带电粒子在磁场中的运动总结2

带点粒子在磁场中的运动归纳总结之运动轨迹确定问题 （以下是个人的总结，个别名词属于原创，在分析中会有所提示。专门针对全国卷进行分 析，如有不足之处还请指出） 在带点粒子在磁场中的运动轨迹的确定，一直是解该类题目的关键，在 11 年全国新课 标卷 25 题、11 年大纲版全国卷 25 题、11 年广东卷 35 题、11 年山东卷 25 题等，在 09、10 年的高考压轴以及各地模拟考试题也是考得相当多的，那么在此，我们来对这些试 题做一个比较详细的分析： 下边是 11 年的课标卷 25 题，我们共同来看一下： （11 年全国课标卷理科综合 25， 19 分） 如图，在区域 I（0xd）和区域 II（dx2d）内分 别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为 B 和 2B，方向相 反，且都垂直于 Oxy 平面。一质量为 m、带电荷量 q（q0）的粒子 a 于某时刻从 y 轴上的 P 点射入区域 I，其 速度方向沿 x 轴正向。已知 a 在离开区域 I 时，速度方向与 x 轴正方向的夹角为 30；此时，另一质量和电荷量均与 a 相 同的粒子 b 也从 P 点沿 x 轴正向射入区域 I，其速度大小是 a 的 。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求31 (1)粒子 a 射入区域 I 时速度的大小； (2)当 a 离开区域 II 时，a、b 两粒子的 y 坐标之差。 试题分析： 该题出得十分有层次，能够比较好的对不同层次的学生进行区分。 首先，第一问，如果轨迹画好了，角度标准了，可谓随随便便解了第一题。而第二问， 关键的问题是确定：1、圆心在哪里？2、该圆的运动轨迹应该是怎样的？3、圆心角为多少 度（这与接下来所要求的时间有关）？4、当 a 离开区域 II 时 b 是否离开了区域 I？这 4 个 问题，既相互独立而又紧密联系。在 4 个小问的解决当中，我们可以发现，第 2、3 问的确 是比较啰嗦的，这也是该题的难度所在，那么接下来，我们来看一下答案吧： 25.(1) (2) Made By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结二之轨迹确定问题- 3 - 在上述标准答案中，我们不难发现，要想解出该题，之前提出的 4 个小问是必解不可， 然而在标准答案之中，我们会发现，生搬硬套只会加大计算量，如果能使用数形结合法， 将粒子的轨迹用标准的数学方法画出来，最后只需要由几何关系，即可找到 2、3 问的答案 （如果有兴趣的话，可以尝试着在接下来的几道高考题中试一试这个方法） 。 由于这类题目的考察率、对条件的寻求、计算、作图等的要求比较高，由此我们多举 几道高考试题作为例子引出规律、总结。 接下来我们看看 11 年山东卷： （11 年山东卷理科综合 25，18 分）扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动 轨迹发生扭摆。其简化模型如图：、II 两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为 L，磁 场方向相反且垂直纸面。一质量为 m、电量为- q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器 MN 板处由静止释放，极板间电压为 U，粒子经电场 加速后平行于纸面射入区，射入时速度与水平和方 向夹角 =300 （1）当区宽度 L1=L、磁感应强度大小 B1=B0时， 粒子从区右边界射出时速度与水平方向夹角也为 300，求 B0及粒子在区运动的时间 t0 （2）若区宽度 L2=L1=L 磁感应强度大小 B2=B1=B0， 求粒子在区的最高点与区的最低点之间的高度差 h （3）若 L2=L1=L、B 1=B0，为使粒子能返回区，求 B2应满足的条件 （4）若 B1B2，L 1L2，且已保证了粒子能从区右 边界射出。为使粒子从区右边界射出的方向与从区左边界射出的方向总相同，求 B1、B 2、L 1、L 2 之间应满足的关系式。 试题分析：同样是一道很有深度的题目，难度可谓逐级递增，也有一定的区分度。该 类型的题目与上述所举的课标卷 25 题可谓是类似的，同样的，解此类题目时应该在计算不 出错的前提下，精准的作出图像，描出轨迹，借用三角函数、几何关系来进行解答。不过 相对于课标卷来看，该题有一些新的特点，即在解答（3） 、 （4）问的过程中，应该要考虑 到上此总结所说的临界条件，即例子若能返回 I 区则必定不能出 II 区，则找到在 II 区的临 界即恰好与边界相切的那一种情况进行计算；（4）问主要是以一种理想的模型对粒子 的运动进行分析、假设并加以求解。那么接下来，我们来看一下标准答案： 答案：（1） （2） （3）3LmqU()L12B 解析：（1）如图 1 所示，设粒子射入磁场 I 区的速度为 v， 在磁场 I 区做圆周运动半径为 ，由动能定理和牛顿第二定1R 律得 2qUmv m P Q M N B1 B2 L1 L2L I II -q 图 1 B1 B2 L1 L2L I II 201vqBmR 由几何关系得 2L 联立得 02UBq 设粒子在 I 区做圆周运动周期为 T，运动时间为 t 12RTv 036 联立式解得 32LmtqU （2）设粒子在磁场 II 区做圆周运动半径为 ，由牛顿第二定律得 R 22vqB 由几何知识得 12()cos)tanhRL 联立式解得 3 （3）如图 2 所示，为使粒子能再次返回到 I 区应满足 2(1sin)RL11 联立 式解得 11 23mUBq12 （4）如图 3（或图 4）所示，设粒子射出磁场 I 区时速度与水平方向的夹角为 ，由几何 知识可得 11(sin)(sin)LRLR或 13 2 2i或 14 联立 式解得 1314 1B15 图 2 B1 B2L1 L2LI II Made By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结二之轨迹确定问题- 5 - 图 3 B1 B2 L1 L2L I II 图 4 B1 B2 L1 L2L I II 看过答案后，是否有层层递进的感觉？这道高考题出得倒是比较不错，它的解法正也 应了我所说的，规规矩矩，标标准准的画出轨迹图像后，透过数学计算、几何关系加以解 题。如此一来，该类试题对于我们来说，也就不是障碍了。 为加强巩固，我们继续看一道高考题： （11 年广东卷理科综合 35，18 分） 如图 19（a）所示，在以 O 为圆心，内外半径分别为 R1 和 R2 的圆环区域内，存在辐 射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差 U 为常量，R 1=R0，R 2=3R0，一电荷 量为+q ，质量为 m 的粒子从内圆上的 A 点进入该区域，不计重力。 （1）已知粒子从外圆上以速度 v1 射出，求粒子在 A 点的初速度 v0 的大小。 （2）若撤去电场，如图 19（b），已知粒子从 OA 延长线与外圆的交点 C 以速度 v2 射出，方向与 OA 延长线成 45角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间。 （3）在图 19（b）中，若粒子从 A 点进入磁场，速度大小为 v3，方向不确定，要使粒 子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？ 试题分析： 该题相对前 2 题来说，难度可谓大打折扣，只要按照之前归纳总结所说，认真计算， 临界条件的寻求正确，加上本次总结所说，认认真真的作图，该题即可解开（虽然我说容 易，可是似乎广东理综未必有几个人能考得好） 。下边是标准答案： 35.(18 分) 解： （1）粒子从 A 点射出后到外界边界射出过程，由动能定理得 210qUmv 解得 201q （2）撤去电场后，作出粒子的运动轨迹如答图 1，设粒子运动的轨道半径为 r，由牛顿 第二定律 2vqBmr 由几何关系可知，粒子运动的圆心角为 900，则 得 221()rRR 联立 得 20vBq 匀速圆周运动周期 2rTv 粒子在磁场中运动时间 14t 联立，得 02Rtv （3）要使粒子一定能够从外圆射出，粒子刚好与两边界相切，轨迹图 如答图 2 由几何关系可知粒子运动的轨道半径 2110r OA0v12R1AOC452v)(a)(b9图 Made By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结二之轨迹确定问题- 7 - 设此过程的磁感应强度为 B1， 由牛顿第二定律 2311vqBmr 由，得 310mvqR 所以磁感应强度应小于 30 对于该道题，我就没什么好说的了，只是啰嗦的重复一句：计算、作图要认真，如此 基本不会有什么闪失了 最后，让我们回归我们的大纲版全国卷来看一下，今年的全国卷又给我们怎样的启示： 25.（19 分） 如图，与水平面成 45角的平面 MN 将空间分成 I 和 II 两个区域。一质量为 、电荷量为 q（q0）的粒子m 以速度 v0 从平面 MN 上的 P0 点水平向右射入 I 区。粒子 在 I 区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作 用，电场强度大小为 ；在 II 区运动时，只受到匀强磁E 场的作用，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向里。 求粒子首次从 II 区离开时到出发点 P0 的距离。粒子的重 力可以忽略。 试题分析： 该题相对于 09、10 年的带电粒子在磁场中的运动问题 来看，难度可谓是大大降低。但是，即便如此，笔者第一 次做的时候同样出错，我来跟大家分享一下我的错因： 想必看到这题，很多同学都很自然的画出了右图，不 过，不知道是否有和我一样的同学，在做这题的时候很粗 心的把 角非常错误的认为是 45呢？如果有，那很遗憾 的说，该题，绝对解错了为何？我们来看一下（由于 之后的答案会放出来，所以一大部分我直接以公式的编号 代替） 由式，可以非常直观的算出，45，其必须与 相加，才可等于 45， 这乃是能解正确解答本题的关键。那么接下来，我们看下标准答案： M N E v0 B P0 II I M N E v0 B P0 II I P1 P2 v1 C r1 带电粒子进入电场后，在电场力的作用下沿抛物线运动，其加速度方向竖直向下，设其大 小为 a，由牛顿定律得 qE = ma 设经过时间 t0，粒子从平面 MN 上的点 P1 进入 磁场，由运动学公式和几何关系得 v0t0 = at02 12 粒子速度大小 v1 = v02+(at0)2 设速度方向与竖直方向的夹角为 ，则 tan = v0at0 此时粒子到出发点 P0 的距离为 s0 = v0t0 2 粒子进入磁场，在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，圆周半径为 r1 = mv1qB 设粒子首次离开磁场的点为 P2，弧 所张的圆心角为 2，则 P1 到点 P2 的距离为 P1P2 s1 = 2r1sin 由几何关系得 + = 45 联立式得 s1 = 2 mv0qB 点 P2 与点 P0 相距 l = s0 + s1 联立解得 l = ( + ) 2v0E 1B 【易错分析】1.对于带电粒子在电场中的运动，一些考生错将 45角当成粒子在电场中运 动的速度偏向角，导致错解，也有一些考生将粒子出电场时的速度大小仍当成 是 ，导致错解0v 2.对于粒子在匀强磁场中的运动，对几何关系挖掘不细致导致不能完成求解。 那么上述乃是今年全国卷的物理压轴之一，由此我们看到，首先作图一定要准，其次 在分析、计算方面更不能混淆。糊涂，否则便会前功尽弃！ 既然如此，那么笔者在此就提出一个方法，专解该类题型，而且该招还非常常用、好 用，就是“逆向思维法”。 那么，何谓“逆向思维法”呢？下边就加以解释一下： 所谓逆向思维，就如同名侦探柯南一般，不断地找线索、证据来破解已经悲剧了的案子 （为了尊重国语，在此便不用杯具 ）。逆向思 维，就是把已经知道的结果，结合题意，以轨 道半径、三角函数、数学定理反推出运动的轨迹。要做到这点，首先，对题目进行观察，对运 动方向偏转的程度（即角度），根据 圆心（需要自己找）与偏向角之 间的关系，粒子运 动轨迹对 M N E v0 B P0 II I P1 P2 v1 C r1 Made By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结二之轨迹确定问题- 9 - 应的圆心角为 度，即粒子的运 动轨迹为 ；然后，画圆，因为粒子在匀强磁场中的运动360a 轨迹是一个圆，所以解题时，我们不妨先在草稿纸上用圆规 画一个很标准的圆；其次。确定粒 子的入射点与初涉点，用数学中平面向量的知识，将入射 时 的速度方向（即与某个参考系如 x、y 轴所成的夹角）与出射时 的速度方向的始端平移到同一位置，它们所成的角即为圆的偏 向角；紧接着，根据题意，将限制条件（如从哪端射到哪端，在哪个区域内运动之类的）添加上 去，最后，综合分析，即可把轨迹以及题中障碍全部扫清。 那么接下来，我们便看看以下几道模拟题，用上逆向思维法来接一下吧：（由于时间 问题，所以笔者便不将原创答案给出，但是以下几题，全部能用逆向思维法来解题，大家 可以试一试，特别是新手或是基础相对薄弱的同学，该法不失为一道提升的妙招！） 如图所示，竖直放置的正对平行金属板长 L，板间距离也为 L，两板间有场强为 E 的匀强电 场（电场仅限于两板之间） ，右极板的下端刚好处在一有界匀强磁场的边界（虚线所示）上， 该边界与水平成 45夹角，边 界线以右有垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为 m、电量为 e 的电子在左侧金属板的中点从静止开始，在电场力作用下加速向右运动，穿过右极板中 心小孔后，进入匀强磁场。 求：（1）从电子开始运动到进入匀强磁场所需的时间； （2）匀强磁场的磁感应强度 B 应满足什么条件，才能保证电子从磁场出来后，还能穿越平 行金属板间的电场区域。 试题分析： 既然已知该题的入射点、出射点，以及偏转角度，那么根据动能定理便可求出速度， 其次，再使用逆向思维法解出轨迹，即可。下边我们看一下标准答案： t=t1+t2= O O3 O1 O2 600 eE2mL5(3 分) （2）电子在磁场中做圆周运动，x 经 34 周从磁场出来时，速度应沿竖直方向，在电场 中做类平抛运动。设电子穿越电场所需时间为 t3，偏转距离为 x，则 Lvt3 (2 分) x= 23at1 (2 分) 为保证电子从磁场出来后能进入电场并能从电场中出来，电子在磁场中运动的半径 R 应满 足 L2RLx （2 分） 电子在磁场中运动轨道半径：R rB mv （2 分） 由以上公式可得： eL E2342 （4 分） 上述标准答案中有很好的轨迹图，同学们可以在做完之后可与自 己的逆向思维法进行比较，看自己在使用的过程中是否有偏差、出错之处。 那么我们再看一题，本题笔者将不作过多解释，留给各位思考的空间： 25 （18 分）如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的 场强 大小为 E 方向水平向右，电场宽度为 L；中间区域和右侧匀强磁场的磁感应强 度大小均为 B，方向分别垂直纸面向外和向里。一个质量为 m电量为 q不计重力 的带正电的粒子从电场的左边缘的 O 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧 磁场区域后,又回到 O 点,然后重复上述运动过程。求: （1）画出带电粒子在上述运动过程的轨迹； （2）带电粒子在磁场中运动的轨道半径； （3）带电粒子在磁场中回转一周所用的时间。 （提示：该题运用逆向思维解题会更加快） 25 （18 分）：（1）运动轨迹如图所示 （4 分） （2）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： 2mvqEL （3 分） 带电粒子在磁场 中偏转，由牛顿第二定律，可得：RBv2 （3 分） 由以上两式，可得 qmELB21。 （1 分） ） B BE L O Made By YZYZ268-fvans 带电粒子在磁场中的运动归纳总结二之轨迹确定问题- 11 - 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