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文档简介

空间解析几何与向量代数 摘要:深入了解空间解析几何与向量代数的概念,一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律,还有空间直线与平面的关系。关键词:向量;向量代数;空间几何第一部分:向量代数第一节:向量一.向量的概念:向量:既有大小,又有方向的量成为向量(又称矢量)。表示法:有向线段或a。向量的模:向量的打小,记作|。向径(矢径):起点为原点的向量。自由向量:与起点无关的向量。单位向量:模为1的向量。零向量:模为0的向量,记作若向量与大小相等,方向相同,则称与相等,记作=;若向量与方向相同或相反,则称a与b平行,记作/规定:零向量与任何向量平行;与的模相同,但方向相反的向量称为的负向量,记作-;因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线。若k3个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面。二.向量的线性运算1.向量的加法平行四边形法则:+三角形法则:+ 运算规律:交换律+=+ 与结合律:(+)+=+(+)三角形法则可推广到多个向量相加。2.向量的减法-=+()-特别当=时,有-=()=;三角不等式:|+ |; |-|;3.向量与数的乘法是一个数,与的乘积是一个新向量,记作。规定: 与同向时,|=|;总之:| | |三.向量的模、方向角1.向量的模与两点间的距离公式设(x,y,z),作 ,则有 rzqoypx由勾股定理得:| |om|ba对两点a()与b()因 ()得两点间的距离公式:|ab| | |第二节:数量积 向量积一.两向量的数量积引例:设一物体在常力f作用下,沿与力为夹角的直线移动,位移为,则力所做的功为w| | |1.定义:设向量,的夹角为,称| 为与的数量积(点积)。2.性质:(1)(2) , 为两个非零向量则有 0 3.运算符:交换律(1)结合律(为实数)()()()()()()(2)分配率 () 一 两向量的向量积 引例:设o为杠杆l的支点,有一个为杠杆夹角的力作用在杠杆的p点上,则力作用在杠杆上的力矩是一个向量:| |oq| | | | 符合右手规则op1.定义设的夹角为,定义向量称为向量与向量积,记作: 2.性质(1)(2)为非零向量,则 /证明:当 , 时, 3.律算率(1) (2)分配率() (3)结合律()()()第二部分:空间解析几何第一节:空间直线与平面的方程1. 空间平面 一般式:ax+by+cz+d=0 (); 点法式:a(x-)+b(y-)+c(z-)=0 截距式: 三点式| |=02. 空间直线 一般式: 对称式: 参数式:()为直线上一点;=(m,n,p)为直线的方向向量。3. 线面之间的相互关系a. 面与面的关系b. 线与线的关系c. 面与线之间的关系 平面,直线,垂直,平行第二节:实例分析例1. 求与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行,且过点(-3 ,2, 5)的直线方程。所求直线的方向向量可取为:s= =(-4, -3, -1)利用点向式可得方程;参考文献1王作相:关于空间解析几何教材的现代化;贵州师范法学学报;1989年02期2黄振华:浅谈向量与空间解析几何;湖北师范学院学报(自然科学版)2007年04期3南开

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