2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

2017 年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1已知复数 z=1+2i，则 =（ ） A 5 B 5+4i C 3 D 3 4i 2已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|x| 2则 A B=（ ） A x| 2 x 2 B x| 2 x 3 C x| 1 x 3 D x| 1 x 2 3设 a， b 均为实数， 则 “a |b|”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4直线 x 3y+3=0 与圆（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 相交所得弦长为（ ） A B C 4 D 3 5下列命题中错误的是（ ） A如果平面 外的直线 a 不平行于平面 内不存在与 a 平行的直线 B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直线 l 平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交 ，则必与另一个平面相交 6在平面内的动点（ x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 7某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A 4 B C D 8某高中体育小组共有男生 24 人，其 50m 跑成绩记作 i=1， 2， ， 24），若成绩小于 达标，则如图所示的程序框图的功能是（ ） A求 24 名男生的达标率 B求 24 名男生的不达标率 C求 24 名男生的达标人数 D求 24 名男生的不达标人数 9等比数列 各项均 为正数， 其前 n 项和，且满足 26，则 ） A 9 B 15 C 18 D 30 10函数 y= 的大致图象是（ ） A B C D 11若关于 x 的方程 22x+ ） =m 在 0， 上有两个不等实根，则 m 的取值范围是（ ） A（ 1， ） B 0， 2 C 1， 2） D 1， 12对 ， 23x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上） . 13某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，其中学号为前 30 名的同学平均成绩为 90，则后 20 名同学的平均成绩为 14若函数 f（ x） =ex f（ 0） = 15九章算术是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题： “今有金箠（ 长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤问金箠重几何？ ”其意思为： “今有金杖（粗细均匀变化）长 5 尺，截得本端 1 尺，重 4 斤，截得末端 1 尺，重 2 斤问金杖重多少？ ”则答案是 16 F 为双曲 线 （ a b 0）的左焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线与两条渐近线分别交于 A， B 两点，若 = ，则双曲线的离心率为 三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17已知点 ， Q（ O 为坐标原点，函数 （ 1）求函数 f（ x）的解析式及最小正周期； （ 2）若 A 为 内角， f（ A） =4， ， 面积为 ，求 18某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机，现对 500 名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如 下： 女性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 45 75 90 60 30 （ 1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）； （ 2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意抽 取 2 名用户，求两名用户中评分都小于 90 分的概率 19 如图，四棱锥 P 底面 矩形， 底面 P=2， ， E 为棱 中点 （ ）证明： 平面 （ ）求三棱锥 C 接球的体积 20已知函数 f（ x） = （ 1）过原点 O 作曲线 y=f（ x）的切线，求切点的横坐标； （ 2）对 x 1， + ），不等式 f（ x） a（ 2x 求实数 a 的取值范围 21已知椭圆 C： ， 别是其左、右焦点，以 直径的圆与椭圆 C 有 且仅有两个交点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设过点 不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P 横坐标的取值范围是 ，求线段 的取值范围 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4标系与参数方程选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22已知在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =4线 l 的参数方程为（ t 为参数） （ 1）求曲线 直角 坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）若曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 点 P 的极角为 ，Q 为曲线 的动点，求 中点 M 到直线 l 距离的最大值 选修 4等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分） 23已知 a 0， b 0，函数 f（ x） =|x+a|+|2x b|的最小值为 1 （ 1）求证： 2a+b=2； （ 2）若 a+2b 成立，求实数 t 的最大值 2017 年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1已知复数 z=1+2i，则 =（ ） A 5 B 5+4i C 3 D 3 4i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由已知直接利用 求解 【解答】 解： z=1+2i， =|z|2= 故选： A 2已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|x| 2则 A B=（ ） A x| 2 x 2 B x| 2 x 3 C x| 1 x 3 D x| 1 x 2 【考点】 交集及其运算 【分 析】 解不等式得出集合 A、 B，根据交集的定义写出 A B 【解答】 解：集合 A=x|2x 3 0=x| 1 x 3， B=x|x| 2=x| 2 x 2 故选： D 3设 a， b 均为实数，则 “a |b|”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分必要条件的定义判断即可 【解答】 解：由 a |b|”能推出 “是充分条件， 反之，不成立，比如 a=1， b= 2，不是必要条件， 故选： A 4直线 x 3y+3=0 与圆（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 相交所得弦长为（ ） A B C 4 D 3 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案 【解答】 解：圆（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 的圆心坐标为（ 1， 3），半径 r= ， 圆心到直线 x 3y+3=0 的距离 d= = ， 故弦 = ， 故选 A 5下列命题中错误的是（ ） A如果平面 外的直线 a 不平行于平面 内不 存在与 a 平行的直线 B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直线 l 平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案 【解答】 解：如果平面 外的直线 a 不平行于平面 ，则 a 与 相交，则 内不存在与 a 平行的直线，故 A 正确； 如图： ， =a， ， =b， =l， 在 内取一点 P，过 P 作 a 于 A，作 b 于 B，由面面垂直的性质可得 l， l， 则 l ，故 B 正确； 如果平面 平面 ，那么平面 内的直线与平面 有三种位置关系：平行、相交、异面，故 C 错误； 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故 D 正确 故选： C 6在平面内的动点（ x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可 【解答】 解：不等式组所表示的平面区域位于 直线 x+y 3=0 的下方区域和直线 x y+1=0 的上方区域， 根据目标函数的几何意义， 可知目标函数经过 A 时， z 取得最大值 由 可得 A（ 1， 2）， 所以目标函数 z 的最大值为 4 故选 B 7某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A 4 B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积 【解答】 解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥， 底面边长为 2 的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为 2， 所以四棱锥的体积 故选 D 8某高中体育小组共有男生 24 人，其 50m 跑成绩记作 i=1， 2， ， 24），若成绩小于 达标，则如图所示的程序框图的功能是（ ） A求 24 名男生的达标率 B求 24 名男生的不达标率 C求 24 名男生的达标人数 D求 24 名男生的不达标人数 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，从成绩中搜索出大于 成绩，计算 24 名中不达标率 【解答】 解：由题意可知， k 记录的是时间超过 人数，而 i 记录是的参与测试的人数，因此 表示不达标率； 故选 B 9等比数列 各项均为正数， 其前 n 项和，且满足 26，则 ） A 9 B 15 C 18 D 30 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 设等比数列 公比为 q 0，由 2得 2（ a1+a2+8为： 2q 6=0，解得 q，进而得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q 0， 2 2（ a1+a2+=8为： 2a1+得 =6a1+ 为： 2q 6=0，解得 q=2 又 6，可得 23=16，解得 则 =30 故选： D 10函数 y= 的大致图象是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 利用函数的定义域排除选项，值域排除选项即可得到结果 【解答】 解：由函数定义域排除 A，函数的值域可知 x 0 时， y 0，当 x 0时， y 0，排除 C， D 故选： B 11若关于 x 的方程 22x+ ） =m 在 0， 上有两个不等实根，则 m 的取值范围是（ ） A（ 1， ） B 0， 2 C 1， 2） D 1， 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 把方程 22x+ ） =m 化为 2x+ ） = ，画出函数 f（ x） =2x+ ）在 x 0， 上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时 m 的取值范围 【解答】 解：方程 22x+ ） =m 可化为 2x+ ） = ， 当 x 0， 时， 2x+ ， ， 画出函数 y=f（ x） =2x+ ）在 x 0， 上的图象如图所示； 根据方程 22x+ ） =m 在 0， 上有两个不等实根， 得 1 1 m 2 m 的取值范围是 1， 2） 故选： C 12对 ， 23x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 函数恒成立问题；全称命题 【分析】 先构造函数 f（ x） =x2+x， g（ x） = h（ x） =f（ x） +g（ x），将问题等价转化为函数 h（ x）在区间（ 0， ）上恒有 h（ x） 0，又函数为增函数，故可求答案 【解答】 解：构造函数 f（ x） =23x， g（ x） = 1 h（ x） =f（ x） +g（ x）（ 0 x ） 易知，在区间（ 0， ）上，函数 f（ x）， g（ x）均是递增函数， 函数 h（ x） =f（ x） +g（ x）在区间（ 0， ）上是递增函数 由题设可知，函数 h（ x）在区间（ 0， ）上恒有 h（ x） 0 必有 h（ ） 0 即有 2 ） 1 0 整理就是 ）， 实数 a 的取值范围是 a 1 故选 C 二、填空题（本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上） . 13某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，其中学号为前 30 名的同学平均成绩为 90，则后 20 名同学的平均成绩为 95 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x，得到关于 x 的方程，解出即可 【解答】 解：设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x， 则 92 50=90 30+20x，解得： x=95， 故答案为： 95 14若函数 f（ x） =ex f（ 0） = 1 【考点】 导数的运算 【分析】 先求 f（ x）的导数，再求导数值 【解答】 解： f（ x） =exf（ x） =（ =exexf（ 0） =0+1=1 故答案为： 1 15九章算术是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题： “今有金箠（ 长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤问金箠重几何？ ”其意思为： “今有金杖（粗细均匀变化）长 5 尺，截得本端 1 尺，重 4 斤，截得末端 1 尺，重 2 斤问金杖重多少？ ”则答案是 15 斤 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由题意可知等差数列的首项和第 5 项，由等差数列 的前 n 项和得答案 【解答】 解：由题意可知等差数列中 ， ， 则 ， 金杖重 15 斤 故答案为： 15 斤 16 F 为双曲线 （ a b 0）的左焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线与两条渐近线分别交于 A， B 两点，若 = ，则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把 A， B 表示出来，再由条件可得 A 为 中点，运用中点坐标公式，可得 a， b， c 的关系，然后求双曲线的离心率 【解答】 解：设 F（ c， 0），则过 F 作斜率为 1 的直线为： y=x+c， 而渐近线的方程是： y= x， 由 得： A（ ， ）， 由 得， B（ ， ）， 若 = ，可得 A 为 中点， 可得 c = 2 ， 化为 b=3a， c= = a， e= = 故答案为： 三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17已知点 ， Q（ O 为坐标原点，函数 （ 1）求函数 f（ x）的解析式及最小正周期； （ 2）若 A 为 内角， f（ A） =4， ， 面积为 ，求 【考 点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理 【分析】 （ 1）利用向量数量积运算，即可求函数 f（ x）的解析式及最小正周期； （ 2）利用， 面积为 ，求出 用余弦定理，求出 ，即可求 周长 【解答】 解：（ 1） ， = =4 2x+ ）， f（ x）的最小正周期为 2； （ 2）因为 f（ A） =4，所 ，因为 0 A ，所以 ， 因为 ，所以 ， 根据余弦定理 ，所以 ， 即三角形的周长为 18某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机 ，现对 500 名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下： 女性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 45 75 90 60 30 （ 1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）； （ 2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户 中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意抽取 2 名用户，求两名用户中评分都小于 90 分的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）作出女性用户和男性用户的频率分布表，由图可得女性用户更稳定 （ 2）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中评分小于 90 分的人数为 4，记为 A， B， C， D，评分不小于 90 分的人数为 2，记为 a， b，设事件 M 为 “两名用户评分都小于 90 分 ”从 6 人人任取 2 人，利用列举法能求出两名用户中评分都小于 90 分的概率 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ 1）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图： 由图可得女性用户更稳定 （ 2）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人， 其中评分小于 90 分的人数为 4，记为 A， B， C， D， 评分不小于 90 分的人数为 2，记为 a， b， 设事件 M 为 “两名用户评分都小于 90 分 ”从 6 人人任取 2 人， 基本事件空间为 =（ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ ，共有 15 个元素 M=（ （ （ （ （ （ ，共有 6 个元素 P（ M） = 19 如图，四棱锥 P 底面 矩形， 底面 P=2， ， E 为棱 中点 （ ）证明： 平面 （ ）求三棱锥 C 接球的体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 （ ）三棱锥 C 接球即以 棱的长方体的外接球，由此能求出三棱锥 C 接球的体积 【解答】 证明：（ ）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， P（ 0， 0， 2）， D（ 0， 2， 0）， A（ 0， 0， 0）， B（ 2 ， 0， 0）， E（ 0， 1， 1）， =（ 0， 2， 2）， =（ 2 ， 0， 0）， =（ 0， 1， 1）， =0， =0， ， 平面 解：（ ） 垂直，底面 矩形， 三棱锥 C 接球即以 棱的长方体的外接球， 三棱锥 C 接球的半径 R= =3， 三棱锥 C 接球的体积 V= = =36 20已知函数 f（ x） = （ 1）过原点 O 作曲线 y=f（ x）的切线，求切点的横坐标； （ 2）对 x 1， + ），不等式 f（ x） a（ 2x 求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）过原点 O 作曲线 y=f（ x）的切线，求出切线方程，即可求切点的横坐标； （ 2）对 x 1， + ），不等式 f（ x） a（ 2x 化为 0 对 x 1， + ）恒成立，分类讨论，即可求实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）设切点为（ ， 直线的切线方程为 y（ =（ a ）（ x 又切线过原点 ， 所以 ，解得 x0=e，所以切点的横坐标为 e （ 2）因为不等式 a（ 2x x 1， + ）恒成立， 所以 0 对 x 1， + ） 恒成立 设 g（ x） =g（ x） =2a 当 a 0 时， ， g（ x）在 1， + ）上单调递减， 即 g（ x） g（ 1） =0， a 0 不符合题意 当 a 0 时， 设 ， 在 1， + ）上单调递增，即 a 1 （ i）当 a 1 时，由 h（ x） 0，得 g（ x） 0， g（ x）在 1， + ）上单调递增， 即 g（ x） g（ 1） =0， a 1 符合题意； （ 0 a 1 时， a 1 0， 1， + ）使得 h（ =0， 则 g（ x）在 1， 单调递减，在（ + ）上单调递增， g（ g（ 1）=0，则 0 a 1 不合题意 综上所述， a 1 21已知椭圆 C： ， 别是其左、右焦点，以 直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设过点 不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P 横坐标的取值范围是 ，求线段 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）根据题意，分析可得 b=c=1，计算可得 a 的值，代入椭圆的方程即可得答案； （ 2）根据 题意，设直线 方程为 y=k（ x+1），与 联立可得（ 1+2k2）2=0，设 A（ B（ 中点为 M（ 由根与系数的关系分析可得直线 垂直平分线方程，由弦长公式可以表示 |计算可得答案 【解答】 解：（ 1）根据题意，因为以 直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点， 所以 b=c=1， 即 a= = ， 即椭圆 C 的方程为 ， （ 2）根据题意，过点 不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，即直线斜率存在， 设直线 方程为 y=k（ x+1）， 与 联立，得（ 1+22=0， 设 A（ B（ 中点为 M（ ， ， ， 即 ， 设直线 垂直平分线方程为 ， 令 y=0，得 ， 因为 ，所以= ； 即线段 的范围是（ ， 2 ） 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4标系与参数方程选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22已知在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线 极坐标方程为 =4线 l 的参数方程为（ t 为参数） （ 1）求曲线 直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）若曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 点 P 的极角为 ，Q 为曲线 的动点，求 中点 M 到直线 l 距离的最大值 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】 （ 1）曲线 极坐标方程为