对矩阵分解方法的探究 毕业论文.doc

滨 州 学 院 毕 业 设 计 （ 论 文 ） 题 目 对矩阵分解方法的探究 系 （院） 数学系 专 业 数学与应用数学 班 级 2010 级 1 班 学生姓名 学 号 2009010447 指导教师 职 称 二一四年六月十日 独 创 声 明 本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。 尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 二一四年 月 日 毕业设计（论文）使用授权声明 本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文） 的规定。 本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学 校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制 手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立 目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允 许他人依法合理使用。 （保密论文在解密后遵守此规定） 作者签名： 二一四年 月 日 滨州学院本科毕业设计（论文） i 对矩阵分解方法的探究 摘 要 矩阵是线性代数中最为重要的核心内容，很多问题都可以归结为 矩阵并最终通过矩阵分解来解决.矩阵分解是实现大规模数据处理和分 析的一种有效工具，在工程计算中具有重要的实际意义.矩阵分解主要 分为两种：一种是将一个矩阵分解为两个或两个以上矩阵和的形式； 另一种是将一个矩阵分解为一些矩阵的乘积的形式.本文就此对矩阵的 分解方法做了进一步的探究.第一章，介绍了矩阵的研究背景和基本概 念；第二章，对矩阵的和式分解及其应用进行了研究，并得到了三个 定理；第三章，着手探究了矩阵的 分解、矩阵的 分解、矩阵的谱luqr 分解、矩阵的奇异值分解以及其它分解方法的应用.这些分解在数值代 数和解决最优化问题中都扮演着十分重要的角色并且在其它领域也起 着非常重要的作用. 关键词：矩阵和式分解；矩阵乘积分解；矩阵 分解；矩阵 分解；luqr 矩阵谱分解 滨州学院本科毕业设计（论文） ii explore on the methods of matrix decomposition abstract matrix is the most important core content in linear algebra. many problems can be attributed to matrix and ultimately be solved by matrix decomposition. matrix decomposition is an effective tool to achieve large- scale data processing and analysis. it has the important practical significance in the engineering calculation. matrix decomposition is mainly divided into two kinds. one kind is a form which decompose matrix into two or more than two matrices. another kind is a form which decompose matrix into some matrix product. the paper has been explored on the matrix decomposition methods. the first chapter introduces the research background and the basic concepts of matrix. the second chapter, do some research on the matrix and sum decomposition and its application, and three theorems are obtained. in the third chapter, we study the decomposition lu of matrix, the decomposition of matrix, spectral decomposition of matrix, qr singular value decomposition of matrix and the application of decomposition method. these decomposition solving plays a very important role in numerical algebra and optimization problem and also plays an essential role in other areas. key words: the sum decomposition of matrix；the product decomposition of matrix； decomposition of matrix； decomposition of luqr matrix；spectral decomposition of matrix 滨州学院本科毕业设计（论文） i 目 录 第一章 矩阵分解的概述 1 1.1 研究背景 1 1.2 基本概念介绍 1 第二章 矩阵的和式分解及应用 3 2.1 矩阵的和式分解 3 2.2 矩阵和式分解的应用 5 第三章 矩阵的乘积分解及应用 7 3.1 矩阵的 分解及应用 7lu 3.2 矩阵的 分解及应用 10qr 3.3 矩阵的谱分解及应用 13 3.4 矩阵的奇异值分解及应用 17 3.5 矩阵乘积的其它分解及应用 19 小结 22 参考文献 23 谢辞 24 1 第一章 矩阵分解的概述 1.1 矩阵分解的研究背景 自 20 世纪 50 年代以来矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的进展，矩阵 理论的应用日益广泛.矩阵已成为人们探索新理论的重要工具，矩阵分解的应用也 越来越受到人们的重视.在数值线性代数中，我们常常需要将数域 p 上的某个已知 矩阵写成若干个满足一定条件的特殊类型矩阵之和或矩阵之积的形式，并把这种矩 阵表示称为矩阵分解. 刘轩黄在文献1中探究了关于矩阵的满秩分解及其应用，并应用矩阵的满秩 分解，给出了多种广义逆矩阵以及线性方程组的极小范数解，极小最小二乘解和极 小范数最小二乘解的算法.王卿文在文献2中探究了高等代数中幂零矩阵的性质及 其应用，幂零矩阵是一种特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的作用，它具有 很多良好的性质与此同时，从矩阵的各个角度深入挖掘其性质，并用不同的方法 进行分析论证，还通过例子说明其应用性，这对于解决若干矩阵问题大有益处.邹 红星在文献3中探究了矩阵 qr 分解的途径，并给出四种求矩阵 qr 分解的方法， 以加强对 qr 分解思想及方法的深刻理解.此外，在文献4-6中探究了矩阵分解的 方法，并给出了矩阵分解的两种形式，即和与乘积的形式，分别介绍了不同的分解 方法：lu 分解、qr 分解、满秩分解等方法综合上述对矩阵分解的探究，对于矩 阵分解的不同方法给出了相应的应用例题，与此同时，本文在已有的矩阵分解方法 的基础上，还给出了在一定条件下的矩阵分解的其它形式掌握矩阵分解的各种方 法，不仅可以简化计算，而且可以简便快捷的解决问题，并对于我们解决实际问题 也有着重要的作用. 1.2 矩阵分解中基本概念的介绍 定义 1.1 设7 ， 121212nijsnssnaaa 2 ， 121212nijsnssnbbb 是两个 矩阵，则矩阵sn = ，ijijijsnccab 11212 212nsssnabab 称为 和 的和，记为 abab 矩阵的和式分解就是将一个矩阵写成上述 的形式当然分解后的矩cab 阵与原矩阵是同型矩阵. 定义 1.2 设 ，那么矩阵 ，其中7,iksnakjnmbsnijc ，121ijijijijikjcbab 称为 与 的乘积，记为 abcab 从上述定义中可以观察到，矩阵 与矩阵 的乘积 的第 行第 列的元素等bcij 于矩阵 的第 行和矩阵 的第 列对应元素乘积的和.那么，在上述矩阵乘积的定ij 义中，我们要求矩阵 的行数与矩阵 的列数相等. 3 第二章 矩阵的和式分解及应用 2.1 矩阵的和式分解 矩阵的和式分解问题在计算数学及线性代数中都有非常广泛的应用,本章将从 矩阵入手，主要介绍矩阵和式分解的一般形式，即将一个矩阵分解成两个矩阵或两 个以上的矩阵和的形式.这对探究矩阵的结构以及矩阵的计算方法有着非常重要的 作用. 定理 2.1 任意一个 矩阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.7n 证明 设 为任意 阶矩阵，构造矩阵 a ， 12aa 令 ， .b12c 因为 ， 12aab 12cc 所以 为对称矩阵， 为反对称矩阵，并且 ，结论证得.b 定理 2.2 秩等于 的对称矩阵可以表成 个秩等于 1 的对称矩阵之和.7rr 证明 设 是秩为 的 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 ，使anp , 12 0rp 其中 为 的全部非零特征值，则12,r a 4 12rapepe ，rtt 其中 表示第 行和第 列的元素都为 1，其余元素均为 0 的 阶矩阵.ieii niitp ，所以 是对称矩阵.又因为秩 ， 为可逆矩阵，故秩iiit1ie,p 秩 .所以，证得秩等于 的对称矩阵可以表成 个秩等于 1 的对称it1ierr 矩阵之和. 下面这个定理则是在一定条件下矩阵和式分解的形式 定理 2.3 证明任意复矩阵 均可以分解为 的形式，其中 为幂零矩aabc 阵， 相似于对角形矩阵，并且 .bbc 证明 由题意知，存在可逆矩阵 ，使得t ， 121sjaj 其中有 1iii ij 01iii 设 5 , ， iii ib 01ic 则 11221s sbcta 令 ， 121sbtt ， 121sctt 则 , 就是所求的矩阵bc 2.2 矩阵和式分解的应用 如果一个矩阵 可以分解成两个或两个以上矩阵的和的形式，则可以用分解式a 的形式来计算与该矩阵 可交换的矩阵，矩阵 的方幂等. a 例 2.1 设 ，求所有与 可交换的矩阵.10 解 令 , 01ae 设 与 可交换,abbcd 即 ,0011abeecd 6 可得 ,0011abcd 则有 , 所以 ，因此 为任意实数.0,bad0,abc 例 2.2 设 ，求 .8 10a10a 解 令 ，1b 则 ，ae 又 ，1 1,3nbb 所以 101010ae210100cbcb . 3110 因为 10121001033cc ,2391010010 所以 7 .101023aeb 1010223 从上述例子可以看出，将一个矩阵分解成一个单位矩阵和另一个矩阵和的形式， 不仅可以简化计算，而且可以简便快捷的解决问题. 第三章 矩阵的乘积分解及应用 3.1 矩阵的 分解及应用lu 分解 设 是 阶可逆矩阵，如果 的对角线下（上）方的元素全ijaana 为零，即当 时， （当 时， ） ，则称矩阵 为上（下）三角矩ij0ijij0ija 阵.上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵. 如果一个下三角矩阵 和一个上三角矩阵 ，使得 ，则称 可以做三lual 角分解.并且称 为 的三角分解或 分解.aul 定理 3.1 分解的定理 设 是 阶可逆矩阵，则存在唯一的单位下三角5 an 矩阵 和上三角矩阵 ，使得 的充分必要条件是 的所有顺序主子式均非l 零，即 1212120,kkkkaa ,n 分解可以用直接法推导出 的分解公式，将 写成lualualu , 121 12121 2122n nnnn naauull 比较等式两端的第 行和第 列元素，可得ij ,1ijikjalu 上式利用了 ，从而1il 8 . 1,1,iijjkjualuin 当 时，1,2,jin ， 11i iijjkijijkill 从而 ， 1 ijjkiijialul1,2,jin 分解的初等变换消元法 设一可逆矩阵 的 个顺序主子式非零，则存在可lua 逆矩阵 ，使 ,其中 是一系列初等行矩阵之积（对应于初p1,apulp 等行变换） ， 是下三角矩阵， 是上三角矩阵，求 可用下面做法1 ,u e 行 变 换 例 3.1 求矩阵 的 分解. 123alu 解 方法一 对矩阵 作初等行变换em ， 1520035110320510123eam 所以得 ， 15203p 1523001051203105213ep 9 所以得 ， 152301pl52031u 即 520315231lua 方法二 令 , 1213213 2ualul 所以 1,312uu 由 ，得 12ul 12l 由 ，得 13ul 313ul 由 ，得212ul 521l 由 ，得2312ul 32123ul 由 ，得 1231ul 10 521332ull 由 ，得 31231lu 331235ulu 所以得 ， , 1325l3152u 即 alu 3.2 矩阵的 分解及应用qr 矩阵的 分解（即正交三角分解）在解决最小二乘问题、特征值计算、广义 逆矩阵的计算方面，都有着十分重要的作用. 矩阵的 分解 设 是 阶可逆实矩阵，则 可唯一分解为 ，其中anaaqr 为正交矩阵（ ，或 ） ， 是主对角元素都是正数的三角tte1tqr 矩阵，称该分解为对 的正交三角分解. 设 是 矩阵，且 为列满秩，即 ，则有 ，其中amnrnmnn 的 个列向量是标准正交的， 是正对角元的 阶上三角矩阵.nq r 矩阵的 分解有很多种.常见的有 schmidt、givens 正交分解法r schmidt 正交分解法 设可逆矩阵（或列满秩） 的列向量是 ，用a12,n schmidt 标准正交化使得 为正交组.则有先正交化12,n 1211=-(,)-,nini 再单位化 2.n 11 ， 12132, ,nnr 则得 aqr 因为 是标准正交组， 是正交矩阵 .12,n 12,n 例 3.2 用 schmidt 正交化方法，求矩阵 的 分解. 01qr 解 令 ，123,a 则 ，123 0,01 由 schmidt 正交化公式，得 ，11,20 ,120 ，12132, 12 ，212 20, 1 ，22 23 01,113323, ， 100212 ，33 2122,0 ，123 2,01q 由公式 ， 12132,12r 13 即 aqr 3.3 矩阵的谱分解及应用 3.3.1 单纯矩阵的谱分解 5 阶单纯矩阵 有 个线性无关的特征向量,设 是 的 个特征值，nan12,n a 是 的 个线性无关的特征向量，而且有12,x ,iix 令 ， ，12,npx 12nv 则有 ,两边取转置得 ，这就表明 也与对角矩阵相似.1av1ttapta 所以，设 是 的 个线性无关的特征向量，即有12,ny t ,12iiyn 将上式两端取转置得 .,tiiya 由上式，则称 是 的左特征向量，称 是 的右特征向量.tiyix 由 得 ，两边取转置，得1apv112, ttnyp , 1-tny 代入，得 ,则1pe 14 , 112 12, ,tn nnyxxe 此时有 .12ttnxyxye 比较上式两端 ,1,tiijyx 上式表明，矩阵 的左特征向量 与右特征向量 正交 .把下边式子ai ixj12,npx 与式子 , 1tnyp 代入 ，得1apv . 11212 12, ttttn nnyx xyxye 令 ，tiigxy 则得 .1 nia 因此，称上式为单纯矩阵 的谱分解.即 分解成 个矩阵 之和的形式,其线nig 性组合系数是 的谱（即所有的特征值）.a 15 3.3.2 矩阵谱分解的定理 定理 3.2 设 是 阶单纯矩阵， 是 的 个互不相同的特征值，5an12,n ar 则 满足下面性质的谱分解a （1） ；1 rje （2） ；2,jjr （3） ；,1,2ijoij （4） .1 nije 证明 设对于 的线性无关的右特征向量为 ,左特征向量为j12,jjsx ，将其代入 ，得12,jttjjsyy 1 niag ，11 jsr rtjkjjxye 其中 ， 1121,j jjtjstjjjk stsyexyx 根据 , 112 12, ,tn nnyxxe 得 ,1 nije 又由 16 ,1,2tijyxin 得 , .2jjeijo 则所有的式子都得证. 例 3.3 求矩阵 的谱分解. 41036a 解 因为 ，2 410316ea 所以 的特征值为a .123,1 对于 由 得其特征向量12,10eax .1 53 对于 ，由 得其特征向量23=120eax .23 01, 所以得 ，123 520,1p 17 ，1 20352p 并且有 ，12apdiagp 取 ，1 51035220310e ,2 230151032e 则 12ae 3.4 矩阵的奇异值分解及应用 3.4.1 矩阵的奇异值分解 定义 3.1 矩阵的奇异值分解 设 ， 的特征值为5 mnrcha12r ，则称 是矩阵 的正奇异值，简称奇120rrn 1,2ii 异值.也就是 的特征值的非负平方根 .ha 当 是零矩阵时，则 的奇异值均为零. 18 由上面的定义可以得出以下几个性质： （1） 阶矩阵 的奇异值的个数等于列数 （因为 的阶数是 ） ；nmanhan （2） 的非零奇异值的个数等于 （因为 ）rakarakrk 3.4.2 矩阵奇异值分解定理 定理 3.3 设 ，则存在 阶酉矩阵 和 阶酉矩阵 ，使得5nmrcunv ,oevuh 其中 ,而 是 的正奇异值，则称 12,rediag 1,2ir aha 是 的奇异值分解.a 证明 由 ，则有 并且是 hermite 矩阵.nmrchmnrc 设 的特征值是 ，则有12,r , ,ii12r 所以有 .12,hreovadiag 记 ，其中 代入上式得12,v12,nrnrc ,2112hheva 则有 ,1122hhrevaio 由 令 ,又由 ，最后得2,avo11u12,uev .1111222, hhh eav oa 19 例 3.4 求矩阵 的奇异值分解.10a 解 因为 ， 012t 所以 的特征值是 3,1,0.则 的奇异值是 并且 的正交单位特taa123,ta 征向量分别是 ，1 231,0,6 3t tt 令 ，12312,vqv 则 ，11 162001236uav 所以 的奇异值分解为 1216630202113a 3.5 矩阵乘积的其它分解及应用 例 3.5 令 为数域 上秩为 的 矩阵， 试证 存在秩为 的 矩aprmn0rrm 阵 和秩为 的 矩阵 ，使得 frngaf 证明 因为秩 ，则存在 的可逆矩阵 和 的可逆矩阵 ，使得pnq 20 0reapqreoq 取 ， ，rforg 则 , 分别是秩为 的 矩阵与秩为 的 矩阵，并且有 fgrmnafg 注 从上面的分析和证明中可看出，只要应用上面结论 ，reapq 同时给出适当的变化，就可以得到证明需要注意的是，上面的结论有时还可以写 成 reopa 例 3.6 复数域上的任意 阶方阵 ，均等于两个对称矩阵的乘积，并且其中之n 一是非退化的 证明 是复数域上的 阶方阵，则存在 阶可逆矩阵 ，使ant ， 121 sjtaj 其中 , 010iiii kj 12,is 作 , 1ih 与 阶数相同，易知 ， ihijiiij1,2s 21 令 , 12sh 则有 ， 1hjh 故 11atjt1at1ath 令 ，则 bhb 令 ，则 , 非退化，并且1cc ， thtb . 111abba1=1a1bc 注 对于 ( )阶若尔当块ik=,2s ， 010iii ij 则存在 阶矩阵ik ， 1ih 使得 22 ， 1 1iiii iihjj 1iiih 23 小 结 矩阵是数学中最重要的基本概念之一，是代数学的一个主要研究对象，也是数 学研究及应用的一个重要工具矩阵是线性代数中最为重要的核心内容，很多问题 都可以归结为矩阵并最终通过矩阵解决. 我们通过对矩阵分解的探究可知，在近代 数学、工程技术、信息处理、经济理论管理科学中，也大量涉及到矩阵理论的知识， 矩阵分解是实现大规模数据处理和分析的一种有效工具，在工程计算中具有重要的 实际意义矩阵发展到今天已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富，形式 多样矩阵分解是根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积 或者一些矩阵之和，矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了至关重要的作 用本文探究了矩阵的两种主要分解形式，这对于与矩阵有关的数值计算和理论都 有着非常重要的意义通过对所给矩阵进行不同的分解，既简化了计算，又可以快 捷的完成所研究的内容，可见，矩阵的各种分解形式都有着其特别的用处因此， 探究矩阵的不同分解方法，对于我们更深层次的研究数学有着很重要的作用 24 参 考 文 献 1 刘轩黄. 矩阵的满秩分解及其应用j. 江西电力职工大学学报 ，1999，12（4）：1-7. 2 王卿文. 高等代数学综论m. 香港天马图书有限公司， 2000. 3 刘秀梅. 矩阵 qr 分解途径的研究j. 内江师范学院学报 ，2007，22（4）：18-20. 4 李建东. 矩阵 qr 分解的三种方法j. 吕梁高等专科学校学报 ，2009，25（1）：16-19. 5 王群英. 矩阵分解方法的探究j. 长春工业大学学报(自然科学版)，2011，32（1）：97- 101. 6 房月华，陈萍. 矩阵的满秩分