t sin 则 其余 0 1 这时，函数族Zm Znnt m m ;22 2 是中的标准正交函数族。构造 L R 2 ZnntClosespanV m m m ;22 2 必生成的闭子空间，。可以验证是上的一个正交多分辨分析，这就是 L R 2 mZ tZmVm ; ; L R 2 Shannon 的多分辨分析。事实上，这里的闭子空间可以具体写成Vm m m FtfV2 , 0 ; ，即由那些截止频率不超过的能量有限的信号组成。mZVm m 2 这时，双尺度方程可由 Shannon 插值公式表示为 Zn n tnt n t2 2 1 122 12 12 2 故系数列为Znhn; 12 12 12 0,2 0 0 2 1 2 2 sin 2 1 kn k kkn n n n h k n 因此，构造方程的系数可写成gnZ n; kn k kkn n hg k n k n 2 21 2 1 0,2 0 1 2 1 1 1 1 1 由构造方程得到相应的正交小波函数为t 2 1 2 1 22 2 1 2 1 sin 2 1 2sin tt t tt t 在构造过程中涉及到的低通滤波器是 第 13 页，共 55 页 2 0 2 0 1 e 2 1 i Zn n n h 高通滤波器是 2 e 2 0 e i i 相应的矩阵 也是酉矩阵。 为了得到正交小波函数，利用频域计算比较方便。实际上，正交小波函数的频域形式可写成tt 2 i 2 i 2 i 2 i e 2 e 22 1e 22 e 于是，利用 Fourier 变换的性质可得 2 1 2 1 22ttt 它和前面的Shannon小波函数相比较，只是在时间轴上有半个单位的移动。但是，它们是完全不同的两个Shannon 小波。因为，它们生成空间的两个正交小波基是没有相同基函数的。 L R 2 42.说明 Haar 小波是正交小波(直接或 MRA)； 直接说明 Haar 小波是正交小波 Haar 小波是法国数学家 A.Haar 在二十世纪三十年代给出的。具体定义是 0,1 0 10.5 1 5 . 00 1 x x x xh 12 , 2 0 1222 2 222 2 j -j - j -1j -j 1j -j -j , kkx kxk kxk xh j j kj 对任意，有),(),( 2211 kjkj )()(, 2121, 2211 kkjjhh kjkj 以为例进行验证，如下图所示 0kk1;j0jjj 1k0k0jj 212121 2121 , ,; 其其, /, /, )()(),()()( , 0 1/2t412 41t02 2th2th1ththt),hth 011000 0dttt)hhthth 0dt1tt)hhthth 010100 1000 )()(),( )()(),( , , 即，函数族 ZZkjkxhxh j j kj , ; 222 , 构成函数空间的标准正交基，所以，Haar 函数 h(x)是正交小波，称为 Haar 小波。 RL2 定义函数:t 1 , 0 1 1 , 0 0 t t t 它是的特征函数，构造0 1, ZnntClosespanV m m m ;22 2 生成的闭子空间，。容易验证，是上的一个正交多分辨分析，这就是 L R 2 mZ tZmVm ; ; L R 2 Haar 的多分辨分析。实际上，这里的闭子空间具有如下的具体表表达形式Vm Zk k mm km hZkktkhththV 2 , ,122 , ; 即由能量有限的台阶函数组成，这些台阶函数的跳跃点至多出现在这样的点上，其中是任意整数。Vm2mkk 因为函数族 Zkkt; 是标准正交系，从而它必是的标准正交基。这时，双尺度方程是V0 12 2 1 2 2 1 2ttt 第 15 页，共 55 页 因此，所以，这样得到如下构造方程hh 01 1 2 gg 01 1 2 1 2 , 12 2 1 2 2 1 2ttt 是一个正交小波，容易看出，她与前面的 Haar 小波函数相差一个符号。构造过程中相应的低通滤波器是t i e1 2 1 高通滤波器是 i e1 2 1 e i 而且 ii ii e1e1 e1e1 2 1 是酉矩阵 * 43.从随机过程的平稳性上考虑，卡尔曼滤波的适用范围？ 答：卡尔曼滤波不仅适用于平稳随机过程，同样也适用于非平稳随机过程。 44.简述基于卡尔曼滤波理论的方法。 答： 为使自适应滤波器能工作在工作在平稳或非平稳的环境，可以借助于卡尔曼滤波器来推导自适应滤波算 法。卡尔曼滤波是线性无偏最小方差递推滤波，估计性能是最优的，且递推计算形式又能适应实时处理的需要 对于一个线性动态系统的卡尔曼滤波问题，可以用状态方程和测量方程来描述，前者以状态矢量刻画系统的动 态，后者描述系统中的测量误差。 假设研究离散线性动态系统的N维参数的状态矢量为，M维观察数据的测量矢量为，通常矢量( )x n( )y n 和都是随机变量，由他们表示系统模型的状态方程和测量分别为( )x n( )y n （1） 1 (1)(1, ) ( )( )X nnn x nv n （2） 2 ( )( ) ( )( )Y nC n x nv n 其中为系统在和时刻的状态转移矩阵，为已知的测量矩阵(1, )nn1nnNN( )C nNM 系统动态噪声和观察噪声的统计特性为 1( ) v n 2( ) v n ， （3） 1 ( )0E v n 11111 cov( ( ),( ) ( )( )( ) H nk v n v kE v n vkQ n ， （4） 2 ( )0E v n 22222 cov( ),( )( )( )( ) H nk v n v kE v n vkQ n （5） 1222 cov( ( ),( )( )( )0 H v n v nE v n vk “H”表示共轭转置；当n=k，=1，当nk，=0；噪声矢量和统计独立的。根据观察数据的 1( ) v n 2( ) v n 测量矢量，可求出系统状态的线性无偏最小方差估计。当时，这种最佳估计问题(1), (2),yy( )y n( )x iin 成为卡尔曼滤波；当时，则称为最优预测；两者之间存在密切的关系。in 45.什么叫白噪声? 答: 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 所有频率具有相同能量的随机噪声称为白 噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大。 46.若为均方连续的实平稳随机过程，则其自相关函数具有那些常用性质？在计算),(TttX)( X R)( X R 其功率谱时有什么作用？)( X S 答：（1）具有如下常用性质：)( X R （a）; 0)0( X R （b）=，是实偶函数；)( X R)( X R)( X R （c）|；)( X R)0( X R （d）若是周期为T的周期函数，即=，则；)(tX)(tX)(TtX)()(TRR XX （e）若是不含周期分量的非周期过程，当时，与相互独立，则)(tX|)(tX)(tX 。 _ | )(lim XXX mmR （2）若，根据辛钦维纳定理 dRX| )(| = deRS j XX )()()( X R deS j X )( 2 1 自相关函数和功率谱是一对傅里叶变换对。)( X R)( X S 47.什么叫白噪声? 答: 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 所有频率具有相同能量的随机噪声称为白 噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大。 48.简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。 信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号 各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都 发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实 功率谱，这就是功率谱估计。 功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加 窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方 法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。 49.在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ采样，然后对采到的N个抽样做N点DFT，所得离散谱线的间距相当 于模拟频率100HZ。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ能有一根谱线，于是他用8KHZ采样，对采到的2N 个样点做2N点DFT。问：他的目的能达到吗？ 答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。 提高采样频率 ， 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样 s fN 点一点也没有变得密集，这是因为数字频率总是对应模拟频率 。采样频率由到2 增加一倍，2 s f s f s f 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔 一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高NHz N f N f ss 100 2 2 数字频率的分辨率 ，不能提高模拟频率的分辨率。) 2 22 ( NN 50.在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？ 解：在 变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定DA/ 时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。 在 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波AD/ 平滑化，故又称为“平滑”滤波器。 51.什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？ 答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义 平稳的。所谓严平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。严平稳的随机过程 一定是宽平稳的，反之则不然。 52.已知LTI系统的传输函数为h（t） ，输入是实平稳随机过程X（t） ，输出是Y（t） ，求三)()()(thRR YX 和、 者间的关系？ 解：平稳随机过程经过LTI系统输出还是平稳随机过程，所以 第 17 页，共 55 页 )()()( )()()( )()()()( )()()()( )()()( hhR dudvvhuhvuR dudvvhuhvtXutXE dvvhvtXduuhutXE tYtYER X X Y 其中是卷积运算。 52.常用的自适应滤波理论与算法有哪些？ 从理论上讲，自适应滤波问题没有惟一的解。为了得到自适应滤波器及其应用系统，可以采用各种不同 的递推算法，这些自适应算法都有各自的特点，适用于不同场合。 常用的自适应滤波理论与算法有： （1） 、基于维纳滤波理论的方法。 （2） 、基于卡尔曼滤波理论的方法。 （3） 、基于最小均方误差准则的方法。 （4） 、基于最小二乘准则的方法。 53.简述自适应信号处理技术的应用 自适应滤波处理技术可以用来检测平稳的和非平稳的随机信号。常应用于： （1） 、自适应滤波与逆滤波。 （2） 、系统辨识。 （3） 、自适应均衡。 （4） 、自适应回波抵消。 （5） 、自适应噪声抵消与谱线增强。 （6） 、自适应谱估计。 （7） 、自适应波束形成。 （8） 、自适应神经智能信息处理。 （9） 、盲自适应信号处理。 54.自适应滤波器的特点及应用范围 答：由于滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪 声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即 具有学习和跟踪的性能。当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤波器特性变化以自适应改变 的情况时（2）当信号和噪声存在频谱重叠时（3）噪声占据的频谱是时变或未知。例如电话回声对消，雷达信 号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。 55.卡尔曼滤波和维纳滤波的关系及存在的问题。 答：卡尔曼滤波有一个过渡过程，而在稳态下与维纳滤波有相同的结果，是因为它们都是以最小均方误差为准 则的线性估计器。卡尔曼滤波与维纳滤波中解决最佳滤波的方法也不相同。维纳滤波是用频域及传递函数的方 法，而卡尔曼滤波是用时域及状态变量的方法，在理论上是维纳滤波的推广和发展，特别是在处理多变量系统， 时变线性系统及非线性系统的最佳滤波等领域，提供了一种比较有效的方法，克服了基于频域处理所遇到的困 难。困难包括：维纳滤波要求平稳，而卡尔曼滤波则不要求；他容许初始时间不是负无穷大，这在很多情况下 是有实际意义的；卡尔曼滤波的另一个不同点是把状态或信号过程的产生看成是白噪声激励有限维数系统的输 出；此外，维纳滤波要求过程的自相关函数和互关函数的简单(先验)知识，而卡尔曼滤波则要求时域中状态变 量及信号产生过程的详细知识。卡尔曼滤波在时域上采用线性递推形式对观测值进行处理，能实时地给出系统 状态的最优估计，并突破了单维输入和输出的限制。卡尔曼滤波算法的这些优点使它在信号和信息系统中得到 了比较广泛的应用。卡尔曼滤波算法在具体应用中也存在一些实际问题，包括： （1）模型误差和数值发散。 即使能够获得精确的模型，也常会因精确模型太复杂，维数过高而与实时处理必须减少计算量及尽量简化 模型的要求相矛盾。近似或化简的模型与精确模型之间存在误差，模型误差必然会给滤波带来影响，严重时还 会造成滤波结果不收敛。 2）实时要求。 影响卡尔曼滤波算法的实时性主要是状态维数 n 和增益矩阵的计算，它们往往有很大的计算量。一般 在计算中采取某些措施，例如应用定常系统新算法或在精度损失允许的情况下尽量减少维数等到措施，从而减 少计算量以满足实时滤波的要求。 56.卡尔曼滤波的特点 卡尔曼滤波具有以下的特点： 答：(1) 算法是递推的状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散 型卡尔曼算法适用于计算机处理。 (2) 用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可 以是平稳的，也可以是非平稳的， 即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。 (3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。 57.关于维纳滤波器的两个主要结论是什么？ 维纳滤波器最优抽头权向量的计算需要已经以下统计量：（1）输入向量的自相关矩阵；（2）输入( )u nR 向量与期望响应的互相关向量。( )u n( )d n 维纳滤波器实际上是无约束优化最优滤波问题的解。 58.分别解释“滤波”和“预测” 。 解：用当前的和过去的观测值来估计当前的信号y(n)=（n）称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来 s 的信号 ,N0,称为预测。 ( )()y ns nN 59.介绍维纳滤波和卡尔曼滤波解决问题的方法。 解：维纳滤波是根据全部过去观测值和当前观测值来估计信号的当前值，因此它的解形式是系统的传递函数 H(Z)或单位脉冲响应h(n)；卡尔曼滤波是用当前一个估计值和最近一个观测值来估计信号的当前值，它的解形 式是状态变量值。 维纳滤波只适用于平稳随机过程，卡尔曼滤波就没有这个限制。设计维纳滤波器要求已知 信号与噪声的相关函数，设计卡尔曼滤波要求已知状态方程和量测方程。 60.BT 谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。 答：（1）相关图法又称 BT 法，BT 谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行 平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。 （2）此方法的具体步骤是： 给出观察序列 ) 1(),.,1 (),0(Nxxx ，估计出自相关函数： mN n NmN，mnxnx N mR 1 0 11)()( 1 )( 对自相关函数在（-M，M）内作 Fourier 变换，得到功率谱： mj M Mm emmRS )()( )( 式中，一般取 1 Nm ， )(m 为一个窗函数，通常可取矩形窗。 可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。 61.对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳辛欣定理的主要内容。 答：(1)连续时间信号相应的维纳辛欣定理主要内容： 连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系： 第 19 页，共 55 页 )()()( x j xx RFdeRS d eSR j xx )( 2 1 )( (2)离散时间信号相应的维纳辛欣定理主要内容： 离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系： mj m x j x emReS )()( deeSmR mjj xx )( 2 1 )( 62.AR 谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？ 答：（1）AR 谱估计的基本原理是：阶的 AR 模型表示为：p p i i nuinxnx 1 )()()( 其自相关函数满足以下 YW 方程： 取，可得到如下矩阵方程：pm,.,2 , 1 , 0 在实际计算中，已知长度为 N 的序列，可以估计其自相关函数，再利用以上矩阵方程，直接求出)(nx)( mRx 参数及，于是可求出的功率谱的估计值。 p ,., 21 2 )(nx 63.已知信号模型为 s（n）=s(n-1)+w(n),测量模型为 x(n)=s(n)+v(n),这里 w(n)和 v(n)都是均值为零的白噪声，其 方差分别为 0.5 和 1，v(n)与 s(n)和 w(n)都不相关。现设计一因果 IIR 维纳滤波器处理 x(n)，以得到对 s(n)的最 佳估计。求该滤波器的传输函数和差分方程。 解：根据信号模型和测量模型方程可看出下列参数值：a=1，c=1，Q=0.5，R=1。将它们代入 Ricatti 方程 Q=Pa2RP/(R+c2P) 得 0.5=PP/(1+P) 解此方程得 P=1 或 P=-0.5，取正解 P=1。 再计算维纳增益 G 和参数 f:G=cp/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 f=Ra/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 故得因果 IIR 维纳滤波器的传输函数和差分方程分别如下： Hc(z)=G/(1fz-1)=0.5/(10.5z-1) （n）=0.5(n-1)+0.5x(n) 64.简述 AR 模型功率谱估计步骤。 步骤步骤 1：根据 N 点的观测数据 uN（n）估计自相关函数，得 )( mru ，m=0,1,2,p, 即 )()( 1 )( * 1 0 mnunu N mrN N n N u 步骤步骤 2：用 p+1 个自相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如 Levinson-Durbin 算法） ， 0 0 1 )0() 1()( ) 1()0() 1 ( )() 1 ()0( 2 1 p xxx xxx xxx RpRpR pRRR pRRR 求解 Yule-Walker 方程式，得到 p 阶 AR 模型参数的估计值 2 1,paaa 和 p 2 步骤步骤 3：将上述参数代入 AR（p）的功率表达式中，得到功率谱估计 )(wSAR ，即 p k jwk k p AR ea wS 1 2 2 |1| )( 65.白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。 答：设 t,X t 为实值平稳过程，若它的均值为零， 在时域中，其自相关函数仅在 0 点有一个冲击函数，在其他点均为 0； 在频域中，谱函数在所有频率范围内为非零的常数，则称 X(t)为白噪声过程。 66.简述 AR 模型功率谱估计的方法 答：（1）根据 N 点的观测数据估计自相关函数，得，即( ) N un( ),0,1,2,urm mp 1 * 0 1 ( )( )() N N u N i rmun unm N （2）用个自相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如 Levinson-Durbin1p A( ) u r m 算法） ，求解 Yule-Walker 方程 2 1 1(0)( 1)() ( 1)(0)(1)0 ()(1)(0)0 uuu uuu puuu rrrp arrrp arprpr 得到 p 阶 AR 模型的参数估计值和。 12,pa aa A 2 p （3）将上述参数带入 AR（p）的功率谱表达式中，得到功率谱估计式，即 A ( ) AR Sw A 2 2 1 ( ) |1| p AR p jwk k k Sw a e 67.简述 LMS 算法 答：（1）初始化， 权向量： 估计误差：0n A(0) w0 (0)(0)(0)(0)eddd 输入向量：(0)(0)( 1)(1)(0)00 T uuuMuu （2）对 权向量的更新：0,1,n AA * (1)( )( )( )nnn e nwwu 第 21 页，共 55 页 期望信号的估计： A (1)(1) (1) H d nnnwu 估计误差： (1)(1)(1)e nd nd n （3）令，转到（2）+1nn 三、计算题三、计算题 1.已知某离散时间系统的差分方程为 ) 1(2)()2(2) 1(3)(nxnxnynyny 系统初始状态为，系统激励为，1) 1(y2)2(y)()3()(nunx n 试求：（1）系统函数，系统频率响应。)(zH)( j eH （2）系统的零输入响应、零状态响应和全响应。)(nyzi)(nyzs)(ny 解：解：（1）系统函数为 23 2 231 21 )( 2 2 21 1 zz zz zz z zH 系统频率响应 23 2 )()( 2 2 jj jj ez j ee ee zHeH j 解一：解一：（2）对差分方程两端同时作 z 变换得 )(2)()2() 1()(2) 1()(3)( 1221 zXzzXzyzyzYzzyzYzzY 即：)( 231 )21 ( 231 )2(2) 1(2) 1(3 )( 21 1 21 1 zX zz z zz yyzy zY 上式中，第一项为零输入响应的 z 域表示式，第二项为零状态响应的 z 域表示式，将初始状态及激励的 z 变换 代入，得零输入响应、零状态响应的 z 域表示式分别为 3 )( z z zX 23 2 231 21 )( 2 2 21 1 zz zz zz z zYzi 3 23 2 3 231 21 )( 2 2 21 1 z z zz zz z z zz z zYzs 将展开成部分分式之和，得)(),(zYzY zszi 2 4 1 3 23 2)( 2 zz zz z z zYzi 3 2 15 2 8 1 2 3 3 1 23 2)( 2 2 zzzz zz zz z zYzs 即 2 4 1 3 )( z z z z zYzi 3 2 15 2 8 1 2 3 )( z z z z z z zYzs 对上两式分别取 z 反变换，得零输入响应、零状态响应分别为 )()2(43)(kky k zi )()3( 2 15 )2(8 2 3 )(kky kk zs 故系统全响应为 )()()(kykyky zszi )()3( 2 15 )2(12 2 9 k kk 解二、解二、 （2）系统特征方程为，特征根为：，；023 2 1 1 2 2 故系统零输入响应形式为 k zi ccky)2()( 21 将初始条件，带入上式得1) 1(y2)2(y 解之得 ， 2) 4 1 ()2( 1) 2 1 () 1( 21 21 ccy ccy zi zi 3 1 c4 2 c 故系统零输入响应为： k zi ky)2(43)(0k 系统零状态响应为 3 23 2 3 231 21 )()()( 2 2 21 1 z z zz zz z z zz z zXzHzYzs 3 2 15 2 8 1 2 3 3 1 23 2)( 2 2 zzzz zz zz z zYzs 即 3 2 15 2 8 1 2 3 )( z z z z z z zYzs 对上式取 z 反变换，得零状态响应为 )()3( 2 15 )2(8 2 3 )(kky kk zs 故系统全响应为 )()()(kykyky zszi )()3( 2 15 )2(12 2 9 k kk 2.回答以下问题：回答以下问题： （1）画出按时域抽取时域抽取点基基的信号流图。4NFFT2 （2）利用流图计算 4 点序列（）的。)4 , 3 , 1 , 2()(nx3 , 2 , 1 , 0nDFT （3）试写出利用计算的步骤。FFTIFFT 解：（1） )0( x ) 1 ( x )2( x ) 3( x )0(X ) 1 (X )2(X ) 3(X )0( 0 Q ) 1 ( 0 Q )0( 1 Q ) 1 ( 1 Q 1 1 1 j j k r 0 0 1 1 0 2 W 0 2 W 0 2 W 1 2 W k l 0 0 1 1 0 4 W 0 4 W 1 4 W 2 3 0 4 W 0 4 W 0 4 W 2 4 W 3 4 W 4 点按时间抽取 FFT 流图 加权系数 （2） 112)2()0() 1 ( 532)2()0()0( 0 0 xxQ xxQ 341)3() 1 () 1 ( 541)3() 1 ()0( 1 1 xxQ xxQ 第 23 页，共 55 页 1055)0()0()0( 10 QQX31) 1 () 1 () 1 ( 1 1 40 jQWQX 055)0()0()2( 1 2 40 QWQXjQWQX31) 1 () 1 ()3( 1 3 40 即： 3 , 2 , 1 , 0),31, 0 ,31,10()(kjjkX （3）1）对取共轭，得；)(kX)(kX 2）对做 N 点 FFT；)(kX 3）对 2）中结果取共轭并除以 N。 3.已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为 1414 . 1 1 )( 2 ss sHa 试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其 3dB 截止频率为rad，写出数字滤波器的系统函数，并5 . 0 c 用正准型正准型结构实现之。 （要预畸，设）1T 解：解：（1）预畸 2) 2 5 . 0 arctan( 2 ) 2 arctan( 2 TT c c （2）反归一划 4828 . 2 4 1) 2 (414 . 1 ) 2 ( 1 )()( 2 2 ss ss sHsH c s s a （3） 双线性变换得数字滤波器 4 1 1 2828 . 2 ) 1 1 2( 4 4828 . 2 4 )()( 1 1 2 1 12 1 12 1 1 1 1 2 1 1 z z z zss sHzH z z s z z T s 2 21 2 21 1716 . 0 1 )21 (2929 . 0 344 . 2 656.13 )21 (4 z zz z zz （4）用正准型正准型结构实现 2929. 0 1 z 1 z )(nx)(ny 2 1 1 1716. 0 1 3. 设有两个线性时不变系统如图所示，它们的频率响应函数分别为和。若两个系统输入同一个 1( ) H 2( ) H 均值为零的平稳过程，它们的输出分别为、。问如何设计和才能使、( )X t 1( ) Y 2( ) Y 1( ) H 2( ) H 1( ) Y 互不相关。 2( ) Y 1( ) H 1( ) Y t 解： 1 2 11 - 22 - 1122 ( )() ( )0, ( )() ( )0; ( )( )( ) YY E Y th tu E X t du E Y th tv E X t dv E Y t Y tR 其中，上式表明与的互相关函数只是时间函数的函数。由 12 tt 1( ) Y t 2( ) Y t 1 21 2 12 ( )( )( )( )( ) i YYYYX sRedHHs 故当设计两个系统的频率响应函数的振幅频率特性没有重叠时，则=0，从而有=0=， 1 2( ) YY s 1 2( ) YY R 1 2( ) YY B 即与互不相关。 1( ) Y t 2( ) Y t 4.已知式中=100HZ,以采样频率=400Hz对进行采样，得到采样信号和时 0 ( )2cos(2) a x tf t 0 f s f( ) a x t ( ) a x t 域离散信号，试完成下面各题：( )x n （1）写出的傅里叶变换表示式；( ) a x t() a Xj （2）写出和的表达式；( ) a x t( )x n （3）分别求出的傅里叶变换和的傅里叶变换。( ) a x t( )x n 解：（1） 00 0 ()( )2cos() () j tj t aa jtjtj t Xjx t edtt edt eeedt 上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成： 00 ()2 ()() a Xj （2） 0 0 ( )( ) ( )2cos() () ( )2cos(), aa nn x tx ttnTnTtnT x nnTn 5.用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数：50FHz （1）最小记录时间 minp T （2）最大取样时间 max T （3）最少采样点数 min N （4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N值。 解：（1）已知50FHz min 11 0.02 50 p Ts F （2） max 3 minmax 111 0.5 22 10 s Tms ff 2( ) H 2( ) Y t 第 25 页，共 55 页 （3） min 3 0.02 40 0.5 10 p T s N Ts （4）频带宽度不变就意味着采样间隔不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实频率分辩率提高1倍（T 变成原来的）F1 2 min 3 0.04 80 0.5 10 p T s N Ts 6.已知，分析其因果性和稳定性。1 0 , )1)(1 ( 1 )( 1 2 a azaz a zH 解： 的极点为，)(zH 1 ,za za （1） 收敛域，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位 1 za 脉冲响应，这是一个因果序列，但不收敛。 ( )() ( ) nn h naau n （2）收敛域，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应，az 0 ( )() (1) nn h naa un 这是一个非因果且不收敛的序列。 （3）收敛域，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单 1 aza 位脉冲响应，这是一个收敛的双边序列。 ( ) n h na 7.长度为N=10的两个有限长序列 95, 0 40, 1 )( 1 n n nx 95, 1 40, 1 )( 2 n n nx 作图表示、和(圆周卷积)，循环卷积区间长度L=10。)( 1 nx)( 2 nx)()()( 21 nxnxny 解：、和分别如题3解图（） 、 （） 、 （）所示)( 1 nx)( 2 nx)()()( 21 nxnxnyabc 8.若序列若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部为是因果序列，其傅里叶变换的实部为，求序列的，求序列的及其傅里叶变换及其傅里叶变换( )h n()1 cos( ) j R He ( )h n 。() j H e 解： 11 ()1 cos( )1( )( ) 22 jjjj n Ree n HeeeFT h nh n e 1 ,1 2 ( )1,0 1 ,1 2 e n h nn n 0,01,0 ( )( ),01,1 2( ),00, e e nn h nh n nn h n nother n /2 ()( )12cos 2 jj njj n H eh n eee 9.如图所示的RC电路，若输入电压的功率谱密度为X（） ，求输出电压的功率谱密度 Y（） 。 R CY()X() 解：RC电路系统的频率响应函数为 H（） = = Cj R Cj 1 1 1 1 RCj H（）= 2 1)( 1 2 RC 由线性系统的输出谱密度与输入谱密度之间的关系可得： Y（） = H（）* X（）= 2 1)( )X( 2 RC 10.设为一随机电报信号，其样本函数如图1所示，取+1，-1概率相等，在时间间隔内波形变号次数服( )X t 从参数为的泊松分布，即： () ( , ) ! n p ne n 求的自相关函数。( )X t 第 27 页，共 55 页 1 0 -1 t ( )X t 解：( ,) ( ) () x R t tE x t x t 在时间间隔内可能变号偶次，将同时取+1或-1，若变号奇次，( )X t( )X t()X t( )X t 将异号。()X t 当时，0 X( , )()( )( 1)