材料力学论文 关于平面拉伸的力学分析.doc

关于平面拉伸的力学分析 作者：周成杰（系南京工业大学土木工程0级强化班）学号：1801060125摘要：(1) a-a平面上各点是存在剪应力并且是非均匀分布的，近似呈线性分布。 (2) a-a平面上各点的应力状态是不完全相同的，并且a-a平面和整个平面上的危险点可以求出。材料力学当中，不规则的物体可心通过力学软件如ansys和visual basic的帮助来解决许多实际的问题，如危险点、各处的应力状态、正应力、剪应力、主应力等等。（3）整体物体及a-a平面，受力之后的应力集中和应变分析。物体在被力作用的时候会有形变和位移，这也很重要，分析时应该用理论推导和软件共同进行。关键词：形变；集中应力；线性分布；危险点；ansys有限元; vb编程n 引言：为了分析问题的方便和用ansys建模，假设如下的数据： ，。各个端点的坐标为（，）、（，）、（，）、（，）。图1 原问题图一.研究a-a平面上各点是存在剪应力并且是非均匀分布的.初步分析a-a面内的应力状态1.1 研究a-a面内顶部的应力状态如图，三角形的斜面为自由表面，上面不受力。我们知道，右面上一定有垂直于右面的的正应力。由平衡条件可知沿x方向上的合力应该为，故下边的面上有如图的剪力。再由剪应力互等定理可知右面上有，同样地，由平衡条件可知下面上有正应力。图顶部的微元到此，可以看出来顶部点的应力状态如图所示。1. 研究a-a面内中部点的应力状态先假设中间的微元不受上面或下面微元的影响。图a-a面微段如图，可知左边的面积小，右边的面积大，所以左边的应力比右边的大一点。再由平衡条件和剪应力互等定理可以判断出如图的剪应力。图a-a面中间的微元应力状态现在考虑中间的微元受上面或下面微元的影响。显然综合上下微元的应力之后可得如图：图a-a面中间微元的实际应力状态2. 现在具体地计算各处剪力的大小：2.1总体分析如图此时算正应力的时候，忽略了应力集中，下面有考虑应力集中的分析。2.2计算如图6顶部的一块微元的应力 ，由平衡条件可知：图6顶部的微元三角形微元产生的剪应力求得。2.2先假定不考虑顶部的三角的影响，即忽略剪应力和y方向的正应力的影响。图顶部的微元在距离顶部面的距离为y时如右图：，对于一小段微元dy 由平衡条件可以知道：在到y部分上积分：这个剪应力是不考虑顶部微元时中间部分产生的剪应力。得到的便是不考虑上部三角微元影响的假定下的y处的剪应力2.3现在考虑顶部的影响。当考虑到顶部的影响的时候，就必需加上顶部产生的剪应力在距离y处对应的剪应力：（其中的有下标为的为顶部产生的剪应力，没有下标的剪应力为假设中间部分不受顶部影响时算得的剪应力。）由上式可知：y=h时，即在中点处剪应力为.综上所述，可知a-a 上的点的存在剪应力并且非均匀分布。并且沿y方向可以看成是线性分布的。.用ansys软件验证结论的成立。3.1用ansys 软件取如沿a-a方向的一系列的点（路径job），如下图所示：3.2得到的这条路径上的点的剪应力sxy，如上图所示：从上图可以看出：在中点处（即横坐标1.47处）剪应力为。a-a上半部分的剪应力是正号，所以剪应力流是顺时针方向的。下半部分的正好相反。3.3下面一张图整体的剪应力图：从上面这张图可以明明白白地看出，整个图形的剪应力状态，包括aa方向的点也是可以直观地看出来是不完全相同的。3.4下面一张图是这条路径上剪应力sxy的一张形象一点图：从上图中可以看出：沿a-a方向上，剪应力可以看成是线性分布（不考虑应力集中情况下的近似线性）的。.结论（1）a-a 上的点的存在剪应力且非均匀分布。（2）并且沿y方向可以近似看成是线性分布的。(3)在中点处的剪应力最小为0,向两边剪应力递增。二.研究a-a平面上各点的应力状态是不完全相同的，并且判断a-a平面和整个平面上的危险点。1.主应力是反映应力状态本质的特征量，所以可由主应力的公式如下：.用ansys软件验证结论的成立。3.1下面是用ansys做的一张seqv（等效应力）图：虽然差距不大，等效应力是从686.726到690.317，显然不尽相同。3.2下面是s1,s2,s3的三个主应力图：从这三张主应力图也可以看出：各点的应力状态是第一和第二主应力不同，第三主应力都为。.判断a-a上哪一点最易发生危险假定此种材料是韧性材料，现在用第三强度理论来判断哪一点先坏。上式的二个应力为第一主应力和第三主应力。如上面两组数据中用方框标出的为最大的第一主应力。而第三主应力为。故由可知：如果aa面上发生破坏的话，则0.63025和 2.3109两个对称的点处先发生破坏。.研究整个平面内哪个点是危险点3.1下面一张图是整个平面的第一主应力图：可以看出：最左边的第一主应力应该最大，下面取左边的一条路径研究。3.2下面研究最左边的最大主应力。下图为路径和路径上的第一主应力图，从中可以明显地看出：中点同前面的aa平面相对比，前面的不是在中点处有最大第一主应力。这中间存在着一个分界线判断是否这个竖线上的危险点发生在中点处。处的第一主应力最大。由第三强度理论：知：整个平面上最左边的中点处的第一主应力最大，因而也就在此点最容易发生破坏。.结论（1）a-a平面上各点的应力状态是不完全相同的。（2）最先发生破坏的两个点为aa的路径上0.63025和 2.3109两个对称的点。（3）各条竖线上的危险点是否发生在中点处存在着一个竖线作为临界线。（4）整个平面内的危险点处在最左边的线上的中点处。三.研究a-a平面及整个物体，在受力之后的应力集中及变形分析。.研究应力集中现象。其中的k为应力集中系数。查表可得d，d和k之间的关系。drd图9假设的数据中d/d=1.5大概有下列的数据：k r/d 1 无穷大 2 0.25 3 0.1 无穷大 0在本题中，如果材料是刚体那么半径r就是无穷大r/d则为无穷大，查表可得： k=1.即aa面上的正应力是均匀分布的。然而材料不可能是刚体，在拉伸的过程中将使r变为有限的值，故应力集中系数k要大于1.自然地，本题中aa面的各点的应力应该有大有小，下面用ansys来进一步分析这个问题。3.用ansys进一步分析可以看出在x 方向最大应力分布在中点处，在 y 方向，最大正应力在两端。4.用ansys分析形变:由下图明显进可以看出中间的路线都是朝左鼓的，显然加力后，aa上不再保持平面，而是朝左倾斜。这个可由上面的分析证明，因为在中点处的sx最大，并且是左边占优势。至于sy，虽然是中间的小，但是竖起方向的应力实在太小。由公式：可知其中的aa方向的中部的x方向的正应力大一点，y方向的正应力小一点，那么中部的水平方向的应变自然更大一点。所以呈现以下的变形图。4.结论 （1）这种形状在加上上述的均匀分布力之后，会有应力集中现象，a-a线上，x方向的正应力中部相对大一点，y方向上的正应力在两端正对大一点。 （2）加力后会产生形变并且左边鼓，如上面所示的变形图。四.研究a-a平面及整个物体，在受力之后的在各个方向的应变分析。.推导x,y方向的正应变和剪应变的关系。xyxy图8 于是可得到x,y方向的线应变和一定角度方向的线应变的关系。同理，也可以推得在纯剪应力的情况下求一定角度方向的线应变。如公式：然后再将以上两者相加可以得到如下的公式：2.用自编的软件计算上述公式求最大线应变 上面推导了有如下的公式：用这个公式比较繁，所以我用vb编了一个程序来帮助计算：窗体如下:主要的代码如下：private sub command1_click() dim d as single dim max as single text6 = & & e = 36000000#: v = 0.3: k = 3.1415926 / 180: g = e / (2 * (1 + v)代码中反映了材料的弹性模量、泊松比、切变模量。 x = text1: y = text2: t = text3: r = text4: d = val(text5) if d = 0 then d = 1 xx = x / e - (y / e) * v yy = y / e - (x / e) * v tt = t / g for i = 0 to r step d rr = xx * (cos(i * k) 2 + yy * (sin(i * k) 2 + tt * sin(i * k) * cos(i * k)求线应变 text6 = text6 & vbcrlf & & i & & rr if rr max then max = rr h = i end if next i if i r then i = r rr = xx * (cos(i * k) 2 + yy * (sin(i * k) 2 + tt * sin(i * k) * cos(i * k) text6 = text6 & vbcrlf & & i & & rr if rr max then max = rr h = i end if找出最大的线应变，并记录下来对应的角度。 end if text7 = max text8 = hend subprivate sub form_activate() x0 = screen.width y0 = screen.height x0 = (x0 - me.width) / 2 y0 = (y0 - me.height) / 2 me.move x0, y0end sub例如上面一组数据，其中包含了sequ最大值。现在取上面的倒数第二行分析：即s=0.42017处，sx =674.08 ,sy=19.683 ,sxy=108.06 在小程序“要求的方向角”中输入90,以便观看所有角度上的结果。在“精度”中输入了1,其实这个精度也不算高，如果需要的话可以输入足够精确的精度。根据这个小软件，可以得到如下数据：角度 这个方向上的线应变 0 1.85604194444444e-05 1 1.86894054108819e-05 2 1.88038388598805e-05 3 1.89035803719146e-05 4 1.89885084273199e-05 5 1.90585195543465e-05 6 1.91135284552236e-05 7 1.91534681100811e-05 8 1.91782898586035e-05 9 1.91879634593147e-05 10 1.91824771264228e-05 11 1.91618375441791e-05 12 1.91260698587344e-05 13 1.90752176475023e-05 14 1.90093428660669e-05 15 1.89285257726995e-05 16 1.8832864830576e-05 17 1.8722476587815e-05 18 1.85974955354817e-05 19 1.84580739437313e-05 20 1.83043816762913e-05 21 1.81366059835087e-05 22 1.79549512742144e-05 23 1.77596388666823e-05 24 1.75509067189873e-05 25 1.732900913909e-05 26 1.70942164750015e-05 27 1.68468147854063e-05 28 1.65871054911435e-05 29 1.63154050079723e-05 30 1.60320443610677e-05 31 1.57373687817181e-05 32 1.54317372867132e-05 33 1.51155222409381e-05 34 1.47891089037037e-05 35 1.44528949593678e-05 36 1.41072900328178e-05 37 1.37527151904059e-05 38 1.33896024269449e-05 39 1.30183941393887e-05 40 1.26395425878399e-05 41 1.22535093445409e-05 42 1.18607647315186e-05 43 1.146178724757e-05 44 1.1057062985285e-05 45 1.06470850388174e-05 46 1.02323529031255e-05 47 9.81337186541505e-06 48 9.39065238952384e-06 49 8.9647094940008e-06 50 8.53606212463492e-06 51 8.10523252219991e-06 52 7.6727455861842e-06 53 7.23912823528186e-06 54 6.80490876542331e-06 55 6.37061620612813e-06 56 5.93677967596415e-06 57 5.50392773789794e-06 58 5.07258775532231e-06 59 4.64328524954528e-06 60 4.21654325952331e-06 61 3.79288170461893e-06 62 3.37281675115915e-06 63 2.95686018356623e-06 64 2.54551878082732e-06 65 2.13929369906226e-06 66 1.73867986094212e-06 67 1.34416535270218e-06 68 9.56230829484024e-07 69 5.75348929731342e-07 70 2.01983699352789e-07 71 -1.63409973646439e-07 72 -5.20386913375557e-07 73 -8.68512198436425e-07 74 -1.20736169180826e-06 75 -1.53652255759322e-06 76 -1.85559376399339e-06 77 -2.16418657190617e-06 78 -2.46192500854302e-06 79 -2.74844632549438e-06 80 -3.02340144068266e-06 81 -3.28645536366502e-06 82 -3.53728760376761e-06 83 -3.77559256055401e-06 84 -4.00107989615236e-06 85 -4.21347488898726e-06 86 -4.4125187684857e-06 87 -4.59796903034917e-06 88 -4.76959973200769e-06 89 -4.92720176789612e-06 90 -5.07058312421701e-06 在结果中，小软件自动显示其中的最大线应变发生在9度处，且线应变为1.918796e-05在前文判断危险点的时候，知道最左边的竖线的中点为整个物体的危险点，由ansys得到这个点的数据:sx =995.17 ,sy=293.93 ,sxy=0.17475e-12 由上述小软件可以得到如下数据：在0 度处（即沿x轴方向），有最大的线应变：2.519419e-05（相对比较大）这个也同样反映了这点不安全，如果是脆性材料那么这点肯定是最危险的。4.结论（1）一点的各种应力在0到90度的角度内都可以用以下公式来求与线应变的关系：。 （2）用上述的自编小软件可以求出任一点的任一角度上的线应变，并且可以找出最大的线应变，并且可以判断强度是否符合要求。参考文献：1 材料力学。林毓錡，陈瀚，楼志文。西安交通大学出版社.2 材料力学教材。孔喜新，孙庆文，潘光明。华南理工大学出版社.3 . 材料力学。（日）渥美光，铃木幸之，细贤次（张必如译）. 人民教育出版社4 材料力学。（美）higdon,ohlsen,stiles,weese,riley.高等教育出版社5. ansys 基础应用及范例解析。龚曙光。机械工业出版社6. ansys 7.0基础教程 张立新 徐长航 。机械工业出版社作者简介：周成杰，男，南京工业大学土木工程学院0级本科生，专业：土木工程，研究方向：材料力学中的平面拉伸问题。材料力学学习感想这一学期来跟着范老师一起，学了材料力学这一门课程。就我看来，材料力学还是比较难学的，主要是因为这门课的内容比较多，而课的学时却很少。同时我们强化班的课程也是非常多的，这也大大地加大了学习的难度，可是“因祸得福”从紧张的学习过程中，我们自然而然也学到了许多平常学不到的东西。比如合理地利用时间这个方面，我们常常在线性代数、大学物理.的压迫下努力地完成力学作业。不过这样更好，在白天上完了有老师的课程，等到晚上或者是等到周末的时候，为了完成作业就必须学会合理地分配时间。然后还要学会自学，因为课上的那一点时间根本不可能让人完全理解课上的知识。对于那些没有掌握的知识，根据范老师在课上讲的和书上写的内容再加上课堂上的笔记，就差不多可以学会所有的内容并且完成当天或者是那一周的作业了。说实话跟着范老师一起学习材料力学总体上来说是非常累的。去年跟着郭老师学习理论力学，看上去是非常地轻松一点都感觉不到“三大力学”传说中的痛苦，这可能跟郭老师的灌输式教学有关。范老师的教学方法以培养开放的思维而著名，在第一节课的时候范老师就说他的课绝非是灌输式的教育，而是开发我们的思维，创造性