数学应用专业论文14062.docx_第1页
数学应用专业论文14062.docx_第2页
数学应用专业论文14062.docx_第3页
数学应用专业论文14062.docx_第4页
数学应用专业论文14062.docx_第5页
已阅读5页,还剩24页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

函数极限连续内容广泛,该论文主要介绍一元函数的极限与连续的相关内容。一、 函数极限1. 概念:函数极限定义的六种形式:(1)当时,有;(2)当时,有;(3)当时,有;(4),当xm时,有;(5),当xm时,有;(6),当xm时,有f(x)g.(8),当xm时,有f(x)g.(9),当xm时,有f(x)-g.注意:仅以x为例,对函数极限定义(1)中的和 的特性进行讨论: 该定义称为函数极限 定义(精确化定义),相当于数列极限的n 定义; 0x- 0,都(至少)有一个 与之相对应, 依赖于 ,但不是由 所唯一确定的,所以 是依赖于 而适当选取的,为此常记为 (;) ;一般说来, 越小, 也相应的要小一些,而且 可以取得更小些,但是定义中是要求由 0x- 推出f(x)-a 0 ,存在正数 ,使对一切 x ( ; ) 有f (x) u (a; ) ; 函数 f(x) 不以a为极限定义:0 ,正数 , 满足 0- 0 ,在坐标平面上画一条以直线y=a 为中心线,宽为2 的横带,则必存在以直线 x= 为中心线,宽为2的竖带;使函数y=f(x) 的图像在该竖带中的部分全部落在横带内,但是点 (x ;f() 可能例外(或无意义)。3. 函数极限的性质; 唯一性:若极限存在,则必是唯一的; 局部有界性:若极限存在,则存在 的某去心邻域,使得 f(x)在其内有界; 局部保号性:若=a0(或0),则对于任何正数ra(或rr0(或f(x)-r0); 保不等式性:设与都存在,且在某邻域内有f(x)g(x),则; 迫敛性:设=a,且在某内有f(x)g(x),则=a; 极限四则运算法则:若极限与都存在,则函数f(x)g(x),f(x)g(x),当x时极限也存在,且(1)=;(2);又若0,则f/g当x时极限存在,且有(3); 复合函数的极限 两个重要极限:;=e;4. 函数极限存在的条件:(1) 左极限=右极限;(2) 归结原则(海涅定理);(3) 柯西收敛准则;(4) 单调有界定理;二、 概述求函数极限的基本方法:1. 按定义证明(验证)极限:条件:已知极限值关键:寻找 使用方法(1) 求最大的;由不等式f(x)-a,直接解出0;(2) 适当放大法:若不等式f(x)-a,较为复杂,无法直接解出或求解过程较复杂,可先将f(x)-a化简,适当放大,成为关于的简单函数g()即f(x)-ag(),于是要使f(x)-a,只要g()0,只要取,则当0x-2时,f(x)-4=x-2.=4.例2.(用第(2)种方法)证明:=0证明:x2 , =2 令,当02-x时, 2=2=.=0. 例3.(用第(3)种方法) 证明: 证明:当x1时,有= 限制0x-10),则2x+11,于是,对任给的0,只要取=min,则当0x-1 时,便有x-10, ,当0x- 时,f(x)-a . 又f(x)-af(x)-a0时,1-x1而 =1 ,故由迫敛性得 =1;另一方面当x0 时,1m,f(y+nt)=f(y),即都有f(y),由的任意性知,f(y)=0. 又由于 y的任意性f(x) 0. 4.柯西收敛准则 叙述为:f(x)在 内有定义, 存在的充要条件为:任给,正数,使对,有。 方法:不需要知道函数的极限,即可判断函数极限的收敛性或发散性; 柯西收敛准则是极限理论中最为重要的理论之一,虽然常用来证明极限的收敛或发散,但尤其在证明极限发散时较为方便。 例1.(证明收敛) 已知f(x)在(a,b)上一致连续,证明: 存在。 证明:f(x)在(a,b)上一致连续,对且,都有。故当aa+,a =。不存在。5. 利用函数极限的四则运算法则求极限。 使用方法:(1)注意应用“函数极限的四则运算法则”的前提条件,即f(x)与g(x)的极限存在(x ),方可得到 f(x) g(x) ,f(x)g(x) ,(g(x)0及)的极限也存在且有, ,; (2)将函数进行适当的变形,使之各部分满足“数列极限的四则运算法则”的前提条件,然后利用运算法则求出函数的极限。 例1. 求极限 解: =2 =2(1-0-) =2-例2. 求极限解:当2xm时,m,使当xn时, n时,f(x) .二、 函数的连续性1. 函数f(x)在点连续的定义:设f(x)在点 的某邻域内有定义,f(x)在点连续可归纳为以下几种等价形式:(1) 极限形式:(2) 增量极限形式:,其中y=f(+)-f() (3) 语言:,:x-时,有f(x)-f() 0,0,x,有f(x) m.(2) 连续函数的局部保号性:若函数f(x)在点连续,且f()0,则f(x)在点的邻域保号,即若f()0(0, ,有f(x)0(0).5. 连续函数的整体性质(闭区间上连续函数的性质)(1) 有界性:若函数f(x)在闭区间上连续,则f(x)在上有界;(2) 最值性:若函数f(x)在闭区间上连续,则f(x)在上有最大值与最小值;(3) 介值定理1:若函数f(x)在闭区间上连续,m与m是f(x)在上的最大值与最小值,则c:mcm,使得f()=c;(4) 康托定理:f(x)在闭区间上连续,则f(x)在上一致连续;(5) 稠密定理:设函数f(x)在区间i上连续,如果对i中的任意的有理数q,f(x)具有性质p,则f(x)在区间i上具有性质p.6. 一致连续:设函数f(x)在区间i上有定义,若,i,当 时,有 0,使r(x)的点x的个数至多有有限多个(因为x=,则有r()=,或0p0,使得在内没有使式子成立的点,或x总有r(x)0,0,且为无理数,使=为r(x)的间断点,由的任意性知r(x)在有理点间断。 2. 设f(x)在(-,+)有定义,x(-,+)有f()=f(x),且f(x)在x=0 与x=1连续,证明f(x)为常值函数。 证明:由f()=f(x)得到对于任意的自然数n,x0,有f(x)=f()=f()=f(),由于f(x)在x=1连续及=0,所以x0,令n取极限,有f(x)=f(1). 再由

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论