函数最值问题解法探讨 毕业论文.doc

本 科 毕 业 论 文 题 目 函数最值问题解法探讨 院 别 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 指导教师 评阅教师 班 级 2008级4班 姓 名 学 号 2012年5月12日 目 录 摘 要 abstract 1引 言 1 2求函数最值的几种解法探 讨 1 2.1 判别式 法 1 2.2 配方 法 2 2.3 均值不等式 法 3 2.4 换元 法 3 2.5 三角函数 法 4 2.6 单调性法 4 2.7 导数 法 5 3求解函数最值时应注意的一些问 题6 3.1注意定义 域 6 3.2注意值 域 6 3.3注意参变数的约束条 件 7 3.4注意对判别式的运 用 7 3.5注意均值不等式的运 用 8 4函数最值在实际问题中的应 用 9 结束 语 12 参考文 献 13 i 摘 要： 函数最值问题是数学领域中的重要研究内容.它不仅仅只在教学中解决一 些数学问题，而且经常运用于解决实际问题.在工农业生产、经济管理和经济核算中，常 常遇到一些解决在满足一定条件下怎样使产出最多、效益最高但投入最小等之类的问题. 生活中也时常会见到求用料最省、效率最高、利润最大等问题.而这些生活和经济问题一 般都可以转化为数学中的函数类问题来分析研究，进而转化为求函数最大（小）值的问 题，即为函数的最值探讨，这尤其对研究实际问题的人们来说尤为重要.而函数最值问题 的解法包括一元函数和多元函数，同时也有初等与高等解法之分.本文主要通过从初等解 法方面对一元函数最值问题进行研究，探讨各种不同的求解方法，阐述函数最值问题研 究的重要性，得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题. 关键词：函数；最值；高等解法；初等解法；微分 abstract: the most value problem is mathematical functions in the field of important research content. it not only in the teaching solving mathematical problems, and often used in solving practical problems. in the industrial and agricultural production, economic management and economic accounting, often encountered some solutions to meet certain conditions in how to produce the greatest, benefit highest but investment issues like the minimum. life also often see for the most provinces, the highest efficiency and materials, such as maximum profit. and these life and economic problems generally can be transformed into the function in the mathematics problem for analysis and study, and then into the biggest (small) for function of the values of the problem is one of the most value function, this paper this especially for research of practical problems people is especially important. and the most value problem of solution function including a yuan function and multiple function, at the same time also have elementary and higher solution of the points. this paper mainly through elementary method to a from of most value of a circular function to research function, this paper discusses the solution of all kinds of different methods, including the most value function of importance, and get the most value solve the function of several methods and solving some problems that should be paid attention to. key words: functions; the most value; higher solution; elementary method; differential 0 1引言 函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要 组成部分处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向 简单问题的转化，虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通常是将 待解决的问题通过一次又一次的转化，直至划归为一类很容易解决或已解决的问题，从 而获得原问题的解答 1 函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛 的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见 题型也是历年高考重点考查的知识点之一由于其综合性强，解法灵活，故而解决这类 问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，灵活选择合适的解题 方法 2 函数最值的定义： 一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数 在 处的函数值是yfx00fx 如果对于定义域内任意 ，不等式 都成立，那么 叫做函数x0fxff 的最小值，记作 ；yfxmin0yf 如果对于定义域内任意 ，不等式 都成立，那么 叫做函数x0fxf0fx 的最大值，记作 . yfxma0yf 函数的最值一般有两种特殊情况： （1）如果函数 在 上单调增加(减少)， 则 是 在 上的最小值0()fx,b()fafx,ab (最大值 )， 是 在 上的最大值(最小值).fba （2）如果连续函数 在区间 内有且仅有一个极大(小) 值，而没有极小(大)值，0fx, 则此极大(小)值就是函数在区间 上的最大(小)值.b 1 2求函数最值的几种解法探讨 2.1 判别式法 对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数 出现在一个有()fx 实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件 来求出0 的最值 3.()fx 例. 求函数 的最值.2(0)yaxbc=+ 解：因为 ，所以 ，2()0axbcy+-= 而 ，所以有xr 224()04bacyd=- 2acb 2minax0y4cb - 2min4yacb- 当 时， .0d= 成立.因此，在利用 求出的 的取值范围： 或 且 中，不能0dyayb()yab0 又因为 si(cs)2=ics 22inocsq 3222si+3q 43=9 其中当 时，上式等号成立，即 时成立，故22sincosq=2cotarq 的最大值为 .sin(1+c)q439 2.4 换元法 用换元法求函数最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看做一个整体或用 一个新变元来代替，达到化繁难为简易，化陌生为熟悉，从而使原问题得解. 例. 求函数 的最值.2=+4yx- 解：因为 ，即给定函数的定义域为： .20x2,- 3 于是令 ， .2sinxq=,2p- 则给定函数可变形为: 2i4(sin)yq+- sco 2in()pq=- s24+ co()- 2sinpq=- ()24+ 而 .3,24ppqq- 又因 在 是增函数，所以其最值在端点处取得.sin()+,2 2.5 三角函数法 如果给定函数，经变形后能化成： 或 （ 、 是sin()yaxbq=+cos()yaxbq=+a 常数）的形式，则由 或sin()1xq+co1 可知：当 或 时， （设 ） 2kp=-2k=-maxy=+0a 当 或 时， （设 ） xq-(1)xpq+-axb- 例. 求函数 的最大值.sincosicoy= 解：因为 xx 1si2isn()2p+- nco4xx= sis()2- 当 时， ；xkxkzp+max(sin2)1= 当 时，,()4z=cos()ccos44xkkpp-=+- 4 即 ，所以，当 时， .max cos()14p-=4xkp=+max12y=+ 2.6 单调性法 当自变量的取值范围为一区间时，有时也用单调性法来求函数的最值在确定函数 在指定区间上的最值时，首先要考虑函数在这个区间上的单调情况若函数在整个区间 上是单调的，则该函数在区间端点上取得最值若函数在整个区间上不是单调的，则把 该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最 值，从而可以得到整个区间上的最值 5 例. 设函数 是奇函数，对任意 、 均有关系 ，若()fxxyr()()fxyfyx 时， 且 求 在 上的最大值和最小值.00f12()f3, 解：先确定 在 上的单调性，设任意 、 且 ，则()fx3, 1x23,12x .21x 所以有 212121()()()0fxffxffx 即 .21()fxf 所以， 在 上是减函数.()3, 因此， 的最大值是 ;fx()(321)fff()1()6ff 的最小值是 .()16 2.7 导数法 设函数 在 上连续，在 上可导，则 在 上的最大值和最小()fxab， ()ab， ()fxab， 值为 在 内的各极值与 ， 中的最大值与最小值f， ff 要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数式的最值，通 常都用该方法导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视 例. 求函数 ， 的最大值和最小值32()6fxx=-+-1 -， 解：求导得 . 令 ，方程无解.()0fx 5 因为 ，所以函数 在 上时增函数.22()363(1)0fxx=-+-()fx1 -， 故 当 时， ;1minff= 当 时， .xax()2 综上可知，函数最值问题内涵丰富，解法灵活.没有通用的方法和固定模式，在解题 时要因题而异，而且上述介绍的几种求解方法也并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗 透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法，函数的 最值解题方法是灵活多样性的，除了以上讲的，还有很多种方法，如：消元法、数形结 合法、复数法、几何法、待定系数法、万能公式法等等.因此，解题的关键在分析和思考， 因题而异地选择恰当的解题方法，减少解题时间 3求解函数最值时应注意的一些问题 3.1注意定义域 遇到求最值问题的时候，我们切记在求解的过程当中，要注意观察定义域的变化情 况， 在最初解题之时，应当先把函数的定义域确定；在解题过程中，当函数变形时注意定义 域是否发生改变，如果又引入新变量也要确定这个变量的取值范围，以免在后面的求解 过程中出现错误；在解题结束时，必须检验所求得的使函数取得最值的自变量是否包含 在定义域的范围内 例. 求函数 的最值.12xy-= 错解：将 两边同时平方并去分母得 .x- 222(41)0yxxy-+-= 因为 ，所以 ，化简得 .r22(41)(41)0yd=-2 所以 ，故 ， .12y-minmax 分析：这个答案致错原因是两边平方及去分母，使函数的定义域扩大了. 正解：将 两边平方并去分母，得 .12xy-=222(41)0yxxy-+-= 因为 ，所以 ，化简得 .xr 22(4)(41)0yd-2 6 所以 ，注意到原函数的定义域是 ，则有 ， ，于是必有12y-1x0x-2- 原函数最小值 .最大值由前面分析可知即为 .mi0y=1 3.5注意均值不等式的运用 注意当且仅当这些正数相等时，它们的积(和)才能取大(小)值. 1 例. 求函数 的最小值.23(0)yx=+ 错解：因为 ，所以 ， ， ，于是21x2022233yxa 3= 所以 的最小值是 .y2 分析：上面解法错误，是没有注意到当且仅当 时，函数 才能取得最小值，21x=y 8 但 显然不等于 ，所以 不能取 .1x2xy32 对均值不等式中等号成立的条件生搬硬套 2 例. 已知 ，且 ，求 的最小值，并求 的最小值时的 ，,yzr+1xyz=xyzxyzx ， 的值.yz 错解：因为 ，所以 ， ，,xyz+123rxyz+ 3312160xyzxyzx=a 从而 ， ， ，当且仅当 时，上式取等号，又 316xyz336z= ，所以当且仅当 时， 有最小值 162.2xyz+=6xy=xyz 分析：上面解法错误，是对均值不等式中等号成立的条件没有理解而直接套用的结 果，事实上，当 时， 不等于 162.正确的解法是：在 ，xyz321xyz 162xyz 即 中，等号当且仅当 ，即 ， ， 时成立，3121xyz+a3yz+=x6y=9 所以当 ， ， 时， 有最小值 162.=69z=xyz 连续进行几次不等式变形，并且各次不等式中的等号不能同时成立而造成的错误 3 例. 已知 ，且 ，求 的最小值.,xyr+14xyxy+ 错解：因为 ，所以 ，则 ，所以,+ 2140xya 即当 时取最小值，求得 ， ，符合题意.所以最小值为 9.13=6y 4函数最值在实际问题中的应用 例 1. 某工厂要建造一个长方形无盖储水池，其容积为 4800 ，深为 ，如果池3m3 底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？ 分析：从题中分析可以得出，水池高度已知，进而问题转化为求池壁的长和宽的问 题，从而确定取什么值使总造价最低.即涉及到两个变量，因为池壁的长和宽不可能为负 数，由此我们可以想到利用均值不等式来求解. 解：设底面的长为 ,宽为 ，水池的总造价为 元.xmyz 根据题意有： ，由容积为 4800480152(3)2407()zxyxy=+=+ ，可得 ，因此， .由均值不等式与不等式的性质，可得： 3mxy162407()407xyxy 即 .2z+2960= 当 ，即 时，等号成立.所以，将水池的地面设计成边长为 40 的正方xy= m 体时总造价最低，最低总造价是 297600 元. 例 2. 某工厂 2003 年的纯收入为 500 万元，因设备老化等原因，工厂的生产能力将 逐年下降.如果不对技术进行改造,从今年起预计每年将比上一年减少纯收入 20 万元, 所 以今年年初该工厂为了进行技术改造，一次性投入资金 600 万元，预计在未扣除技术改 造资金的情况下，第 年（第一年从今年算起）的利润为 万元（ 为正整数）.n 150()2n+ 设从第一年起的前 年，如果该工厂不进行技术改造的累计纯收入为 万元，进行技术a 改造后的累计纯收入为 万元（须扣除技术改造资金） ，则从今年起该工厂至少经过多少nb 年，进行技术改造后的累计纯收入超过不进行技术改造的累计纯收入？ 分析：首先根据题意写出 、 的表达式，可知它们都为数学上一个简单的数列求和na 10 问题.继而对它们作差就建立起一个函数关系式，即转化为数学上的函数最值问题,再利 用合适的方法进行求解即可. 解：依题设有 (502)(40)+(520)nan=-+-24910n=- .211 6b 5 则 2()(9)nn- 25011=+ .()n- 因为函数 在 上位增函数，所以02xy-(,) 当 时， ；13n55(1)108n+- 所以，仅当 时， .即至少要经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计纯nba 利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 例 3. 某公司为资助尚有 26.8 万元无息贷款尚未偿还的化妆品商店，借出 20 万元将 该店铺改造成经营状况良好的某体育用品专卖店，并约好用该店赚取的利润逐步对债务 进行偿还(全部债务均不算利息)已知该体育用品的进价为 40 元/件；该店月销量 (百q 件)与售价 (元/件)之间的关系可用右图(图一)p 的一条折线表示；员工的月工资为 600 元/人，该 店还需交纳的其他费用为 13200 元/月 (1)若售价 为 52 元/件时，该店正好收支平p 衡，求该店的员工有多少； (2)若该店只招聘了 40 名员工，则该店最快 可在几年后把所有债务还清，此时每件体育用品 的价格定为多少元？ 分析：由题中给出的图可以看出，我们可以 把它看做是在闭区间上的一个分段函数问题，从而转化为数学问题，利用函数图象所表 示的几何意义，借助于几何图形的直观性来求分段函数最值问题 解：(1)设该店的月利润为 元，有职工 名.则 sm(40)16320sqpm=-pq16024 40 58 81图一 11 又由图可知： 2140 (58)81ppq-+= 所以， ()(6032 (4058)041mpsp- 由此知，当 时， ，即 ，解得52=s(1)(6320pm-+-= ，即此时该店有 50 名职工.50m= (2)若该店只安排 40 名职工，则月利润(2140)(10372(4058)8 1pps-+- 当 时，求得 时， 取最大值 7800 元；55p=s 当 时，求得 时， 取最大值 6900 元1p61 综上，当 时， 有最大值 7800 元s 设该店最早可在 n 年后还清债务，依题意，有 ，解得12780620n- 5n 所以，该店最早可在 5 年后