随机变量函数的分布 毕业论文.doc

邢台学院2012届本科毕业论文本科毕业论文论文题目：随机变量函数的分布姓 名： 学 号：2010053110系（部）：数学系专 业：数学与应用数学班 级： 2010级接本1班 指导教师： 完成时间： 2012 年 4 月摘 要求随机变量的分布是概率论与数理统计的核心任务在自然界和社会生活中，很多随机变量可以表示成已知分布的随机变量的函数因此，随机变量函数的分布的求法是概率论的基本技巧本文总结了几种求随机变量函数的分布的方法关键词：随机变量；随机变量函数；分布；求法abstractrandom variable distribution is the probability theory and mathematical statistics the core task. on the nature and social life, many random variables can be expressed as the known distribution functions of random variables. therefore, the function of random variable distribution of probability theory basic skills. this paper summarizes several of the function of random variable distribution method.key words: random; variable distribution; function; method目 录引 言11.一维随机变量的函数的分布11.1一维离散型随机变量的函数的分布11.2一维连续型随机变量的函数的分布22.二维随机变量的函数的分布62.1二维离散型随机变量的函数的分布62.2二维连续型随机变量的函数的分布7致 谢12参 考 文 献13引 言在概率论与数理统计中，随机变量函数的分布是值得我们研究的重点问题寻求随机变量函数的分布的方法有多种，如：分布函数法，概率密度函数法，分布律法等用这些方法求解随机变量的函数的分布比较简单1.一维随机变量的函数的分布若是一个随机变量，是一个函数，且的全部可能取值落入的定义域中，则为随机变量的函数，同样是一个随机变量当取值时，随机变量取值例如等都是随机变量的函数，从而是随机变量1.1一维离散型随机变量的函数的分布求离散型随机变量的函数的分布是相对简单的工作，如果利用分布函数法寻求其分布反而麻烦，这里我们用分布律法，即用的分布去求的分布设是离散型随机变量，的概率分布为，记，若随机变量与的取值一一对应，则的概率分布为.这是因为事件发生当且仅当事件发生，故当是离散型随机变量时，也是离散型随机变量，所以，通常把随机变量的可能取值按从小到大的次序排列起来如果与的取值非一一对应，例如的全部可能取值为，由于其中有重复的，所以在求的分布律即计算时，应将是使的所有所对应的概率累加起来例1 已知随机变量的概率分布为，求的概率分布解： 因为所以，只有三个可能的取值：-1，0，1故的分布律为.1.2一维连续型随机变量的函数的分布当随机变量为离散型的时候，寻求它的函数的分布比较容易；而随机变量为连续型的时候，此时我们分以下几种情况讨论的分布定理1 若随机变量有概率密度函数,为严格单调函数，且对一切都存在，记为的值域，则随机变量的概率密度函数为 这里 是的反函数显然，当为单调增函数时，当为单调减函数时，证明：不妨设是严格单调增函数，这时它的反函数也是严格单调增函数，且这意味着仅在区间取值，于是当时， 当时， 当时，由此得的密度函数为 同理可证当是严格单调减函数时，结论也成立但此时要注意故要加绝对值符号，这时例2 设，其概率密度函数为求随机变量=的概率密度函数解：对于这个问题，当或时，；当时，可导，且在此区间内为严格单调增函数于是，令的反函数为 所以，利用定理1我们来证明几个重要的结论结论1 设随机变量服从正态分布,则当时，有证明：当时， 是严格增函数，仍在上取值，其反函数为由定理1可得： 此时，当时，是严格减函数，仍在上取值，其反函数为由定理1可得：.此时同样有，结论得证结论2 设随机变量则的概率密度函数为证明：是严格增函数，它仅在上取值，其反函数为，由定理1可得：当时，从而;当时，的密度函数为 .结论得证结论3 设随机变量服从伽玛分布，则当时，有证明： 因为，所以是严格增函数，此时，其反函数为，由定理1可得 当时，；当时，. 此即的密度函数，结论得证对于无法满足定理1条件的情况可以先计算的分布函数，使其用的分布函数表示，然后再通过求导解得的密度函数下面举例来说明此种方法例3 设随机变量服从标准正态分布,试求的分布解：先求的分布函数.由于,故当时，有从而当时，有因此的分布函数为再用求导的方法求出的密度函数 对照分布的密度函数，能够看出定理2 设是连续型随机变量，概率密度为，如果是离散型随机变量，则的分布列为 其中定理3 设是连续型随机变量，概率密度为，如果都是离散型随机变量，则的联合分布列为，其中这里只给出定理3的证明，定理2类似可证证明：因为，所以，这里由概率密度函数的性质得，其中例4 设，求的分布函数解：由题意可以得出，随机变量是离散型的由定理2得：故的分布函数为定理4 设是连续型随机变量，概率密度为如果是既不离散也不连续型的随机变量，则的分布函数为 证明：由分布函数的定义和概率密度函数的性质得的分布函数为例5 设随机变量服从参数为的指数分布，求随机变量的分布函数解：因为是的函数，且所以是既不离散也不连续型的随机变量，由定理4得的分布函数为 将的分布函数代入得：2.二维随机变量的函数的分布设是一个二维随机变量，是定义域包含可能取值范围的一个在实数范围内取值的函数，则一般地，二维随机变量的函数也是一个随机变量这里，我们将讨论当二维离散型随机变量的联合分布已知时，如何求的概率分布2.1二维离散型随机变量的函数的分布我们将看到，寻求二维离散型随机变量的函数的分布与求一维离散型随机变量的函数的分布的方法是完全类似的例6 设随机变量与相互独立且分别服从参数为和的泊松分布，求的分布解： 由题设， 的全部可能值均为全体非负整数，从而亦取值全体非负整数现设的全部可能取值分别为,则有.显然，事件当且仅当事件发生时发生，而，注意到随机变量与相互独立，得的分布为 2.2二维连续型随机变量的函数的分布对于二维连续型随机变量，当知道它的联合分布时，欲求其函数的分布，一般方法是：将有关的概率计算转化为关于的概率计算，从而得到的分布函数例7 设二维随机变量在上服从均匀分布，求的密度函数解：由题设，的联合密度函数为 显然，的取值大于0小于2，因此当时，其分布函数;当时，;当时（参见图1）， ,即有故得图1例8 设二维随机变量的联合密度为试求的密度函数解：先求的分布函数（参见图2）两边对求导即得的密度函数特别地，当与相互独立时，因为有所以有 此公式称为卷积公式x+y=z图2yxo定理5 设是二维连续型随机变量，联合概率密度为,如果 是离散型随机变量，则的分布列为，其中定理6 设是二维连续型随机变量，联合概率密度为,如果都是离散型随机变量，则的联合分布列为其中. 下面只给出定理6的证明，定理5类似可证证明：因为所以这里由联合概率密度函数的性质得：例9 设随机变量与相互独立，分别服从参数为和的指数分布令, 求的分布列解： 由与的分布及独立性知，的联合概率密度为根据题设知是的函数且取值为,即是离散型随机变量由定理5得：例10 设随机变量与相互独立，都服从标准正态分布令：求的联合分布列解： 由与的分布及独立性知，的联合概率密度为根据题设知都是的函数，取值分别都是即是二维离散型随机变量，由定理6得： 以上总结的几种求随机变量函数的分布的方法在数理统计中应用广泛特别是在三大抽样分布即分布，分布，分布中的应用比较明显.三大抽样分布都是随机变量函数的分布. 本文对如何求解一维和二维随机变量的函数的分布分别给出了清楚的讲解，同时利用数学分析中的级数和积分的知识阐述了随机变量函数的分布的应用通过对随机变量的函数分布的分类和总结，使我对概率论这门课程有了更深刻更广泛的理解，并且产生了更大的兴趣致 谢本论文是在邢台学院数学系侯常兴老师的热情关心和指导下完成的在论文的整个写作过程中，侯老师多次询问论文的写作进程，并提出了很多宝贵的建议和意见，帮助我开拓论文写作的思路为了让我写出优秀的毕业论文，侯老师曾不止一次利用休息时间来学校与我面对面的交流在此，深深的感谢侯老师对我的帮助参 考 文 献1 李博钠.赵新泉.概率论与数理统计m.北京:高等教育出版社,2005.112 同济大学概率统计教研组.概率统计（第二版)m.上海:同济大学出