数学运算之不定方程的解法

2015 年吉林省公务员考试辅导资料，考试高分答题技巧，申论范文，行测 真题等更多考试辅导资料欢迎您登陆吉林华图官网 /进行查看。 近几年的公务员行测考试中，对于不定方程的应用比较多，在最近的 09- 14 年国考、春季联考中，考察了 6 道题目。可以说这类题目已经成为了一种命 题惯性和命题热点，但是由于不定方程的求解本身是比较复杂的，所以考试中 考察不定方程不可能倾向于理论的考察，我们遇到的基本上是对不定方程基本 性质的考察。 不定方程的概念：我们以往学习的方程都是按照设、列、解三步，因此我 们最常见的方程是可解的，因为这里的方程必须满足一个条件：未知数的个数 等于方程的个数。比如 x+3=5，方程只有一个解，即 x=2。但是当未知数的个 数不等于方程的个数时，我们的得到的方程就是不定方程。如 x+y=4，两个未 知数对应一个方程。这就是一个不等方程问题，对于这个不定方程，我们的解 可以是 x=0，y=4;x=1，y=3;x=2 ，y=2; 其解的个数在不限制其他条件下是 有无限多的，这是不定方程的基本性质。 我们考试中见到的不定方程，答案都是唯一的，这就说明那些不定方程肯 定是有限制条件的，一旦加上限制条件，不定方程的解就是唯一的了。不定方 程看似无法解，实质上其可以结合多种小技巧达到快速做题的目的。 公考中解决不定方程的三种方法主要是：代入排除法、尾数特性、奇偶特 性。 方法 1：代入排除法。代入排除法看起来非常简单，但是对于解题来说有 时候会达到事半功倍的效果。考试中不定方程要想利用代入排除法，通常需要 满足一个条件，就是选项信息比较充分。选项信息充分的含义就是，选项给出 来的可以直接带到题目中去，快速的验证。 【例 1】 装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装 11 个，小盒每盒装 8 个，要把 89 个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各 多少个?( ) A.3，7 B.4，6 C.5，4 D.6，3 【答案】A 【解析】在这种题目中，首先我们会列出下列方程，设大、小盒子的个数 分别为 x、y，则 11x+8y=89。这是一个不定方程，由不定方程的性质可知，其 解的个数有无数多，但是由于盒子的个数必须是整数，所以它的解是确定的值， 但是我们依然无法直接求解，但是我们会发现，选项的信息非常充分，正好是 我们所要求的，故此类不定方程采用代入排除的方法进行求解。因此选项只有 A 项满足。 方法 2：尾数特性。当我们发现此不定方程不适合用代入排除时，我们可 以考虑用尾数法来解决，而且尾数法通常还可以结合代入排除进行解题。 【例 2】 超市将 99 个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装 12 个苹果， 小包装盒每个装 5 个苹果，公用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多 少个?( ) A.3 B.4 C.7 D.13 【答案】D 【解析】 本题首先列出方程，设大、小包装盒分别有 x、y 个，则有 12x+5y=99，且 x+y10。本题中问的是两种包装盒相差多少个，不适合用代入 排除法，因此可以考虑尾数法。5y 的尾数可以是 0 或 5，当其尾数是 0 时， 12x 的尾数就是 9，很显然不可能，因此 5y 的尾数只能是 5，则 12x 的尾数是 4，x 可以是 2 或 7。当 x=2 时，y=15 ，得到 y-x=13;当 x=7 时，y=3，此时 x+y=10，不满足题意。因此就可以得到答案为 D。#p#副标题#e# 方法 3：奇偶特性。我们知道，数字特性有很多，比如奇偶性、整除特性、 倍数特性等，在我们考试中的不定方程问题，经常要使用数字特性，而又以奇 偶性使用的最为频繁。关于奇偶性，我们知道两个数的和或差如果是偶数，则 这两个数的奇偶性相同;两个数的和或差是奇数，则这两个数的奇偶性相反。 【例 3】 某儿童艺术培训中心有 5 名钢琴教师和 6 名拉丁舞教师培训中心 将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共 76 人分别平均地分给各个老师带领刚好能 够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训 中心只保留了 4 名钢琴教师和 3 名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不 变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( ) A.36 B.37 C.39 D.41 【答案】D 【解析】本题首先列方程，设钢琴老师和拉丁舞老师每人带的学员人数分 别是 x、y。则有：5x+6y=76，且 x、y 都是质数。求的是 4x+3y=?，很显然本 题不能采用代入排除法，利用尾数法也不太好解，这时候我们就可以结合奇偶 性来考虑了。首先两个数的和是偶数，且 6y 一定是偶数，则 5x 一定是偶数， 吉林分校 QQ 交流群:275513529 微信号:jilinht 电话从而推出 x 一定是偶数，x 又是质数，则只有 2