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同余与子结构目 录中文摘要01英文摘要02引 言03基本定义04群 05环 08模 11半 群15参考文献19致 谢20中文摘要本文讨论了群上的同余与正规子群之间、环上的同余与理想之间、模上的同余与子模之间的一一对应关系. 但是对于半群, 所有理想都能对应到相应的同余, 相反却不成立. 本文构造了一个交换幺半群, 得到了泛半群上同余与理想之间不一定存在一一对应的结论. 关键词: 半群, 群, 环, 模, 同余, 子结构，双射abstractin this paper, we study the relationships between congruences and normal subgroups on a group, congruences and ideals on a ring, congruences and submodules on a module. for a semigroup, we could just prove that an idea is corresponding to a congruence, however on the contrary its not ture. in this paper, we construct a commtative monoid and prove that there is no bijective mapping between the set of all congruences and the set of all ideals of this monoid.keyword: semigroup, group, ring, module, congruence, substructure, bijection function一、引言同余作为代数系统上保持所有运算的等价关系, 在每一个代数系统的研究中都占据着重要的地位. 而本文研究的主要是群、环、模、半群等代数系统上的同余与子结构的关系. 涉及到的内容主要有以下几点:1关于群, 本文主要参考文献1及文献4, 详细研究了群的正规子群, 同余关系及关于同余生成的商群等, 并仿照文献4中已有结论得到本文定理3.4, 即可以根据给定的一个正规子群, 构造出一个相应的同余; 相反可以根据给定的一个同余, 构造出一个正规子群. 这样便初步得到群上的同余与正规子群之间的对应关系, 而进一步地通过定理3.5补充证明群上的同余与正规子群之间存在一一对应的关系. 2关于环, 总体思路与群上的类似. 环的特殊子结构是理想, 所以本章着重讨论环上的同余与理想的关系. 仿照定理3.4, 给出并证明了定理4.5, 表明在环上可以根据给定的任意一个理想构造出相应的一个同余; 相反可以根据给定的一个同余, 构造出一个理想. 而通过定理4.6进一步补充证明了环上的同余与理想之间存在一一对应的关系.3关于模, 由于模本身与环非常类似, 所以仿照定理4.5, 我们给出定理5.6, 凭此证明了在模上可以根据给定的任意一个子模而构造出一个相应的同余; 相反可以根据给定的一个同余, 构造出一个子模. 而通过定理5.7进一步补充证明了模上的同余与子模之间存在一一对应的关系. 4关于半群, 通过定理6.4, 我们证明了半群上任意给定一个理想, 都可以构造出一个与之对应的同余; 而命题6.5则证明了交换幺半群上只要给出一个子半群, 便可以构造出一个同余; 并在此基础上, 本文构造出一个交换幺半群, 且根据该半群的一个子半群构造出的同余, 是无法找出任何理想与之对应. 并进一步探究发现, 该半群所有同余与理想分别组成的集合具有不同的阶. 通过此反例反驳了半群上同余与理想之间存在一一对应的关系. 二、基本定义等价关系是集合上一类重要的二元关系. 定义如下: 定义2.11 设为一个集合, 是的一个子集, 若满足: （1）自反性: 对任意, 有; （2）对称性: 对任意, 若, 则; （3）传递性: 对任意, 若且, 则.则称是集合的一个等价关系1.若集合中的元素定义了运算（本文只讨论二元运算）, 并且满足某些运算规律, 就做成了一个代数. 而同余就是代数上保持所有运算的等价关系. 本文讨论具有有限多个二元运算的代数系统, 设是一个代数, 其中“”是上一个二元运算, , 是的一个非空子集合, 称是上的一个同余，若（1）是上的一个等价关系,（2）对任意的, .我们也把（2）称为关于运算“”是相容的.在各种代数系统中, 同余往往会跟某种特殊的代数子结构一一对应, 下面我们将分别讨论群、环、模、半群等代数系统中同余及其子结构的关系.三、群上同余与子结构在群上, 正规子群是群上一类特殊子群, 而同余却是关于运算满足左右相容的特殊等价关系. 那么群上所有同余与所有正规子群之间是否有特殊的关系, 这一章我们便来讨论这一点.定义3.11 设为一个群, 是群的一个子群, 称为的一个正规子群, 若, 有.定义3.21 设是群的一个同余, 对集族, 其中 , 定义一个运算“”: , .则关于运算“”构成一个群. 定义3.31 设是群的一个同余, 则我们把称之为的商群.下面我们来讨论一下群上同余与正规子群之间的关系.定理3.44 设为一个群, 则有下面结论: （1）若为群的一个正规子群, 那么有为群的一个同余;（2）若是群的一个同余, 则（为单位元）为群的一个正规子群.证明: （1）首先证明是一个等价关系: a（自反性）由于为群的一个子群, 所以有, , 即;b. （对称性）, 若, 则, 由于为群的一个子群, 所以, 所以; c.（传递性）, 若, , 即, 使得, , 由于为群的一个子群, 所以, 所以.下面只需再证明是相容的即可: , 若, , 即, 使得, . 由于为群的一个正规子群, 则有, 所以, 使得.则, 即.所以是群的一个同余.（2）由于为群的一个同余, 由定义3.3可知, 为的商群, 特别对于这个集合, 由于是群的单位元，所以我们有, 故关于的运算封闭. , 则由得, , 即, 所以. 因此是的一个子群. 再由, 有.故知是群的一个正规子群. 定理3.5 设为一个群, 表示上所有正规子群组成的集合, 表示上所有同余组成的集合, 则与之间存在一个双射.证明:首先我们定义:(1) ;(2) ;显然, 由定理3.4可知, 是良好定义的. 则要证与之间存在一个双射, 只须证, .（1）要证, 只须证, 即证, 即.而.所以, 即.（2）要证, 只须证, 即证, 即.a. , 由于, 所以有, 即.b. 有, 即, 所以, 即.所以, 即. 所以，由定理3.4及定理3.5可知：在群上, 所有同余与所有正规子群分别组成的集合之间存在一一对应的关系. 四、环上的同余与子结构在群上同余与正规子群分别组成的集合之间存在一一对应的关系. 在环上, 对应与群上正规子群类似性质的结构则是理想. 那么环上是否也有相应的结论呢？ 即在环上, 是否所有同余与其所有理想有一一对应的关系？ 这章我们便来讨论这一点.定义4.11 设为一个环, 称为的一个理想, 若（1）是的一个子加群; （2）, 且.定义4.21 设是环的一个同余, 对集族, 其中定义为, 在上定义一个运算“”, “”, ; . 则有定理4.31 关于运算“”, “”构成一个环. 定义4.41 设是环的一个同余, 则我们把称之为的商环.下面我们来讨论一下环上同余与理想之间的关系.定理4.5 设为一个环, 则有下面结论: （1）若为环的一个理想, 那么有为环的一个同余; （2）若是环的一个同余, 则（为加法零元）为环的一个理想.证明: （1）首先证明是一个等价关系: a（自反性）由于为环的一个子环, 所以有, , 即;b. （对称性）, 若, 则,由于为环的一个子环, 所以, 所以;c. （传递性）, 若, , 即, 使得, , 由于为环的一个子环, 所以, 则.下面只需再证明是相容的即可: , 若, , 即, 使得, . 由于为环的一个理想, 有, 所以, 使得.则, 即.而, 由于是理想，所以, .则, 即.所以是环的一个同余.（2） 由于为环的一个同余, 由定义4.4可知, 为的商环, 特别对于这个集合, 由于是环的加法零元，所以我们有:及,故关于的两个运算封闭. , 则由得, , 即, 所以. 这样便证明了是环的一个子加群. 再由, 有.故知是环的一个理想. 定理4.6 设是一个环, 表示上所有理想组成的集合, 表示上所有同余组成的集合, 则与之前存在一个双射. 证明: 首先我们定义:(1) ;(2) ;显然, 由定理4.5可知, 是良好定义的. 则要证与之间存在一个双射, 只须证, .（1）要证, 只须证, 即证, 即.而.所以, 即.（2）要证, 只须证, 即证, 即.a. , 由于, 所以有, 即.b. 有, 即, 所以, 即.所以, 即. 所以，由定理4.5及定理4.6可知：环上所有同余与所有理想分别组成的集合之间存在双射，即有一一对应的关系. 五、模上的同余与子结构定义5.18 设为有恒等元的环, 是一个加法交换群, 定义一个从到的倍数乘法“”: .且“”满足: （1） , （2） , （3） , （4） , 其中, , 那么就称做成环上的一个左模类似的也可以定义右-模. 下面我们只讨论左模上同余与子结构的对应关系, 且左模简称为模.定义5.28 设是一个-模, 是的非空子集, 如果关于的加法和倍数乘法本身也做成上的模, 则称是的一个子模类似与前面讨论，我们有设是一个模, 是的非空子集, 且是上的一个等价关系, 若, 有, , 则称为的一个同余. 设为任意一个模, 是任意的一个子模. 于是, 作为交换群来看, 自然是的一个关于加法的正规子群. 令.在中定义加法: .及倍数乘法: , ,则关于规定的加法做成一个商群, 且.这样, 容易得到下述的结论. 即命题5.48 设是模, 是的一个子模. 那么, 按如下的运算: , , .商集合做成一个模, 并称之为关于子模的商模8.下面我们来讨论一下模上同余与子模之间的关系. 定理5.6 设是模, 则有下面结论: （1）若是的一个子模, 那么有为的一个同余; （2）若是的一个同余, 则（为上加法零元）为的一个子模.证明: （1）首先证明是一个等价关系: a（自反性）由于为的一个子模, 那么对于, 有, 即; b. （对称性）, 若, 则, 由于为的一个子模, 所以, 所以;c. （传递性）, 若, , 即, 使得, , 由于为的一个子模, 所以, 所以 .下面只须再证明是相容的即可: , 若, , 即, 使得, . 由于加法交换群, 则的任意一个加法子群必定关于加法成正规子群. 而为的一个子模, 所以关于加法成正规子群, 有. 则, 使得. 则, 即.由于为的一个子模, 则, 有, 即.所以是的一个同余.（2）由于为模的一个同余, 特别考虑这个集合, 由于关于加法是一个群, 显然可以看成是加法群上的一个同余, 由定理3.7第（2）结论可知, 关于的加法运算构成一个正规子群; 而对, , 有, 所以.即. 由定义5.2可得为的一个子模. 定理5.7 设是一个模, 表示上所有子模组成的集合, 表示上所有同余组成的集合, 则与之间存在一个双射. 证明: 首先我们定义：(1) ;(2) ;显然, 由定理5.6可知, 是良好定义的. 则要证与之间存在一个双射, 只须证, .（1）要证, 只须证, 即证, 即.而.所以, 即.（2）要证, 只须证, 即证, 即.a. , 由于, 所以有, 即.b. 有, 即, 所以, 即.故, 即. 所以由定理5.6及定理5.7可知: 模上所有同余与所有子模分别组成的集合之间存在一个双射, 即有一一对应的关系. 六、半群上的同余及其子结构群、环、模上的同余都会与某种特殊的子结构一一对应，那么在更泛的代数如半群中，这种类似的结论是否也成立呢？ 前面都是讨论特殊的子结构, 所以这一章我们只讨论半群上的同余及理想之间的关系.定义6.14 是一个非空集合, “”是上的一个二元运算, 若满足（1）;（封闭性）（2）.（结合律）则称关于“”构成一个半群, 记为.定义6.24 设为一半群, 为的一个非空子集, 若关于“”封闭, 则称为的一个子半群.定义6.34 设为一半群, 称上的一个非空集合为的一个左（右）理想, 若（）; 若既是左理想, 又是右理想, 则称是的一个理想.对于半群上同余及其子结构的关系, 我们有以下结论: 定理6.4 设为一个半群, 若是的一个理想, 则是的一个同余.证明: （1）首先证是一个等价关系: a. 自反性: 由于, 满足自反性; b. 对称性: 若, 那么若, 显然; 若, 则, 所以; c. 传递性: , 假设, 则, 所以由得, 由得, 所以（矛盾）, 所以.因此是的一个等价关系; （2）下面证明的相容性: 设,a. 若都不属于, 即, 则, 显然: .b. 若至少有一个属于, 不妨设, 由于是一个理想, 所以, 即.所以是半群的一个同余. 由定理6.4可知, 在半群上, 一个理想对应着一个同余; 但是反过来, 结论却不一定成立, 即一个同余可能找不到一个理想与其对应.我们先来看看下面一个命题:命题6.5 设是一个交换幺半群, 为的一个子半群, 令使得.则为上的一个同余关系.证明: （1）首先证是一个等价关系: a. 自反性: 由定义显然满足; b. 对称性: 由定义显然满足; c. 传递性: 设, 使得 . 而由于是一个交换半群, 有, 且由为的一个子半群得, , 即.因此使得是的一个等价关系; （2）下面证明的相容性: 设, 若则使得 .由于是一个交换半群, 因此有,由于为的一个子半群, 所以, 即.因此是半群的一个同余. 由命题6.5可知, 给定半群的一个子半群, 我们就可以构造出一个同余. 那么我们来看看下面一个例子.例6.6 令; 定义上一个乘法运算“”, 其乘法表如下:则有:（1）从乘法表显然可得关于“”封闭且交换; （2）下面只须证: .首先, 若中至少有一个是单位, 显然满足上述等式; 那么我们只须考虑全部元素都不是单位的情况, 则有以下两种:a. , 显然成立; b. 中有两个相等, 若且, 则 . 而若, 则. 所以只须验证以下两条:; ;因此关于“”构成一个有幺的交换半群.注意到的子集关于“”封闭, 根据定义6.2, 为的一个子半群. 由命题6.5可得: 使得;为的一个同余.那么我们不难推得:.显然, 无论是还是, 都不是的理想. 由例6.6可知, 不与群、环、模等代数系统相同, 幺半群上的同余所确定商集中, 单位元所在的集合不一定是理想. 而要反驳半群上所有同余与所有理想分别组成的集合之间, 不存在一一对应的关系, 我们仍须对例6.6再进行深入分析. 下面我们令 、分别表示例6.6的所有理想组成的集合和所有同余组成的集合. 我们看看 、中的元素分别有哪些:（1）于;而所有等价关系无非是的子集且满足定义1.1, 因此只有以下五个:;在上面的等价关系中, 显然, 除了不满足运算的相容性之外, 其它等价关系均满足, 所以例6.6上的所有同余只有四个: 、. 即（2）由于例6.6只有3个元素, 则其子集共有个, 分别是:,其中是子半群的只有:而在上面的子半群中, 是理想的却只有以下三个;即.由于, 所以与之间不可能存在双射. 因此, 通过例6.6我