激光原理第9讲a(第二章习题答案)

第二章 开放式光腔与高斯光束 习题 1试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且 两次往返即自行闭合。 证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示： 其往返矩阵为： 由于是共焦腔，有 12RL 往返矩阵变为 若光线在腔内往返两次，有 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。 2试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔的稳定性条件为 0g g 1,其中 g =1- ,g =1-121RL2 （a 对平凹腔：R = ,则 g =1,22 122 21111010() ()ABLLTCDRRLL 0T 210 01- 1，即 0LR1RL1 (b)对双凹腔：0g g 1, 0 112 21RL ， 或 且21 (c)对凹凸腔：R = ,R =- ,12 0 1， 且 21RL1L|21 3激光器的谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成，工作 物质长 0.5m，其折射率为 1.52，求腔长 L 在什么范围内是稳定腔。 解：设两腔镜 和 的曲率半径分别为 和 ，1M21R212m,R 工作物质长 ，折射率0.5ml.5 根据稳定条件判据： 其中 由(1)解出 2m1L 由(2)得 所以得到： 2.17m.L 4图 2.1 所示三镜环形腔，已知 ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径 Rl 在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成 的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的 ，对于在与此垂直的平面内传输的弧(cos)/2fR 矢光线， ， 为光轴与球面镜法线的夹角。/(2cos)fR llRR 平面镜l 11 (1)2L() (2)l0.5()0.17. 图 2.1 解： 22210104131ABllCDffllffllff213lADf 稳定条件 231lf 左边有 201lfllff 所以有 2llff或 对子午线： 对弧矢线： 有： 或 所以 同时还要满足子午线与弧失线 cosR子 午 2f弧 失 3cosLR1cosLR42433lll或 5有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm ， ， ，镜的20.1cmda=632.8n 反射率为 ，其他的损耗以每程 0.003 估计。此激光器能否作单模运转？如果想在12,0.96r 共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择 模，小孔的边长应为多大？试根据图 2.5.5 作一个0TEM 大略的估计。氦氖增益由公式计算。 解：设 模为第一高阶模，并且假定 和 模的小信号增益系数相同，用01TEM0TE01 表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式0g 根据已知条件求出腔的菲涅耳数 由图 2.5.5 可查得 和 模的单程衍射损耗为0TEM01 氦氖增益由公式 计算。代入已知条件有 。将 、 、 、 和 的值代入 I、II 式，两式0e1.75gl0egl01r2 的左端均近似等于 1.05，由此可见式 II 的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。 为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足 II 式的条 件，则要求 01.47 根据图 2.5.5 可以查出对应于 的腔菲涅耳数01.9N 04e13gl ld01201e(.3) Igllr2270.61.938aNL 8.37061043l Ld 43432lRll或 由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长 62230.810.983maLN 因此，只要选择小孔阑的边长略小于 0.83mm 即可实现 模单模振荡。TEM 6试求出方形镜共焦腔面上 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？30TEM 解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的 模的场分布可以写成30 令 ，则 I 式可以写成2/()XLx2(/)3030(,)HexyLvxyCX 式中 为厄米多项式，其值为3H338-12 由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令 ，得01230;/;/XX 考虑到 ，于是可以得到镜面上的节点位置0s/L 所以， 模在腔面上有三条节线，其 x 坐标位置分别在 0 和 处，节线之间30TEM0s3/2 位置是等间距分布的，其间距为 ；而沿 y 方向没有节线分布。0s3/2 8今有一球面腔， ， ， 。试证明该腔为稳定腔；求出它1.5mR18cmL 的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。 解：该球面腔的 g 参数为 由此， ，满足谐振腔的稳定性条件 ，因此，该腔为稳定腔。120.85g120g 两反射镜距离等效共焦腔中心 O 点的距离和等价共焦腔的焦距分别为 2(/)30(,)e IxyLvxy 120s3s;2x11.47LR221.8LR 211221212().3m0.5()().0LzRLRLf 根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。 14某高斯光束腰斑大小为 =1.14mm， 。求与束腰相距0=10.6m 30cm、10m、1000m 远处的光斑半径 及波前曲率半径 R。 解：入射高斯光束的共焦参数 根据 求得： 15若已知某高斯光束之 =0.3mm， 。求束腰处的 参数值，与束腰相距0=632.8nmqz 30cm 10m 1000m()1.45mm 2.97cm 2.96mRz0.79m 10.0m 1000m 1R2R等价共焦腔2z1zOLff 20.385f202(z)=1zfR 30cm 处的 参数值，以及在与束腰相距无限远处的 值。qq 解：入射高斯光束的共焦参数 根据 ，可得0()qzzif 束腰处的 q 参数为： ()4.7cmi 与束腰相距 30cm 处的 q 参数为： (30)4.7)ci 与束腰相距无穷远处的 q 参数为： emR,I(.q 16某高斯光束 =1.2mm， 。今用 F=2cm 的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的0=1.6 距离为 10m、1m、10cm、0 时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。 解：入射高斯光束的共焦参数 又已知 ，根据2.01mF 得 l 10m 1m 10cm 0 2.00cm 2.08cm 2.01cm 2.00cm0 2.40m22.555.3m56.2 从上面的结果可以看出，由于 f 远大于 F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且 不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。 17 激光器输出光 ， =3mm，用一 F=2cm 的凸透镜距角，求欲得到2CO=10.60 及 时透镜应放在什么位置。0m=.5 解：入射高斯光束的共焦参数 已知 ，根据2.01F 得 204.7cf2 0.47f2002()()lFlflf 20.67mf002()Flf20lf 时， ，即将透镜放在距束腰 1.39m 处；02m1.39l 时， ，即将透镜放在距束腰 23.87m 处。.5287 18如图 2.2 光学系统，入射光 ，求 及 。=10.6m“03l 图 2.2 解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置 由于 ，所以1lF =2cm1lF 所以对第二个透镜，有 213cml 已知 ，根据20.5mF 得 ，014.6m38.12cl cml1523lcml21m30cF21 cmF52000.49 40.90f232020()()lFlflf 19某高斯光束 =1.2mm， 。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜0=10.6m R=1m，口径为 20cm；副镜为一锗透镜， =2.5cm，口径为 1.5cm；高斯束腰与透镜相距F =1m，如图 2.3 所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。l 图 2.3 解：入射高斯光束的共焦参数为 由于 远远的小于 ，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半1Fl 径为 这样可以得到在主镜上面的光斑半径为 即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。 这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为 20激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为 的基模高斯光束，今给定 功率计，卷尺以及半径为 a 的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数 f 的实验原理及步骤。 l mR1cmF5.212.020.47mf 1020.8()Flf0()6cm1R2101.9RlMF 201ln()PaA 解： 一、实验原理 通过放在离光腰的距离为 z 的小孔(半径为 a)的基模光功率为 (I) 式中， 为总的光功率， 为通过小孔的光功率。记 ，则有0P()Pz1()Pz (II) 注意到对基模高斯光束有 在(II)式的两端同时乘以 ，则有/ 令 (III) 则 解此关于 f 的二次方程，得 因为 、 、 、 都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束a0P1z 的共焦参数 f。 二、实验步骤 2()01ez2201lna2220(),zff220 1ln()zPaf2zfA