多产数学家—柯西 毕业论文.doc

本科毕业论文多产数学家柯西 prolific mathematician- cauchy 学院（部）: 理学院 专业班级： 数学与应用数学 学生姓名： 指导教师： 2012 年 06 月 日20多产数学家-柯西 摘要 在人类光辉的数学史中，他做出了巨大的贡献。在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，一生共有789篇论文和几本书，其中有些是经典之作。许多数学定理和公式都以他的名字命名。他从小就显出超人的数学天赋。他把一生奉献给了他钟爱的这份事业。“人总是要死的，但是他们的功绩永存。”这是他临死前留下的话。他就是大名鼎鼎的数学家柯西。本文将在参考国内外大量文献资料的基础上，带您领略他带给人类数学的经典理论。关键词：多产数学家，柯西，经典理论prolific mathematician-cauchyabstract in the human glorious history of mathematics, he made great contribution. in the writing of mathematics, he is considered second only in the number of people with euler, life of 789 papers and a few books, some of which is classic. many mathematical theories and formulas are named after him. he showed a mathematical genius from childhood. he dedicated his whole life to the cause of his beloved. “men pass away but their deeds abide.” he is the famous mathematician-cauchy. in reference to domestic and foreign literature on the basis of, you will enjoy he brings to the classical theory of human mathematics.keywords：prolific mathematician, the classical theory，cauchy目录 摘要（中文）摘要（外文）绪论（引言）11 大数学家柯西简介1 1.1 个人履历1 1.2人物生平1 1.2.1 1811年及1812年研究成果2 1.2.2 1813年研究成果2 1.2.3 1815到1821年研究成果2 1.2.4 1830年后研究成果3 1.3 个人作品3 1.3.1 在单复变函数的贡献3 1.3.2 在分析基础的贡献4 1.3.3 在常微分方程的贡献5 1.3.4 在其他方面的贡献52 柯西不等式6 2.1柯西不等式的各种形式6 2.1.1二维形式6 2.1.2三角形式6 2.1.3向量形式6 2.1.4一般形式6 2.2柯西不等式的证明7 2.2.1二维形式证明7 2.2.2三角形式证明7 2.2.3向量形式证明7 2.2.4一般形式证明7 2.3 柯西不等式的应用8 2.3.1巧拆常数证不等式8 2.3.2求某些函数最值83 柯西收敛准则8 3.1柯西收敛准则的定义8 3.2柯西收敛准则的地位9 3.3柯西收敛准则的方法9 3.4柯西收敛准则的证明94 柯西中值定理10 4.1柯西中值定理的概念10 4.2柯西中值定理的证明11 4.3柯西中值定理与拉格朗日中值定理的联系11 4.4柯西中值定理的几何意义11 4.5柯西中值定理的应用11 4.5.1 判断函数单调性11 4.5.2 不等式极限11 4.5.3 推导中值公式13 4.5.4 研究函数的某些特性145 柯西积分公式15 5.1柯西积分公式的定义15 5.2柯西积分公式的证明15 5.3柯西积分公式的应用176 柯西与常微分方程177 柯西分布17 7.1柯西分布概述18 7.2柯西分布概率密函数18 7.3柯西分布与标准柯西分布的性质18结论19参考文献20谢辞21绪论 在众星云集的数学殿堂中，柯西这个名字闪闪发光。首先，柯西以接近于现代的方式定义单元函数，给出了连续的严格定义，简洁而严格地证明了微积分学基本定理，这是整个数学分析从仅把积分看作微分逆运算走向现代积分理论的转折点。其次，他在复变函数，常微分方程理论中都有所建树。再次，他还是弹性力学理论基础的建立者。1 大数学家柯西简介1.1个人履历柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分赏识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。柯西在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子高斯相反。据说，法国科学院“会刊”创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能有四页，所以柯西较长的论文只得投稿到其它地方。1.2人物生平1.2.1 1811年及1812年研究成果 柯西于1802年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的天体力学，后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论直到天文学方面。根据拉格朗日的建议，他进行了多面体的研究，并于1811及1812年向科学院提交了两篇论文，其中主要成果是： （1）证明了凸正多面体只有五种（面数分别是4，6，8，12，20），星形正多面体只有四种（面数是12的三种，面数是20的一种）。 （2）得到了欧拉关于多面体的顶点、面和棱的个数关系式的另一证明并加以推广。 （3）证明了各面固定的多面体必然是固定的，从此可导出从未证明过的欧几里得的一个定理。 这两篇论文在数学界造成了极大的影响。柯西在瑟堡由于工作劳累生病，于1812年回到巴黎他的父母家中休养。1.2.2 1813年研究成果 柯西于1813年在巴黎被任命为运河工程的工程师，他在巴黎休养和担任工程师期间，继续潜心研究数学并且参加学术活动。这一时期他的主要贡献是： （1）研究代换理论，发表了代换理论和群论在历史上的基本论文。 （2）证明了费马关于多角形数的猜测，即任何正整数是个角形数的和。这一猜测当时已提出了一百多年，经过许多数学家研究，都没有能够解决。以上两项研究是柯西在瑟堡时开始进行的。 （3）用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。 （4）研究液体表面波的传播问题，得到流体力学中的一些经典结果，于1815年得法国科学院数学大奖。 以上突出成果的发表给柯西带来了很高的声誉，他成为当时一位国际上著名的青年数学家。1.2.3 1815到1821年研究成果 1815年法国拿破仑失败，波旁王朝复辟，路易十八当上了法王。柯西于1816年先后被任命法国科学院院士和综合工科学校教授。1821年又被任命为巴黎大学力学教授，还曾在法兰西学院授课。这一时期他的主要贡献是： （1）在综合工科学校讲授分析课程，建立了微积分的基础极限理论，还阐明了极限理论。在此以前，微积分和级数的概念是模糊不清的。由于柯西的讲法与传统方式不同，当时学校师生对他提出了许多非议。柯西在这一时期出版的著作有代数分析教程、无穷小分析教程概要和微积分在几何中应用教程。这些工作为微积分奠定了基础，促进了数学的发展，成为数学教程的典范。 （2）柯西在担任巴黎大学力学教授后，重新研究连续介质力学。在1822年的一篇论文中，他建立了弹性理论的基础。 （3）继续研究复平面上的积分及留数计算，并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等。 他的大量论文分别在法国科学院论文集和他自己编写的期刊“数学习题”上发表。 1.2.4 1830年后研究成果1830年法国爆发了推翻波旁王朝的革命，法王查理第十仓皇逃走，奥尔良公爵路易菲力浦继任法王。当时规定在法国担任公职必须宣誓对新法王效力，由于柯西属于拥护波旁王朝的正统派，他拒绝宣誓效忠，并自行离开法国。他先到瑞士，后于18321833年任意大利都灵大学数学物理教授，并参加当地科学院的学术活动。那时他研究了复变函数的级数展开和微分方程（强级数法），并为此作出重要贡献。18331838年柯西先在布拉格、后在戈尔兹担任波旁王朝“王储”波尔多公爵的教师，最后被授予“男爵”封号。在此期间，他的研究工作进行得较少。1838年柯西回到巴黎。由于他没有宣誓对法王效忠，只能参加科学院的学术活动，不能担任教学工作。他在创办不久的法国科学院报告“和他自己编写的期刊分析及数学物理习题”上发表了关于复变函数、天体力学、弹性力学等方面的大批重要论文。1848年法国又爆发了革命，路易菲力浦倒台，重新建立了共和国，废除了公职人员对法王效忠的宣誓。柯西于1848年担任了巴黎大学数理天文学教授，重新进行他在法国高等学校中断了18年的教学工作1852年拿破仑第三发动政变，法国从共和国变成了帝国，恢复了公职人员对新政权的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大学辞职。后来拿破仑第三特准免除他和物理学家阿拉果的忠诚宣誓。于是柯西得以继续进行所担任的教学工作，直到1857年他在巴黎近郊逝世时为止。柯西直到逝世前仍不断参加学术活动，不断发表科学论文。1857年5月23日，他突然去世，享年68岁，他因为热病去世，临终前，他还与巴黎大主教在说话，他说的最后一句话是：“人总是要死的，但是，他们的功绩永存”。1.3 个人贡献柯西是一位多产的数学家，他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷。他的主要贡献如下；1.3.1 在单复变函数的贡献 柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等。1.3.2 在分析基础的贡献柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分（即无穷小分析，简称分析）以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。柯西极限论的定义：设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：，那么常数a就叫做函数当时的极限。“严格来说，没有数学证明这种东西，分析到最后，除了指指点点，我们什么也不会干；证明就是我和李托伍德叫做神吹的那套玩意儿，是编出来打动人心的花言巧语，是上课够在黑板上的图画，是激发学生想象力的手法。”-哈代。数学太重要了，在中国与语文学有着同样的地位。其原因就在于数学本身就是一种语言，而且是一种世界语言，具有普遍性。所以，严格的区分数学概念的词性，是非常有必要的，不仅是数学本身的要求，也是语言科学的要求。谈到语言和词性，就要了解部分语文基础知识了。1、名词：表示人或事物、处所、方位等名称的词。2、动词：表示动作行为、发展变化、心理活动等意义的词。 微积分从诞生的第一天开始，就没有离开过矛盾和驳论。例如，贝克莱驳论（无穷小驳论）、芝诺悖论等。如果，透过这些争论，可以发现其实他们不过是变相的探讨最终形态的问题！正如莱布尼茨关注微粒最终命运一样。现在，有一些人说：柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，有“极限回避”的现象。这种说法是片面的也是不客观的，但还是指出了一些问题（应该说最终形态回避）。柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，被翻译成中国语言的时候，是非常经典的。柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，不单纯的定义了极限，还刻画了一种运动现象-向极限（最终形态）靠近的运动。最后画龙点睛，把最终形态a(如果存在，就是说不清怎么来的）叫做极限。从语法的分析上看，这个说法本质上给了“最终形态”一个称谓（名字)-极限。所以，柯西-威尔斯特拉斯的极限定义中，极限是一个名词，而不是动词。 于是，就把向极限靠近的运动叫做极限现象。许多人在理解柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，混淆了极限现象与极限，笼统的把“极限现象”和“极限”都叫做极限。既然现代函数极限定义并没有解释最终形态，那么，函数的极限定义是要说些什么故事呢？有关的数学证明又在证明什么呢？其实，是再说一件事：有极限（最终形态），必有极限现象；反过来，有极限现象，必有极限存在。简单来说，就是极限现象是极限（最终形态）的充要条件。所以，要证明极限存在（不必去研究怎么来的），只需证明极限现象存在就够了，确实有投机取巧的嫌疑！就因为如此，所以现代极限的定义不能告诉你极限怎么来的，只能告诉你极限存在（并且可以证明）。极限现象就本质来看是一种运动现象，描述运动现象的理想工具是函数。所以现代的函数（专业）极限定义，有些函数的味道（一一对应，总有和对应）也就不奇怪了。现在，把极限说成是动词。理由是，极限的本质是：“一个变化的量接近一个固定的量”。这是极限现象的精髓，而不是极限的。可是，要描述极限现象非要柯西-威尔斯特拉斯绕口的模型吗！当然不是，模型是可以改变的，微积分初等化，就改变了这一模型。使一些复杂的数学证明得到了简化，比如极限的唯一性、函数单调性等。在柯西的著作中，没有通行的语言，他的说法看来也不够确切，从而有时也有错误，例如由于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的错误。可是关于微积分的原理，他的概念主要是正确的，其清晰程度是前所未有的。例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的，他首先准确地证明了泰勒公式，他给出了级数收敛的定义和一些判别法。1.3.3 在常微分方程的贡献 柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前，没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法，即柯西利普希茨法，逐渐逼近法和强级数法，实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数，可以证明逼近步骤收敛，其极限就是方程的所求解。 1.3.4 在其他方面的贡献虽然柯西主要研究分析，但在数学中各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科，他在天文和光学方面的成果是次要的，可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。除以上所述外，他在数学中其他贡献如下： 1分析方面：在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念；认识到傅里叶变换在解微分方程中的作用等等。 2几何方面：开创了积分几何，得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。 3.代数方面：首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值；与此同时发现两行列式相乘的公式，首先明确提出置换群概念，并得到群论中的一些非平凡的结果；独立发现了所谓“代数要领”，即拉格斯曼的外带数原理。2柯西不等式2.1 柯西不等式的各种形式2.1.1 二维形式，等号成立条件：，等号成立条件：.2.1.2 三角形式，等号成立条件：.2.1.3 向量形式，等号成立条件：为零向量，或=（r）.2.1.4 一般形式，等号成立条件：，或均为零。2.2 柯西不等式证明2.2.1二维形式证明二维形式的证明： ，等号在且仅在adbc =0即ad=bc时成立。2.2.2三角形式证明求证： +.证明： ,两边开根号即得 +.2.2.3向量形式证明 , .2.2.4一般形式证明求证：证明：等式左边= 等式右边= 用均值不等式容易证明等式左边等式右边， 所以结论得证。2.3 柯西不等式的应用2.3.1巧拆常数证不等式例如：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/ (a + b) + 2/(b + c)+2/(c + a)9/(a +b + c)。证明：因为a 、b 、c 均为正数，故为证结论正确，只需证：2(a+b+c) 1/ (a +b) +1/ (b + c) +1/ (c+ a)9，故只需证： 2(a+b+c) 1/ (a + b) +1/ (b + c) +1/ (c+ a) =(a + b)+( a + c)+(b +c)1/( a + b)+1/(b + c)+1/(c +a) （1+1+1)2=9， 又a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满足，所以原不等式成立。 2.3.2求某些函数最值例如：求函数y=3+4的最大值。 解：函数的定义域为 5 , 9 ，y0， y=3+4=52=10，等号仅在4=3，即x=6.44时取到。3 柯西收敛准则3.1 柯西收敛准则的定义 数列收敛的充分必要条件是任给0,存在n(),使得当nn, mn时， 都有成立。3.2 柯西收敛准则的地位“柯西收敛原理”是数学分析中的一个重要定理之一，这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法。 3.3 柯西收敛准则的方法 在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（cauchy）获得了完善的结果。下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“柯西收敛原理”。 定理叙述： 数列有极限的充要条件是：对任意给定的 0，有一正整数n，当m , n n时，有成立。将柯西收敛原理推广到函数极限中则有： 函数f (x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的 0，有z属于实数，当x , y z时，有成立。此外柯西收敛原理还可推广到广义极限是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。 3.4 柯西收敛准则的证明：证明: 证：对于任意的m , n属于正整数，m n 由柯西收敛原理得收敛。 4 柯西中值定理4.1 柯西中值定理的概念柯西（cauchy）中值定理：设函数f(x),g(x)满足（1）在闭区间a , b上连续;（2）在开区间（a、b）内可导;（3）对任一x(a , b)有g(x)0， 则存在( a , b), 使得 。4.2 柯西中值定理的证明作辅助函数 ，显然，由罗尔中值定理知：存在(a , b),使得f()=0. 故，即。4.3 柯西中值定理与拉格朗日定理的联系在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例,反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。 4.4 柯西中值定理的几何意义若令u =f(x),v =g(x)，这个形式可理解为参数方程，而f ( a)-f ( b)/ g (a)-g (b)则是连接参数曲线的端点斜率，f()/g()表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下,可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。 4.5 柯西中值定理的应用4.5.1 判断函数的单调性函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？ 我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上.切线的斜率均为正(或负)，也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值)。因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性。 设f(0)=0，f(x)在(0，+)上单调递增。证明：f(x)x在(0，+)上单调递增。 证明：由柯西中值定理，可以得出 这样f(x)x就在(0，+)上单调递增。 4.5.2 不等式极限柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限.两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记为 仔细观察柯西中值定理表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在移动条件下可以化成两个函数的导数的比值，这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数，我们将以微分中值定理为理论依据，通过求导，建立一个简便而有效的求非未定型极限的方法.我们得出下面这个定理： （1）两个函数f(x)和g(x)在开区间(a，b)可微，并且在这个开区间上，g(x)的导数不等于0； （2）存在极限，其中a为一个有限的常数.则在以下情况下： ， 。反过来在区间的另一个端点也存在相类似的结果.这个定理就称之为罗必达法则，能有效地应用于未定型的极限计算。 罗必达法则可以运用于7种未定型的极限计算，而最为基本的未定型只有两种：0/0和/，0/0和/型的我们都知道，那么在此就不做介绍了。其他的未定型都可以化成这两种形式： 0型. 通过恒等式:从而得到0/0或/这两种基本形式. -型. 通过恒等式:从而得到0/0型。 通过恒等式，从而得到前面几种型。再进一步化成0/0或/这两种基本形式。 对于两种基本形式的未定型，直接应用洛必达法则即可，即表示为 显然这时的条件为f(x)，g(x)都存在，并且g(x)0.还有一个不是很明显，因此初学者常常犯错误的地方，就是要求f(x)和g(x)同时以0或者为极限.在实际做题时，一定要注意随时验证这三个条件，否则必定会犯错误。 证明：。证明:令，当时有，则可以得到： 。4.5.3 推导中值公式例：设f(x)在开区间（a，b）内二次可微，证明:任意的存在，使成立（这就是泰勒公式一次展开式）。 证明：由题可知，只需证明，这一种情况。令 ，求导可得 ， 因为 ，两次应用到柯西中值定理，可以得到: 其中则 得到证明，故命题得证。4.5.4 研究函数的某些特性（1）证明中值点的存在性 设函数f在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，则(a，b)，使得证明:设它在a，b上与f一起满足柯西中值定理的条件，于是存在使得 即存在 (a，b),使得。 （2）证明恒等式 证明： 证明:令 ，则 ，由于f(x)在0,1连续，所以。5 柯西积分公式5.1 柯西积分公式的定义我们利用柯西积分定理（复围线形式）导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式。柯西积分公式：设c 为区域d 的边界，在上解析，则对于区域d内任一点z，有：。5.2柯西积分公式的证明证明：设z为d内任意一点,则 作为以为自变量的函数除z点以外在区域d内均解析. 以z点为心,充分小的为半径作圆周，使及其内部均含于d 内，由柯西定理的推广得 由 得 由于与积分变量无关，所以 下面证明： 根据的连续性，对任意，必存在正数，当，有,因此只要取，则当满足时，就有.于是 所以当时， 即 所以 柯西积分公式可以改写成 借此公式可以计算某些围线积分（指路径是围线的积分）。 5.3柯西积分公式的应用计算积分 因 在闭圆 上解析，由柯西积分公式得 。6 柯西与常微分方程早在十七世纪后半叶随着微积分理论的建立，常微分方程问题就产生了。对于各种各样的常微分方程，在十九世纪之前，数学家们普遍因袭解代数方程的思维方式，试图给出每个具体方程的确定解，并且坚信一定能够找到这样的解。可是，沿着这条传统思路走下去却变得愈来愈困难，因为有许多方程很难找到它们的具体表达式，甚至有时是做不到的。就在绝大多数数学家陷入困境，一筹莫展时，柯西思路一转，探讨起这样一个问题：给定一个微分方程，它对于给定的初始条件和边界条件是否有解?这就把微分方程解的研究从定量转到了定性，即从实际解方程转到从理论上判断解的存在性。按照柯西的思路，对于一个微分方程来说，重要的是要知道它的定性性质，即