利用导数研究函数性质 毕业论文.doc

山西师范大学现代文理学院本科毕业论文利用导数研究函数性质姓 名 院 系 数学与计算机科学系专 业 数学与应用数学班 级 0803班学 号0890110320指导教师 答辩日期成 绩 论文题目：利用导数研究函数性质 内容摘要导数作为研究函数性质极其重要而有力的工具，为我们解决许多函数问题提供了一种更简单易行的方法和途径，极大地丰富了数学思想方法。本文通过结合具体的例子，论述了导数在研究函数性质时的一些应用：比如利用导数处理函数图像的切线问题、利用导数研究函数的单调性、解决极值最值问题、以导数为工具探讨函数零点个数、应用导数证明不等式、进行近似计算。【关键词】导数 函数的性质 函数的零点 不等式 近似计算 title: the study of function by using derivative abstractresearch on the properties of function derivate as extremely important and powerful tool,for us to solve many function provides a more simple metheod and the way,greatly enriched the mathematical thought and methed.in this paper,through a combination of specific examples,discuss the research on the properties of function derivative in the application: such as the use of the derivative function image tangent promblem,using derivative of monotonicity of functions,solving the most value problem with the derivative extremum,as a tool to examine zero number of functions,application of the derivative to prove inequality ,approximate calculation.【key words】derivative properties of function zero of a function inequality approximate calculation 目录 引言1一、导数的相关概念1二、函数基本性质的研究2（一）利用导数处理函数图像的切线问题2（二）利用导数判断函数的单调性3（三）利用导数求函数的极值、最值5三、函数零点个数的探讨7四、不等式的证明9五、利用导数解决近似计算问题10结束语11参考文献11致谢12 利用导数研究函数性质 学生姓名：马江莲 指导老师：任辛喜引言 导数是联系初、高等数学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具，它的工具已经渗透到数学的很多分支，这在函数的研究中更是得到了体现。利用导数研究函数的一些性质并解决相关问题，为数学研究提供了新的视野。以下我们先来介绍一些导数的基本概念，再具体的阐述如何利用导数解决函数问题。一、导数的相关概念1.导数的定义：当自变量的，时函数的增量与 自变量之比的极限存在且有限，即存在且有限，我们就说在点导，称此极限为在点处的导数（或变化率）。2.导数的另一种形式：叫做在时的导数，记作，导数还可以表示为：。3.导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率。注意： 函数在点的某领域内要有定义，否则导数不存在。 如果极限不在，则称函数在点处。 导数 表示的是函数在 化率，反映的是函数在点的快慢程度。 如果函数在开区间内的每一点处都可导，则称函数在 开区间，此时对每一个都对应着一个确定的导数， 我们称函数为在内的导函数，简称导数。二、函数基本性质的研究（一）利用导数处理函数图像的切线问题 导数的几何意义在函数图象上可表示为曲线在处切线的斜率，在具体应用中，已知曲线和曲线上的点，则可求出曲线在点处的切率为，从而得到切线方程为注意： 在求曲线的切线方程时，要特别注意曲线上某点处的切线和过某点的切线是完 全不同的：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条， 就算此点在曲线上，也不一定只有一条。 在求过某点的切线时，必须首先搞清楚此点是否在曲线上，只有该点在曲线上 时，切线斜率才是。 在求两条曲线的公切线时也常常会用到导数的知识。例1 已知曲线的一条切线与直线垂直，求直线的方程。 已知曲线上的一点，求过该点的切线方程。解： 切线与直线垂直， 则可设直线的方程为， 的斜率为，即曲线在某一点处的为， 而，所以在点处的导数为， 因此直线的方程为，即。 设切点为，则切线的斜率， 所以切线方程为， 又切点在曲线上，故 由题意知，切线，把它代入切线方程得 ，解得或， 故所求切线方程为或 即或小结：我们会发现是以为切点，且经过点的直线，而不是以 为切点的的直线，这说明在求经过曲线上某点的切线时，该点不一定是切点。 这类问题一般采用待定切点法求解，即先设切点的坐标，写出切线方程，将已知点 代入该方程，求出切点，从而得出切线方程。例2 已知抛物线与，如果和有，求公切线 的方程。解： 由 得，故曲线在点的切线方程是 ，即 （1） 由得，所以曲线在点的切线方程是 即 （2） 若是过点与的公切线，则（1）、（2）表示的是同一条直线， 消去，得 ， 结合题意分析知，该方程有且只有一个根，故， 所以，则，即重合， 因此得曲线和有且一条公切线，且的方程为（二）利用导数判断函数的单调性判断函数的单调性时，常常借助的符号来判断。定理 设函数内可导， 当，时在区间内单调递增； 当，时在区间内单调递减。在具体问题中，求单调区间的方法为： 确定函数的定义域 求函数的导数 求不的解集来确定单调递增区间，求不的解集来确 定单调递减区间。例 已知函数 求的单调区间； 若函数的递增是区间，递减区间是，求的取值范围。解： ， 当时，在r上单掉递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增。 在上递减，故在上恒成立， 且在上恒成立， 即在上恒成立 在上恒成立 在上 ， ； 又在上恒成立在上恒成立， 又 在上 ， 综上所述，的取值范围是（三）利用导数求函数的极值、最值 极值的定义：设函数在点的某领域内有定义，若在该领域内异于的点恒有 ().若,那么称为函数的，为极大值点； ().若,那么称为函数的，为极小值点。极值分为极大值和极小值。求极值或最值的方法： 求的根； 若时，；时，则在点处取得极大值， 若时，；时，则在点处取得极小值， 若时，；时，则在点处无极值， 若时，；时，则在点处无极值。 若还要求最值，则需加一个步骤，对于闭区间，需要算一下两个端点的函数值，然后 将所有的极值和端点的函数值作比较，得出最大值和最小值。注意： 函数的极大值和极小值可以不止一个，也就是说函数的极值不唯一。 极小值可以大于极大值，极大值也可以小于极小值，因此二者之间没有确定的 大小关系。 若在区上续，则在上必有最值和小值。 的极值是针对局部而言的，而最大值与最小值是针对整体而言的，即定义 域内的最大或最小；函数的极值点一定在区间内部取得，函数的最大最小值不 一定都存在于区间内部，也有可能存在于区间的端点处。 也可利用函数的单调性求的最值，如果在上单调递增，则 的最大值为，最小值为；如果在上单调递减，则的 最大值为，最小值为。例1 已知函数 求的极值； 若对任意的，。 解： ，令，得 随着的变化，的变化情况如下表: 递增 递减 递增 由上表可知，在，且= 在，且 令，在上恒成立， 即在上恒成立 ，其中 若，即时，显然 ， 若 ，即时， ， 令，解得 ， 当时，在上； 当时， ，在上 故在， 时， 即解得 ， 因此当时，要使恒成立，的范围为 结合、，的取值范围为例2 设有一个铝合金盖的铁桶，铝合金的价格是铁的，问怎么样设计能使总造价最少？解：设此铁桶的高为，底面半径为，又设单位面积铁的造价为，桶的造价为，则 ，由得，所以，令，得，此时，当时，当，因此是函数的极小值点，也是最小值点，故当时，有最小值，即时，总造价最少。三、函数零点个数的探讨 在求曲线的交点和函数的零点个数时，通常会利用函数的单调性和极值来求解，而导数是判断函数的单调性和求解极值以及处理函数图像的有力工具，因此我们可以借助导数的知识来探究与函数零点有关的问题，如方程解的个数，直线与函数图像的交点，两函数图像的交点等都可以转化为函数零点问题来求解。函数零点的定义：函数的方程的函数的图像与轴交点的横坐标。推广： 函数的零点的根方程函数函数图象的交点的横坐标。零点存在性定理 函数在闭区间上连续，如果，那么函数在区间内至少有一个零点，即至少存在一点，使，其中是方程的根，也叫方程根的存在性定理，这个定理只能判断零点的存在性，不能判断零点的个数。求根的分布情况的方法： 求的定义域； 求； 在的定义域内求及不存在时的全部点，并将这些点从小到大排列； 将的定义域用上述点分割开，的各个单调区间，在求出的每个单调区 间内至多有一个零点； 在上述每个单调区间内，判断在端点处的符号。若异号，则在该区间只有一 个零点；若同号，则在该区间无零点；若在某端点处的值为零，则该端点为 的一个零点。例 求函数和的交点个数。解：求函数和的交点个数可以转化为 求函数的零点个数， ，由得 或 当变化时，的变化情况如下： 递增 递减 递增 , 当 或 ，即或 时，有一个零点，此时与有 一个交点； 当 或 ，即或时，有两个零点，此时与有两 个交点； 当 且 ，即时，有三个零点，此时与有三个交 点。四、不等式的证明 不等式的证明是数学学习中常见的一类题型，而导数的引入为不等式的证明提供了更加简便的方法。利用导数证明不等式，就是根据不等式的结构特征，构造相应的辅助函数，从而将不等式的证明转化为利用导数判断函数单调性及最值问题。 函数不等式的证明：证明不等式 的问题可转化为 证明进而构造辅助函数， 再利用导数知识判断的单调性或证明的最小值（最大值）大于或等于零 （小于或等于零)。 常数不等式的证明：此类不等式的证明可以转化为证明不等式的问题， 再根据的不等式关系和函数的单调性来证明。例1 已知函数，证明：证明：函数的定义域为， 当时， ，当时， 所以当时，即 令 ，则 当时， ，当时， 当时，即 ，综上所述，当时，例2 已知实数，且，其中然对数的底数，求证：证明：要证，只需证，即证明 设，则， 因此函数在区间上单调递减， 又 即，五、利用导数解决近似计算问题 应用导数进行近似计算，其主要思想是当充分接近，以求得近似值，根据导数的定义，当很小时，得近似等式，令，特别地，当，很小时，例1 求的近似值解：设， 取， ， 例2 ，在冬季摆长至多,试问冬天此钟每天最多可快 多少秒？解：， ，( ) ， 时，摆长增量， (秒） 这就是说，加快了秒， （秒） 故此钟冬天每天快秒。结束语总之，导数作为研究函数性质的一种重要工具，在解决许多数学问题时使用起来非常方便。通过以上的例子，在研究函数的性质，函数不等式的证明以及进行近计算问题时，将导数作为桥梁可以使其求解过程思路清晰，步骤简化，避开了运用初等方法的高技巧性，突出了一般性和简单性的特点。在解答函数类问题时要有意识的将导数知识运用其中，从而更加便捷的解决相关问题。 参考文献1张红雅，浅谈导数在高中阶段的应用j. 资治文摘, 2011 2周海，导数在研究函数中的应用j. 中国校外教育 ,20103张效先.解读中学微积分m.山东科学技术出版社，2001.31-354华东师范大学数学系.数学分析m.高等教育出版社，2001.91-945张奠宙，过伯祥.数学方法论稿m.上海教育出版社，1996 6钱耀周，导数与不等式j.高中数学教与学，2007（6) 7高慧明，中学数学研究j.华南师范大学数学科学学院，2008(9) 8吴连进，例析导数的应用 j 数学导学 2011致谢 论文的完成，意味着大学生活的结束，也意味着我将开始迈