工字形截面轻钢结构构件弯扭耦合自振分析 毕业论文.doc

毕业论文 工字形截面轻钢结构构件弯扭耦合自振分析 专 业 工程力学 学 生 指导教师 河北工程大学土木工程学院 2013 年 6 月 10 日 ii 摘要 本文在轻钢结构满足弹性力学及薄壁杆件基本假定及工字形截面为开口薄壁结构前提下， 运用所学过的材料力学、弹性力学和薄壁杆件结构力学相关的知识，采用薄壁杆件模型，通过 线性插值分析方法，建立工字形截面轻钢结构构件弯扭耦合自振分析的哈密顿体系，并且采用 拉格朗日能量法写出拉格朗日方程和哈密顿正则方程，最后运用精细积分法求解问题。 用 matlab 语言编制工字形截面轻钢结构构件弯扭耦合自振分析问题的计算程序，计算 具体实例并对计算结果进行分析；求出问题的高精度数值解并验证本方法的可行性。运用此方 法得出的结果精确度高、计算简便、计算操作易与程序化，为工程实例计算提供方便，为结构 方案的确定和初步设计的完成提供了较为准确的依据。对于实际应用也有一定帮助。 关键词：工字形截面；轻钢结构；弯扭耦合自振分析；哈密顿对偶体系；线性插值 iii abstract we assume that the light steel structure is satisfied with the assumptions of the elastic mechanics and thin-walled structure and that the -beam is an opening thin-walled structure. apply the knowledge which is related to the material mechanics， elastic mechanics and thin-walled structure mechanics. we use the model of thin-walled structure and the method of linear interpolation to build the hamiltonian system of the -section and light steel structure member under the bending-torsional coupling vibration situation， and we can get the lagrange equation and hamiltons canonical equation by applying lagrange energy method， we solve the problem using the precise integration method of two end boundary at last. we need to compile the procedures of the -section and light steel structure member under the bending-torsional coupling vibration situation by the matlab. calculate the typical examples and analyze the computed result to obtain the highly precise numerical solution and verified this methods feasibility. the results which obtained by this method have many advantages such as high accuracy， easy calculation， calculating operation easy to programmed and so on. it provides a new method for engineering case. and provide an accurate basis for the determination of the structural concept and the accomplishment of the initial design. it also benefits to some practical situation. key words: -section， light steel structure， bending-torsional coupling vibration analysis， hamilton dual systems， linear interpolation iii 目 录 摘要 abstract 1 绪论 .1 1.1 引言 1 1.2 轻钢结构的研究现状 1 1.3 弯扭耦合振动 2 1.4 本论文的研究内容和重点解决的问题 3 2 轻钢结构构件弯扭耦合自振的相关理论 4 2.1 数值分析理论 .4 2.2 哈密顿力学体系 5 2.3 哈密顿体系的求解方法 6 3 工字形截面轻钢结构构件弯扭耦合动力特性分析 8 31 基本假定和计算模型 .8 32 工字形截面轻钢结构构件弯扭耦合动力特性分析的哈密顿对偶体系 .9 33 工字形轻钢结构构件的截面特性 15 34 本章小结 17 4 算例计算及结果分析 .18 41 算例验证 19 算例一 .19 算例二 .23 42 本章小结 27 5 结论与展望 .28 51 结论 28 52 展望 28 鸣谢 29 参考文献 .30 附录 34 1 工形截面轻钢结构构件弯扭耦合自振分析 学生: 指导教师： 河北工程大学土木工程学院工程力学专业 1 绪论 1.1 引言 轻型钢结构是指这样一种结构:围护结构自重轻，承重结构截面小，标准化、自动化、机械 化快速制作安装，采用新结构钢材、新结构体系。它分为一般轻型和超轻型钢结构。一般轻型 钢结构主要采用薄钢板焊接截面或冷弯薄壁型钢构件，典型的结构体系为门式刚架，也可采用 轧制型钢板截面。超轻型轻钢结构主要采用压型钢板，冷弯薄壁构件和圆钢为承重构件，典型 的结构体系是摺皱拱桥屋面。轻钢结构主要体系有:焊接(轧制)门式刚架结构体系、冷弯薄壁型 钢结构体系、薄壁摺皱拱桥屋面体系、多层框架结构体系、空间和张拉结构体系。 工字形截面是一种特殊的截面形式，其结构形式上基本都是开口形式，一般情况下，这种 形式的截面构件都是作为梁的受力构件。而轻钢结构有两种理解范畴：（1）现行的钢结构设 计规范中第十一章圆钢、小角钢的轻型钢结构，是指用圆钢和小于 和 的45436 角钢制作的轻型钢结构，主要在钢材缺乏年代时用于不宜用钢筋混凝土结构制造的小型结构， 现已基本上不大采用；（2）另一种是门式刚架轻型房屋钢结构技术规程所规定的具有轻型 屋盖和轻型外墙的单层实腹门式刚架结构，这里的轻型主要是指围护时用的轻质材料。 钢结构是以钢材制作为主的结构，是主要的建筑结构之一。钢材的特点是强度高、自重轻、 整体刚性好、变形能力强、抗震性能优越；材料均匀性和各向同性好，属理想弹性体，符合一 般工程力学的基本假定。其主要用于重型车间的承重结构、受动力荷载作用的厂房结构、高层 和超高层建筑等。 1.2 轻钢结构的研究现状 现代轻钢结构是指以冷弯薄壁型钢、各种 h 型钢、薄钢管、焊接薄钢板变截面梁、柱等构 成的结构，它除了具有传统轻钢的优点外，还更加突出了“轻”的特征，而且其应用范围也不 仅仅局限于小型厂房、仓储或一些临时性的工地住所，甚至也应用于单层或多层民用住宅，办 公楼等各个领域，加之其无粉尘的干施工工艺及可回收并重复利用的特点，显示出非常广阔的 应用前景。 冷弯薄壁型钢住宅结构体系是一种以冷弯薄壁型钢构件和轻型板材共同作为承重和维护结 构的新型轻钢龙骨结构住宅，是轻钢结构住宅的一种主要形式。 与西方发达国家相比，我国的冷成型钢结构技术的发展起步较晚，上世纪 80 年代初期，国 内以西安冶金建筑科技大学( 现西安建筑科技大学) 的何保康教授、哈尔滨建筑工程学院 (现哈尔 冰工业大学)的张耀春教授为代表的一批钢结构领域的学者赴美国康乃尔大学师从乔治.温特教授， 这是我国冷成型钢结构领域研究的开端。 自此，北美先进的冷弯型钢结构技术被引入我国。结合我国钢结构技术的实际，1987 年我 国发布了第一部冷成型钢结构设计标准冷弯薄壁型钢结构技术规范(gbj18-87)，1998 年开 始全面修订，并于 2002 年 9 月 27 日发布修订的冷弯薄壁型钢结构技术规程gb50018 2002，在新规范中还增加了单层房屋设计中考虑蒙皮作用的设计原则。这是我国冷成型钢结构 2 技术领域最权威的标准，但它的适用范围受到的限制，主要作为门式钢架工业厂房的设计参考， 还没有涉及钢板厚度 2.0mm 以下的范围，也就是说在(0.4mm2.0mm)厚度范围内的冷成型钢 结构我国还没有国家和行业标准可遵循，主要还靠从国外引入。 但是一些企业如北新从自身经营的考虑编写了自己的企业标准薄板钢骨建筑体系技术规 程 ；上海绿筑公司编制了企业标准低层冷弯薄壁型钢结构施工质量验收规程(2005 年)；在 行业标准方面，2004 年建设部开始组织编写低层轻型钢结构装配式住宅技术要求(属产品类 标准) 并于 2005 年发布；中国工程建设标准化协会(cecs)组织编制的冷成型钢结构房屋体系的 设计标准低层冷弯薄壁型钢建筑技术规程已于 2011 年 1 月得到建设部批准成为行业标准， 编号为 jgj227-2011，自 2011 年 12 月 1 日起实施。最近，据悉冷弯薄壁型钢结构技术规 程gb500182002 会得到补充，将扩大构件壁厚的适用范围，这将是一个重大突破。对于 2.0mm 以下薄钢板冷成型结构设计到目前为止我国还没有可直接依据的国家标准和行业标准。 近几年，国内的有些科研单位也已经有了一定的进展，随着他们与国外的科学技术和学术 交流的加强，不断的把国外在冷弯轻钢结构体系方面的最新研究成果及应用实践经验带回国内， 其中以西安建筑科技大学、哈尔冰工业大学及长安大学的相关教授，以及中冶院等等工程技术 方面的人员为主，他们参与了国内有关冷弯轻钢结构体系的相关研究，并且取得了显著的成绩， 为我国冷弯轻钢结构体系的发展及应用推广起到了推动作用。 1.3 弯扭耦合振动 实际工程结构中的许多梁由于其横截面形心和剪切中心不重合，导致其振动是弯扭耦合振 动。梁作为最基本的结构元件广泛应用于结构工程的各个领域，确保它们设计的可靠性和安全 性是非常重要的。经典的梁的振动理论假定弯曲振动和扭转振动是互不耦合的，这种假定仅适 用于横截面具有两个对称轴的梁。工程实际中存在着大量薄壁梁(如飞机机翼、螺旋桨叶片等) 仅 有一个对称轴，其形心和剪切中心的不重合将导致弯曲振动和扭转振动的耦合。因此，弯扭耦 合梁的精确的振动分析将是非常有必要的。 迄今为止已有不少学者研究过薄壁梁的弯扭耦合振动： friberg 基于 vlasov 梁理论(考虑了转动惯量和翘曲刚度的影响，但忽略了剪切变形的影响) 研究了薄壁梁的弯扭耦合振动。 bishop 等研究了薄壁梁的耦合振动，基于考虑了翘曲刚度影响的 bernoulli-euler 梁理论， 数值结果表明翘曲刚度可能对固有频率产生显著的影响。 banerjee 等建立了考虑翘曲刚度的薄壁梁的动态刚度矩阵，但他们忽略了剪切变形和转动惯 量的影响。 bercin 等通过考虑剪切变形和转动惯量的影响推广了 bishop 等的工作，他们表明剪切变形 和转动惯量可以显著减小开口截面薄壁梁的固有频率。 ambrosini 等针对变截面薄壁 timoshenko 梁进行了动力分析。 yaman 和 ozdemir 针对单跨和多跨周期薄壁 bernoulli-euler 梁的耦合振动，建立了精确的 解析模型。 arpaci 等基于 vlasov 梁理论，解析的研究了简支薄壁梁的耦合振动。 prokic 基于薄壁 timoshenko 梁理论，解析的研究了简支薄壁梁的耦合振动。 3 chen 和 hsiao 采用常规的有限元法研究了边界条件引起的薄壁 bernoulli-euler 梁的耦合振 动。 李俊研究了受轴向载荷的 bernoulli-euler 梁和 timoshenko 梁弯扭耦合动力响应，分别得 到了轴向受载的 bernoulli-euler 梁和 timoshenko 梁固有频率和模态形状，并计算了结构的弯 扭耦合动力响应； 郁殿龙在前人的基础上，对周期结构梁的弯扭耦合振动特性进行了研究，计算出了周期结 构梁的弯扭耦合振动能带结构。 1.4 本论文的研究内容和重点解决的问题 1.4.1 本论文研究内容 （1）提出工字形截面轻钢结构构件弯扭耦合自振分析计算模型； （2）通过拉格朗日能量法和哈密顿原理导出弯扭耦合自振的哈密顿对偶方程； （3）考虑振动作用，对工字形截面轻钢结构进行自振分析； （4）运用 matlab 软件编程，对具体实例进行计算并分析计算结果。 1.4.2 本论文重点解决的问题 （1）如何建立工字形截面轻钢结构构件弯扭耦合自振分析的计算模型； （2）如何将基于哈密顿体系及精细积分法，应用于工字形截面轻钢结构； （3）如何用 matlab 程序来编写例题和计算。 4 2 轻钢结构构件弯扭耦合自振的相关理论 本文中将轻钢结构假定为薄壁结构，所以对轻钢结构的分析可以由薄壁杆件的一些理论方 法来代替和分析。 2.1 数值分析理论 对于这一类问题，多年来人们寻找并发现了另一种求解途径和方法：数值解法；目前分析 薄壁杆件常用的数值方法为：有限条法，有限单元法等，本文采用的是样条插值法。 2.1.1 有限条法 有限条法是从有限元法发展而来的一种半解析方法，在土木工程领域得到广泛应用，其基 本思路是：令求解域的一个方向为连续体，而将其沿其它方向离散为有限条元，然后选取条元 的位移函数，利用最小势能原理导出有限条法的线性方程组，进而得到结构的内力和位移响应。 理论上只要选择合理的有限条数目和傅立叶级数函数中所保留的项数，就能达到足够的精确度， 有限条法求解薄壁箱梁的一般步骤为： （1）根据求解问题的边界条件，假定合理的有限条位移函数； （2）按假设的位移函数导出单个有限条元在受力时的总势能，并将各条元能量的代数和叠 加得到整个板的能量； （3）由最小势能原理导出有限条的刚度矩阵和力矩阵，进而得到线性方程组； （4）解线性方程组得到位移函数的闭合解，再由虎克定律得到薄壁箱梁翼板的应力。 有限条法能够分析薄壁箱梁所有的变形特征(弯曲、扭转、翘曲、畸变、横向弯曲等) ，而且 与有限元法相比，有限条法应用方便，精度高，节省大量计算时间和费用，其局限性在于目前 对于解决变高度、变截面梁和不规则结构还有一定的困难。 2.1.2 有限元法 近几十年来，有限单元法成为土木工程领域工程分析中最通用、最有效的方法，有时对某 些结构是唯一适用的方法，用它可以分析形状复杂的各种工程结构，可以在计算中模拟各种复 杂的材料本构关系、荷载和边界条件，通过完全交互式的前后处理技术实现结果的形象化显示， 用有限单元法分析薄壁结构，通常采用变异的直接刚度法，此时的基本未知量为广义位移，这 种方法本质上和其他力学体系的分析无多大区别，分析步骤一般为将结构纵向分为若干块，各 块再分成很多单元，然后建立各单元的刚度矩阵，并变换到总体坐标系中，接着按照直接刚度 法原理，将各刚度矩阵汇编为结构的刚度矩阵，建立荷载矩阵，应用边界条件，就能求解出节 点的位移，最后将总体坐标系中的节点位移变换到单元坐标系中。 有限元法的计算精度依赖于单元网格的划分及单元模式的选择。目前，大型通用有限元程 序(如 ansys、 abaqus 等 )非常流行，为有限单元法的应用提供了有利的条件。 2.1.3 插值法 插值法又称“内插法” ，利用函数 在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，)(xf 5 在这些特定点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数的 的近似值，这)(xf 种方法称为插值法，插值法是函数逼近的一种重要方法。本文使用的就是这类方法。 2.2 哈密顿力学体系 力学求解的三大体系有牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学。 牛顿力学主要由三大定律组成，研究的对象是自由质点体系，可以解决基本力学问题。拉 格朗日力学研究几何约束质点体系的问题，得出几何约束质点系统的拉格朗日第一类方程 (2-1)siss xfxtfxm,nmsts 3;,21;0, 上式是最早建立的比较完备的几何约束质点体系的数学模型。 在引入广义坐标的描述方法后，拉格朗日为理想的几何约束质点系统建立了拉格朗日第二 类方程： （2-2）),21(,dniqttii q 式中， 和 所表示的系统动能， ；tiqi nnqqt ,;,;2121 对应于广义坐标 的广义力；iqi 系统的自由度， ；n)3(snn 系统质点的个数；n 约束方程的个数。s 对于有势系统，系统的势记作 ，当 不显含时间时，特别称作系统的势能，此时的系统u 叫作保守系统。对于有势系统的拉格朗日函数为 (2-3)utqqtlnn ,2121 包涵了有势系统的所有动力学行为，拉格朗日第二类方程可表示为l (2-4)0iiudt, 哈密顿力学在拉格朗日力学体系的基础上进行数学变换。 将拉格朗日函数积分 (2-5)10ttldw 该式称为哈密顿作用量。有势系统的哈密顿变分原理可以描述为有势系统的哈密顿作用量 在系统的正路上取驻值。即 6 (2-6)0w 系统的状态也可以用其他参数确定。通过勒让德变换引入变量 (2-7)iilqpn,21 是广义动量。 称为哈密顿变量。由上式可反解出np,21 nnpt ,2121 (2-8)niit,21 因此拉格朗日变量可由哈密顿变量表示。 拉格朗日函数 对变量 的勒让德变换为函数nnqqtl ,2121 nq,21 (2-9) nninn tlpth , 21212121 其中 需要用 表示出来。函数 称为哈密顿函数，也称作nq,21 nnq,2121 h 系统的广义能量。哈密顿建立了著名的有势系统的新数学模型哈密顿正则方程 ； (2-10)iihpiiqn,21 在弹性力学中，拉格朗日函数 是弹性体的总势能密度，它的积分 在动力学中称llldzs0 为哈密顿作用量，其物理意义是总势能。由最小总势能原理 就可以导出相应的拉格朗日 方程 (2-11)0iildtqn,21 由勒让德变换引入的对偶变量 ，在这里是广义力。得出的哈密顿函iip, 数 叫做混合能密度。h 2.3 哈密顿体系的求解方法 对于弹性体的线弹性系统，拉格朗日函数 是 和 的函数，可写成矩阵形式q,l (2-12)gkqkt1t212t2),( l 式中，广义位移 ，广义位移的导数 ，系统外荷载nq21 nq, 。系统的总势能为：tng,21g 7 (2-13)ldtlw0q, 由最小势能原理， ，即 可以导出拉格朗日方程：0 (2-14)qdz 将以往的时间坐标 换成空间坐标 采用矩阵向量列式可写成：t (2-15)0gkqk1122)( 式中 。利用勒让德变换，引入广义位移 的对偶变量广义力 。t211kqqpl 和 的表达式分别为：pq ， (2-16)qp212 1221 导入哈密顿函数 ，消去 ，得到矩阵形式的表达式为：,tlhq (2-17)qhpd2ba, ttt 式中 ， 。gh0,pq 2112112 kkd， 则哈密顿对偶方程成为： (2-18)qhpq (2-19)pabt 将对偶向量 合在一起组成为状态向量pq, )(zv (2-20)t,q (2-21)hh 其中， ， 。 (2-22)tabdpq 式(2-21) 就是哈密顿对偶方程。系统矩阵 称为哈密顿矩阵，是一个辛矩阵。 对于初值问题和两端边值问题，可以结合边界条件，运用精细积分法求出 。v 8 3 工字形截面轻钢结构构件弯扭耦合动力特性分析 结构的自振周期、振型和阻尼等动力特性只是和结构自身的质量和刚度有关，是结构本身 所固有的属性，是结构振动的内因，也是结构动力学中的重要特性。阻尼的大小由试验测定， 自振频率及振型可通过计算来确定。结构的动力特性分析是计算结构动力响应的前提条件，为 进行复杂高层建筑结构抗震设计提供必要的理论依据，在实际的工程应用上有非常重要的意义。 目前常用的求解多质点弹性体系基本频率的方法有能量法、折算质量法；最常用的求解基 本周期的近似方法是顶点位移法；求解多质点弹性体系多个频率和振型的近似计算方法有矩阵 迭代法，rayleigh-ritz 法；求解多自由度弹性体系自振周期和振型的计算机方法有雅可比法。 31 基本假定和计算模型 3.1.1 基本假定 （1）将工字形轻钢结构构件从底到顶划分为若干个有限宽度的条形单元，沿条形单元的竖 向是真实的连续函数(广义位移 )，而沿横向用插值函数来模拟翘曲位移函数 : （3-1） niiiszwzs1)(,( 式中： ：截面所分条元交界线处的纵向翘曲位移；)(zwi ：关于各交界线处纵向翘曲位移的插值函数，我们选用较为简单的分段线性插值si 函数来描述闭口薄壁杆件的纵向翘曲位移。 （2）研究薄壁杆件绕 z 轴扭转时，符合弗拉索夫的刚周边假定，假定截面的切向位移为： （3-2）)(),(zsh 式中： 为截面上任一点的切线到扭心的距离；)(sh 为截面 z 的扭转角。 （3）沿曲线坐标 s 方向的环向应力 和法向应力 远比横截面的轴向应力 小，可忽sn z 略不计。 3.1.2 计算模型 在薄壁杆件的弯扭作用问题中，为了更真实的表示薄壁杆件结构的实际变形，我们采取插 值函数的思想对杆件的翘曲位移进行假定，以此达到逼近杆件实际变形的效果；将等效后的工 字形薄壁结构依次划分为若干个有限宽度得到条形单元，沿条形单元的竖向真实的的连续函数 （广义位移） ，而沿横向用插值函数来模拟翘曲位移函数： niiiszwzs1)(),( 第 个薄壁杆件经过沿 平动以及绕扭心 的三个过程以后，其上任意一点在整体坐标系下i iyxis 9 的切向位移可表示为: （3-3）)()()()()(00 zshxzyusyzxv shxs iisiii iipipi 式中： ； ；uzusspvzvssp0 ； ；ysisi0 zxsisi 分别为坐标原点沿 轴、 轴方向的位移；)(,0zvuxy 分别为第 个截面的扭心 在整体坐标系下沿 轴方向的位移；,sisi iisyx, 分别为第 个截面的扭心 在局部坐标系下沿 轴方向的位移；)(,zvusisi i i, 分别为第 个截面的任意一点 在整体坐标系下沿 轴方向的位移；,pipyx, 分别为第 个截面任意一点 在局部坐标系下沿 轴方向的位移；)(,zvu i, 为第 个断面上任一点的切线到其扭心 的距离；shii is 为第 个断面绕 轴的扭转角；)(zz 分别为第 个断面扭心 的坐标；siyx,iis 32 工字形截面轻钢结构构件弯扭耦合动力特性分析的哈密顿对偶体系 3.1.1 工字形轻钢结构构件的线性插值函数 1 1 2 1 1 n2n3n4n5n s 图 3-1 截面分段 插值图 1 10 按上图依次写出 ：)(si ， )1)( 21sds )(1)( 2222 1nnn ssds （3-4 )(1)( 21112111 111 nnnnn sdss ）)(01)(0)(11iiii iiiii sdsss 式中： 为截面上第 点处的坐标，设工字形截面上左上部第一个点为起点 ，按汉字中工的isi 1s 写法依次标号从 1n，上翼缘交点处的点设为 ，最右边的点设为 ；下翼缘最左边第一个点1n2n 设为 ，交点设为 ，最右边点设为 ，如上图所示。3n4n5 d：表示薄壁结构划分区段的长度，其值为： 。iisd1 对上式求导可得： ， )(1)(21 sds )()(2221nnn sds （3-5） )(1)( 21112111 nnnnn sds )(01)(0)(11iiiiiii sds 3.2.2 工字形轻钢结构构件的总势能 引用向量 ，则式（3-1）可写成向量形式：tnzz)(),.(,)(21 11 （3-7）)()(),( zszswttw 将式（3-6）代入应变表达式（ 3-3） ，即可得轴向应变和剪应变，分别为： （3-7）)(),(),( szszst （3-8）)(h)(k)(j)( , zsdysxztsz w 式中： ； 。)()(j0zyus(k0xvs 则体系总势能为： dzquzddzsszasz azdz dzquzddsxssys syxzhzdxz dsssy zszdazz dqudsdysx szdzzz dqu sxsyxy sttt xyt t ttt tttszz )()(gj21)(j2)(k2j)(i jk)()(g1)(e1 )()(21j2)(h2 )j)()()(j )(k2j(k)g1)()(e21 )(jh)(j )21)()(21 (gje( 02p 2022 020222 wwiww w （3-9） 3.2.3 工字形轻钢结构构件的拉格朗日方程和哈密顿对偶方程 （1）由体系总势能公式（3-9）可求得势能密度，即拉格朗日函数： （3-10） 022p 22qu)(gj1)j2kj()(i jk)e1l dsxsyxy sttt xytsaszzz awwi 由于 ；)()(j0zus()(0zvs 12 （3-11）0200 00 2p20 20qu)(gj1)2)()( )(i)(g1)()(e1l dsxssys xysssxs yystt susxv avzzu zax）（）（ ）（ ）（）（ ）（则 ： wjw 式中： ；此为等效正交异形板所产生的轴向应应变能。data)(i ； ； ；sta)(j dashats)(s dasdxatx)(s 。dsdyaty)(s ，绕扭心的极惯性矩；hi2p ，圣维南扭转常数；dsts31j ，沿 x 方向的剪切面积； asxax2)( ，沿 y 方向的剪切面积；dsyay2)( ，混合剪切面积；xaxy)( ，y 方向的剪切静矩；asydsh)(s ，x 方向的剪切静矩。asxs)( 将上式写成拉格朗日矩阵形式： （3-12）qgkqkqt21t1t2t 1)l( 式中： ， ，wvun10， q wvun0， .tymx， g ， ， ，ike0122 01221kjg01 13 qg)(g)(g )(12 syxysysxxsxy syxysyy xxxyx aa aksxsysxsxysxd s22ijq2p00)xyg(sss12 ssk 将上式（3-12 ）代入拉格朗日静力平衡方程： ， （3-13）0qldt 因为 ，所以gkqqkq t21t1t2t1)，l( ， ，则：212 112l （3-14）gqkqkq 11222)()ldt 式中 ；211tk 结构进行自由振动时，在静力平衡方程式（3-13）的基础上，加上结构自由振动时的惯性力，并 将相关方程改为运动方程便可得到结构的运动方程： （3-15）kgq)(kq1122 其中： ， ，tmkn221202 w，vuttt， tym0x， 。i1g ， 。twvun10， q twvun10， q 为结构单元的密度，其他几何尺寸如上。 在分析动力问题时，对时间 t 常采用化为频域的方法，此时采用： （3-16）。， ；， iwtiwtyiwtx iwtitit emeqeq ezszsvzsu ),(),(),(00 14 将频域化的的式（3-16）代入式（ 3-15）可得结构自振问题的动力方程。 （3-17）0)( )()()()(1122 121122 ggqkqk mqq iwtiwtiwtiwtiwt eeee 对比系数可得： ， ， 。2211 式中： （3-18i0mg ） （2）引入变量 的对偶变量qp （3-19）qkql212 由上式可求得 为：q （3-20）p1221 进而可引入哈密顿函数： （3-21）)(),(hq,pql 将式（3-20）代入式（3-21） ，消去 ，整理后可得哈密顿函数新表达式： （3-22） qhpb21da, tttt 其中： ， ， ， ， 。21ka12d2112kbtq0gp 由上式可导出结构的哈密顿对偶方程即哈密顿正则方程： （3-23） ptqhabqpdh 把哈密顿正则方程写成矩阵形式： （3-24）hv 其中： 15 ， ， （3-25）tabdht,pqvpqh 上式中系统矩阵 称为哈密顿矩阵，它是一个辛矩阵。哈密顿的物理意义是动能和势能的和。 运用 matlab 编制程序，并应用两端边值问题精细积分法进行求解计算，从而得到频率 。 33 工字形轻钢结构构件的截面特性 对于工字形截面，截面上任意点到截面扭心的距离 为：)(sh （3-26） )(0)( 53030221nnnnshs s 2b 2h 2b xy 图 3-2 工型截面图 1 1n2n3n4n5no （3-27）5321 00 )()(s nnn ssssats hht dtd ， ， t （3-28） )()2()( 533211nnshbssx （3-29） )(10)( 533211nnsssx 16 （3-30）5321 100 )()(snnn ssssaxt dxtdx， ， tt （3-31） )()()(y 533211nnshb （3-32） )(01)( 533211nnsssy （3-33）010 ()(s41 ， ， nnssayt dytdytt （3-34）222 22p40)()(i5313121bthdshdsthnnnnna （3-35）)(3j3tss （3-36）btdsdsxtaxnnnnnax4101()5313122 222 （3-37）htdsdsytaynnnnnay2010)()(533221 22 （3-38）0101 )()(5313122 nnnnn ssssssaxy ddt syxty 17 （3-39）0101 )()(s5313122nnnnn ssssssasy dhdht yt （3-40）001 )()(s533221nnnnn ssssssasx dhdht xt 34 本章小结 本章通过对工字形截面轻钢结构构件的分析，建立了开口薄壁杆件的受力模型。采用线性 插值的方法无限逼近真实结果，把等效后的薄壁结构划分为若干个有限宽度的条形单元，并以 最小总势能原理为基础，通过引入原变量的对偶变量，运用哈密顿体系导出哈密顿对偶方程， 从而推导出组合薄壁杆件的弯扭耦合分析的对偶方程。本论文的重点的工作之一是对截面特性 进行计算，对此本章给出了详细的介绍。 18 4 算例计算及结果分析 （4-1） )()()()()( )()()()( 21221 112121 ssssssss nn nnnt 将式（3-4）代入式（4-1）中，可求得： （4-2） 21221 11)( nn nt trrts ， )(1iiii sds )(1iiii sds （4-2a）32)(3)( 2)(1122 11 dsdsiiis iississi iiiii （4-2b）3)(02)(3)( 2)(112 11 ddsds sstiiis iiisi iiiii （4-2c）6323)(2)(1 )(11111 dsdsdss ssstr iiiss ii s iiiis iissiii iiiii 19 （4-3） )()()()()( )()()()( 21221 112121 ssssssss nn nnnt 41 算例验证 算例一 如图 4-1a 所示，一悬臂工字形断面薄壁杆件，断面尺寸如图 4-1a 所示（单位 m） ，杆长 ，l20 材料弹性模量 ，泊松比 ， ，求杆件约束扭转振动的21/0.2mne3.03/780kg 自振频率。 1.6 1.6 0.18 0.14 0.14 0.94 图 4-1a 截面尺寸图 x y 20 1 2 4 5 9 10 2113 14 17 3 6 7 8 11 12 15 16 18 19 20 x y 图 4-1b 分段插值 o 截面分为 20 段，每段长度为： ；扭心坐标为：2.0d）， 0()y(sx ，18.0t4.21，t 2101/8.)3.()(egmn4221221220768.).0()(530411mdshtstdshttaissp 4332133082.4)8.0.6(1(htbtdstjs2 21221 248.0.60)()(53411mdststdst xtaxassx 21 2 21221 224.080)()(5304101mdststdst ytayassy 0101)()(530402112 ssssssaxy dttdt yxty0001)()( 513141122 ssssssasx dhtdtdht xhts0010)()(5 33221 nnnnn ssssssasy dhtdtdht yhts 211391tt 0.02.02.2. )()( ， ， stasssas 211391 213tt 4.0.040)()( ， ， ， t dsxstdsxsax018.0.0)()( 752 tt， ， ， t dsystdsysay 22 21222 26t6t6t6t)( mmmi 1713951 ddasat ， ， ， 6t32t011m3t26t0t0t32611115 3t206t119 ， ， 。 3t260t1213 3t26t0t0t111117m3t60t112m 23 212 22 2tttt1)( 1713951 mmmj ddasat ， ， ，11t2t01m 1211t0t0t5m 211t0t9 ， ， 12t0t-13 1211t0t0t17 11tt21 表 4-1 不同长度悬臂梁自振频率对比 长度 （ ）m一阶频率（ ）srad/二阶频率（ ）srad/三阶频率（ ）srad/四阶频率（ ）srad/五阶频率（ ）srad/六阶频率（ ）srad/ 10 189.43 289.93 490.43 590.93 791.43 1191.9 15 79.543 180.04 304.82 405.32 505.82 707.32 20 55.4 155.9 228.4 266.65 367.15 467.65 30 34.019 112.33 116 152.12 217.75 318.25 算例二 工字形薄壁断面悬臂梁的自由端承受均布荷载 q，截面尺寸如图 4-3b 所示， ，cmh24 24 ， ， 杆长 ，弹性模量 ，泊松比 ，荷载值cmb12tcmd1l510.2e25.0 ， ，求杆件约束扭转振动的自振频率。2/0nq3/780kg q 图 4-3a 荷载分布图 t x b b dt h 图 4-3b 截面尺 寸图 y 25 图 4-3c 分段插值图 1 2 3 5 6 7 12 13 15 17 4 14 16 截面分为 16 段，每段长度为： ， 。md03.）（ 0,)y,(sx ，218.40.)2.1.0(a mkg/4.3718.47a.kg30.78i 23 ）（2101/4.8)25.0()1(2egmn452106.32mdshtdaship 47 33106. )01.2.2(3mdstjs2322104)()(dsxtdasxax 26 2322104. )()(mdsytdasyay0)()( dsysxtdasyxaxy0)()(dsyhtdsyhsasy0)()(dsxhtdsxhs asx 171351tt 02.02.02.02. )()( ， ， dshtdshssas 171351tt 00.0. )()( ， ， dsxtdsxssax01.0.0)()( 53tt， ， dsystdsysay 27 17616161 61)( 1513531 mmmi dtdasat ， ， ， 613201m326103 320165m ， ， 。 3261013 3261015 316017 28 17111 1)( 1513531 mmmj dtdasat ， ， ，1201m2103t3 2015 ， ， 210-13 210315m117 表 4-2 不同长度悬臂梁自振频率对比 长度 （ ）m一阶频率（ ）srad/二阶频率（ ）srad/三阶频率（ ）srad/四阶频率（ ）srad/五阶频率（ ）srad/六阶频率（ ）srad/ 5 83.5 393 837.5 858 1005.5 1857 10 31.5 121 282.5 419 428.5 520 15 19.5 66 140.5 249 279.5 285 20 13.5 45 88.5 151 209.5 214 42 本章小结 本章通过对悬臂轻钢工型截面梁的算例分析，可以看出：二阶频率比一阶频率的数值大， 三阶的比二阶大，并且随着阶数的增大，其数值逐渐增大；另外，对于不同杆长的梁，在杆长 分段数、截面插值数、步长值相等的情况下，频率大小随杆长的增大而减小。matlab 的编程 计算可以很大的简化计算，利于分析，不过上述数值的结果尽可供参考。 29 5 结论与展望 51 结论 随着建筑行业的发展，轻钢结构在其中发辉的作用越来越显著。钢结构有着强度大和重量 轻等众多优点，本文中所讨论的工型轻钢结构构件在简化为薄壁结构模型的情况下，利用薄壁 杆件的相关知识推到出了拉格朗日方程和哈密顿对偶方程，再通过精细积分法求出未知量。虽 然在 matlab 程序运行中出现了一点问题，但认可得出结论如下： （1）通常情况下，结构不仅受到弯矩或者某一个单独广义力的作用，而是受到复合力的综 合作用，本文考虑弯扭耦合自振情况，这就更加符合真实效果。 （2）将工型轻钢结构简化为薄壁结构后，求出哈密顿对偶方程，利用精细积分法计算，它 具有计算