向量空间证明 (精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 向量空间证明( 精选多篇) 向量空间证明 解题的基本方法： 1) 在立体几何图形中，选择适当 的点和直线方向建立空间直角坐标系中 2) 若问题中没有给出坐标计算单 位，可选择合适的线段设置长度单位; 3) 计算有关点的坐标值，求出相 关向量的坐标; 4) 求解给定问题 证明直线与平面垂直的方法是在 平面中选择二个向量，分别与已知直线 向量求数积，只要分别为零，即可说明 结论。 证明直线与平面平行的关键是在 平面中寻找一个与直线向量平行的向量。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 这样就转化为证明二个向量平行的问题， 只要说明一个向量是另一向量的 m 倍， 即可 只要多做些这方面的题，或看些 这方面的例题，也会从中悟出经验和方 法 2 解： 因为 x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z =*y+*z y,z 为任意实数 则：;是它的一组基，维数为 2 步骤 1 记向量 i，使 i 垂直于 ac 于 c， abc 三边 ab,bc,ca 为向量 a,b,c a+b+c=0 则 i =ia+ib+ic -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 =acos)+b0+ccos =-asinc+csina=0 接着得到正弦定理 其他 步骤 2. 在锐角abc 中，设 bc=a,ac=b,ab=c。作 chab 垂足为点 h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到 a/sina=b/sinb 同理，在abc 中， b/sinb=c/sinc 步骤 3. 证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形 abc,作 abc 的外接圆 o. 作直径 bd 交o 于 d.连接 da. 因为直径所对的圆周角是直角,所 以dab=90 度 因为同弧所对的圆周角相等,所以 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 d 等于c. 所以 c/sinc=c/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式.希望对你 有所帮助! 2 设向量 ab=a,向量 ac=b，向量 am=c 向量 bm=d,延长 am 到 d 使 am=dm，连接 bd,cd,则 abcd 为平行四边 形 则向量 a+b=2c 平方=4c 平方 a 平 方+2ab+b 平方 =4c 平方 向量 b-a=2d 平方=4d 平方 a 平方 -2ab+b 平方=4d 平方 +2a 平方+2b 平方=4d 平方+4c 平 方 c 平方 =1/2-d 平方 am =1/2-bm 3 已知 ef 是梯形 abcd 的中位线， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 且 ad/bc，用向量法证明梯形的中位线 定理 过 a 做 agdc 交 ef 于 p 点 由三角形中位线定理有： 向量 ep=向量 bg 又adpfgc 且 agdc向量 pf= 向量 ad=向量 gc 向量 pf= 向量 ep+向量 pf= 向量 ef= efadbc 且 ef= 得证 4 先假设两条中线 ad,be 交与 p 点 连接 cp,取 ab 中点 f 连接 pf pa+pc=2pe=bp pb+pc=2pd=ap pa+pb=2pf 三式相加 2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf 3pa+3pb+2pc=2pf -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 6pf+2pc=2pf pc=-2pf 所以 pc,pf 共线，pf 就是中线 所以 abc 的三条中线交于一点 p 连接 od,oe,of oa+ob=2of oc+ob=2od oc+oc=2oe 三式相加 oa+ob+oc=od+oe+of od=op+pd oe=op+pe of=op+pf oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2 bp+1/2cp 由第一问结论 2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp 2pa+2pb+2pc=0 1/2ap+1/2bp+1/2cp 所以 oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 向量 op=1/3 4.2 直线的方向向量、平面的法 向量及其应用 一、直线的方向向量及其应用 1、直线的方向向量 直线的方向向量就是指和这条直 线所对应向量平行的向量，显然一条直 线的方向向量可以有无数个 2、直线方向向量的应用 利用直线的方向向量，可以确定 空间中的直线和平面 ?若有直线 l, 点 a 是直线 l 上一 点，向量 a 是 l 的方向向量，在直线 l ?上取 ab?a，则对于 直线 l 上任意一点 p，一定存在实数 t， 使得 ap?tab，这 ?样，点 a 和向量 a 不仅可以确 定 l 的位置，还可具体表示出 l 上的任 意点 空间中平面 的位置可以由 上 两条相交直线确定，若设这两条直线 ?交于点 o,它们的方向向量分别 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 是 a 和 b，p 为平面 上任意一点，由 平面向量基 ?本定理可知，存在有序实 数对，使得 op?xa?yb，这样，点 o 与方 向 ?向量 a、b 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 上的任 意点 1若 a，b 在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为 ab cd 2. 从点 a 沿向量 a的方向取线 段长 ab34，则 b 点的坐标为 ab cd 二、平面的法向量 1、所谓平面的法向量，就是指 所在的直线与平面垂直的向量，显然一 个平面的法向量也有无数个，它们是共 线向量 ?2、在空间中，给定一个点 a -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量 且经过点 a 的平面是唯一确定的 三、直线方向向量与平面法向量 在确定直线、平面位置关系中的应用 ? 1、若两直线 l1、l2 的方向向量 分别是 u1、u2，则有 l1/ l2?u1/u2，l1l2?u1? u2 ? 2、若两平面 、 的法向量分别 是 v1、v2，则有 /?v1/v2， ?v1? v2 ?若直线 l 的方向向量是 u，平 面的法向量是 v，则有 l/?uv，l ?u/v b 分别是直线 l1、l2 的方向向量， 根据下列条件判断 l1 与 l2 的位置关系。 1. 设 a、 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 ? ? a=，b=； a=，b=； a=，b= ? ? ? ? ? 四、平面法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐 标，一般要建立空间直角坐标系，然后 用待定系数法求解，一般步骤如下： ? 1、设出平面的法向量为 n? ? 2、找出平面内的两个不共线的 向量的坐标 a?,b? ?n?a?0?n?b?0 3、根据法向 量的定义建立关于 x，y，z 的方程组? 4、解方程组，取其中一个解， 即得法向量 v 分别是平面 、 的法向量，根 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 据下列条件判断 、 的位置关系： 1. 设 u、 ? ? ? u=，v=； u=，v=； u=，v= 。 ? ? 2. 已知点 a，b， c，求平面 abc 的一个单位法向量。 ? 3. 若直线 l 的方向向量是 a=，平 面 的法向量是 n=， 试求直线 l 与平面 所成角的余 弦值。 4若 n是平面 的一个法向量， 则下列向量能作为平面 的一个法向量 的是 ab cd 5已知平面 上的两个向量 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 a，b，则平面 的一个法向量为 ab cd 五、用向量方法证明空间中的平 行关系和垂直关系 用向量方法证明空 间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线 线平行、线面平行、面面平行1、线 线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，且 a2b2c20，则 lm?_?_. 1在正方体 abcda1b1c1d1 中，p 为正方形 a1b1c1d1 四边上的动点，o 为底面正方 形 abcd 的中心，m ，n 分别为 ab，bc 的 中点，点 q 为平面 abcd 内 ? 一点，线段 d1q 与 op 互相平分， 则满足 mqmn 的实数 的值有 a0 个 c2 个 b1 个 d3 个 2、线面平行 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 设直线 l 的方向向量为 a，平 面 的法向量为 u，则 l?_?1? 1已知直线 l 的方向向量为，平 面 的法向量为?1 ，2，2?，且 l， ? 则 m_. 2已知线段 ab 的两端点的坐标 为 a，b，则与线段 ab 平行的坐标平面 是 axoyb xoz cyozdxoy 或 yoz 3如图所示，在空间图形 p abcd 中，pc平面 abcd，pc2，在四 边形 abcd 中， cdab，abc bcd 90 ， ab4，cd1，点 m 在 pb 上，且 pb4pm，pbc30，求证：cm平 面 pad . 4. 如图，在底面是菱形的四棱锥 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 pabcd 中，abc 60 ，pa 平面 abcd，paaca，点 e 在 pd 上，且 peed21.在棱 pc 上是否存在一点 f，使 bf平面 aec？证明你的结论 5. 如图, 在直三棱柱 abca1b1c1 中， ac3，bc4，aa14，点 d 是 ab 的中 点，求证：acbc1；求证：ac 1/平面 cdb1； 3、面面平行面面平行 设平面 ， 的法向量分别为 u，v，则 ? abc?_?_abc _. 222 1如图，在平行六面体 abcd a1b1c1d1 中，m 、p、q 分别为棱 ab、cd、bc 的中点，若平行六面体的各 棱长均相等，则 a1m d1p； a1mb1q； a1m面 dcc1d1； -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 a1m面 d1pqb1. 以上结论中正确的是_ 2. 如图所示，在正方体 abcd?a1b1c1d1 中，m、n 分别是 c1c、b1c1 的中点。 求证：mn/平面 a1bd；平面 a1bd/平面 b1d1c。 第二节用空间向量证明线线垂直 与线面垂直 一、空间向量及其数量积 1、 在空间，既有大小又有方向 的量称为空间向量。用 ab 或 a 表示， 其中向量的大小称为向量的长度或 或 a。正如平面向量可用坐标表 示，空间向量也可用坐标表示。若已知 点 a 坐标为,点 b 坐标为 则向量 ab=即 是终点坐标减起点坐标。 222 在空间， 知道向量=，b 则 a?bx1x2+y1y2+z1z2 ， cos a， ?，称 a 与 b 垂直，记作 a2? -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 ?x1x2?y1y2?z1z2 x1?y1?z1?x2?y2?z2222222 例 如图，已知直三棱柱 abc- a1b1c1 中，bca=900,d1、e1 分别为 a1b1、a1c1 中点，若 bc=ca=cc1，求向 bd1 与 ae1 所成角的余弦值。 b d1 1 6 练习：已知正方体 abcd a1b1c1d1 中，b1e1=d1f1= f c1b1 c db 二 、利用向量证线线垂直与线 面垂直 a1b1 ，求向量 be1 与 df1 所成角的余 弦值。 4 例 2 在正方体 abcda1b1c1d1 中，求证 a1c平面 ab1d1 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 17 cc 练习：在正方体 abcda1b1c1d1 中，o 为底面 abcd 的中心，p 为 dd1 的 中点， 求证：b1o平面 pac。 a 例 3 如图，pa矩形 abcd 所在 平面，m, n 分别是 ab ,pc 中点 求证： mncd 若pda=45，求证：mn平面 pcd 6 n m b c 练习：正方体 abcda1b1c1d1 中， m 是棱 d1d 中点，n 是 ad 中点， p 为 棱 a1b1 上任一点。求证：npam 作业： a1 c1 m c 1.如图，正方体 abcd -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 18 a1b1c1d1 中，e 是 bb1 中点，o 是底面 abcd 中心， 求证：oe 平面 d1ac. 2.如图，正方体 abcda1b1c1d1 中，o ,m 分别是 bd1, aa1 中点，求证： om 是异面直线 aa1 和 bd1 的公垂线. da1 3、如图，直三棱柱 abc- a1b1c1 中，acb=90 ，ac=1 ，cb=2 ，侧 棱 aa1=1， ，侧面 aa1b1b 的两 条对角线交点为 d，b1c1 的中点 为 m。求证：cd平面 bdm 6 a1 1 b b1 4 在棱长为 a 的正方体 abcd a1b1c1d1 中，e， f 分别为棱 ab 和 bc 的中点，m 为棱 b1b 上任一点，当 b1m 值为多少时能使 d1m平面 efb1 mb -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 19 a e 5、如图，?abc 为正三角形，ae 和 cd 都垂直于平面 abc，且 ae=ab=2a， cd=a，f 为 be 中点，求证：afbd c a 6、如图，已知直三棱柱 abc- a1b1c1 中 b1c1=a1c1，a1bac1。 求证： a1bb1c 6 111 用向量方法证明空间中的平行与 垂直 1.已知直线 a 的方向向量为 a， 平面 的法向量为 n，下列结论成立的 是 a若 an，则 ab若 an0 ，则 a c若 an，则 ad若 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 20 an0 ，则 a 解析：由方向向量和平面法向量 的定义可知应选 c.对于选项 d，直线 a? 平面 也满足 an0. 2.已知 ， 是两个不重合的平面， 其法向量分别为 n1，n2，给出下列结论： 若 n1n2，则 ；若 n1n2，则 ； 若 n1n20，则 ；若 n1n2 0，则 . 其中正确的是 a b c d 平行的一个向量的坐 3.已知 a，b，则与向量 ab 标是 1ab 13c d 2， 解析：ab22 13所以与向量 ab 平行的一个 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 21 向量的坐标是，故选 c. 4.设 l1 的方向向量为 a，l2 的 方向向量为 b，若 l1l2，则 m 等于 2 . 5.设平面 的法向量为，平面 的法向量为，若 ，则 k 4 . 解析：因为 ，所以， 所以2，k2，所以 k4. ，bc 若 abbc，bp， 6.已知 ab 4015 且 bp平面 abc，则实数 x 7，y 7，z 4 . ? x15y 60 解析： 由已知?bpab 3?x 1? y3z0?bpbc 4015 解得 x7，y7z4. 352z 0abbc ， 7.若 a，b，则以 a，b 为邻 边的平行四边形的面积为 58 . 解析：因为 ab0， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 22 所以 ab，又|a| 22，|b|29， 所以以 a，b 为邻边的平行四边 形的面积为 |a|b|2229 258. 8.如图，平面 pac平面 abc， abc 是以 ac 为斜边的等腰直角三角形， e，f，o 分别为 pa，pb， ac 的中点， ac16，papc 10.设 g 是 oc 的中点， 证明：fg 平面 boe . 证明：如图，连接 op，因为 papc，abbc，所以 poac，boac ， 又平面 pac平面 abc，所以可以 以点 o 为坐标原点，分别以 ob，oc，op 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间 直角坐标系 o-xyz . 则 o，a ，b，c ，p， e，f由题 意，得 g ，oe ， 因为 ob -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 23 设平面 boe 的一个法向量为 n， ?nob0?x0 则?，即? ， 0?4y 3z0?oe?n 取 y3，则 z4，所以 n ，得 n0. 由 fgfg 又直线 fg 不在平面 boe 内，所以 fg平面 boe . 9.如图，四棱锥 p-abcd 的底面为 正方形，侧棱 pa底面 abcd，且 pa ad 2，e ，f，h 分别是线段 pa，pd，ab 的中点 求证：pb平面 efh； 求证：pd平面 ahf . 证明：建立如图所示的空间直角 坐标系 a-xyz， 所以 a，b，c ，d， p，e，f，h ，eh ， 因为 pb 2eh ， 所以 pb -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 24 因为 pb?平面 efh，且 eh?平面 efh， 所以 pb平面 efh. ，ah ，af， 因为 pd 00 211 0， 所 以 pdaf 01 200 0， pdah 所以 pdaf，pd ah， 又因为 afaha，所以 pd平 面 ahf. 第四节 利用空间向量求二面角 及证明面面垂直 一、二面角 二面角?l? ，若? 的一个法向量 为 m，?的一个法向量为 n，则 cos?,?，二面角的大小为?m,n?或?m,n? 例 1如图，正三棱柱 abc?a1b1c1 中，e 为 bb1 的中点， aa1?a1b1，求平面 a1ec 与平面 a1b1c1 所成锐角的大小。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 25 例 2如图，在四棱锥 v-abcd vad 是正三角形 ,平面 vad底面 abcd 证明 ab平面 vad； 求面 vad 与面 vbd 所成的二面角 的大小 练习：如图，棱长为 1 的正方体 abcd?a1b1c1d1 中，e 是 cc1 的中点， 求二面角 b?b 1e?d 的余弦值。 12 二证面面垂直 若平面? 的一个法向量为，平面 ? 的一个法向量为，且? ，则 ?。 例 3在四棱锥 p-abcd 中，侧面 pcd 是正三角形，且与底面 abcd 垂直， 已知底面是面积为 23 的菱形， ?adc?600 ，m 是 pb 的中点。 求证：pa?cd 求二面角 p?ab?d 的度数； 求证： 平面 pab?平面 cdm。 练习：已知四棱锥 p-abcd 中，底 面 abcd 是菱形，?dab?60?,pd?平面 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 26 abcd，pd=ad，点 e 为 ab 的中点，点 f 为 pd 的中点。 证明平面 ped平面 pab； 求二面角 p-ab-f 的平面角的余弦 值. 作业： 1如图，在长方体 abcd?a1b1c1d1 中， 已知 ab?4,ad?3,aa1?2,e,f 分别是 线段 ab,bc 上的点，且 eb?fb?1。 求二 面角 c-de-c1 的正切值； 求直线 ec1 与 fd1 所成角的余弦 值。 13 2已知四棱锥 p