天津科技大学概率与统计(多统计)复习

要求：将答案写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上无效，交卷时将试 卷和答题纸分开交。 参考数据: ， ， ，10.843(2.5)0938(1.5)0932 ， ， 5()7t.146.2.746 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1 在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概 率 = 0.504 或 .P6125 1某人忘记了电话号码的最后一位数字，他随机拨最后一个号码，则他拨号不 超过两次就可以拨通的概率 .p 2. 三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是 ，则他们将此密1,534 码译出的概率 ； p 3. 设 是两个随机事件，已知 ,AB ，则 ；0.4,.3,0.5PABPAB|P 4. 、若随机变量 的概率密度函数为 X其 它,40xaxf （1） 求 值； （2）求分布函数 ； （3）求概率 。 （10aF1X 分） 解：(1)由 ，得 .62)( 4040 axdxaxf 3 于是，随机变量 的概率密度为 X,1/3)(f .,4其 它 x （2） . 当 时，xdtfF)()( 0 ，0xtx 年级：2012 级专业：经管、国际等学院本科 课程号： 1101140310 第 2 页 （共 9 页） 当 时， ，40x 8163)()( 00xtdttfxFxx 当 时， . 1)()( 4040 ttdtfx 所以，随机变量 的分布函数为 X,1,)(xF8/.4,x （3） .781)()1(P 4设随机变量 的概率密度 （10 分）X2,0axf其 它 (1)求 值； （2）求分布函数 ； (3) 求 P(2x3) a)(F 解 (1) 由 ， （4 分）23210081()fxdaxa 得 。 （6 分）2 （2） 。 当 时， ，xtfF)()(x()Fx 当 时， ， （8 分）0233310880da 当 时， 。x()1x 所以，随机变量 的分布函数为 （10 分）X3, 1()028, xFx 5. 若连续型随机变量 的分布函数为 ,1)(2Ax.,10 （1）求 的值；（2）求 的概率密度函数 ；（3）求概率AX)(f 2013-2014 学年第 一 学期本科试卷 课程名称: 概率与统计（多统计） （A） 第 3 页 （共 9 页） 学 院: 专 业: 学号: 姓名: 装订线 学院 .(0.37)PX 解 （1）因为 是连续型随机变量，其分布函数在（ ）上连续，, 所以 ，即2111lim()lilim()lixxxxFAF1A （2） , 0f其 （3）概率 =(0.3.7)PX2(.(.3)07.4F 5. 设随机变量 的分布函数为 ， ， arctnxABxx 其中 .（1）求概率密度 ； ,2ABf 解：（1）随机变量 的分布函数为 , X1()arct2Fxx 由于在 的可导点 ，得随机变量 的概率密度为)(xFf X （4 分）21, ()fx: 6. 设总体 ，随机抽取样本 ，则 ;),0(NX125,X 122345X 6 总体 ，则统计量 服从 ),(22)(xnSi 2)(Sn 分布。)1,(nF 6” .设 为来自正态总体 的简单随机样本. 记92,X X ， ，62116Y 98721Y92271iiSXY ， 年级：2012 级专业：经管、国际等学院本科 课程号： 1101140310 第 4 页 （共 9 页） 证明 SYZ21()t: 证 记 ，则2,XDE ， ， 。21YE62132YD 由于 与 相互独立，所以 ， ，1Y2 0212121 且 ， 。 2120, N12, YZN 又因为 ，且 与 相互独立，所以由 分布的定义知22S12St22121tSYY 7. 、某品牌清漆的干燥时间（小时） ，现随机抽取 9 个样品，2(, )XN 算得样本均值 .若由以往经验知 ，求 的置信水平为 0.95 的置信6x0.6 区间. 解： ， ，查标准正态分布表得 。0.59n0.2519u 又因为 6，故所求置信区间为x （ ） 即 （5.608，6.392） 1.1.06, +33 . 7、 （8 分）从一批钉子中抽取 16 枚，测得长度的样本均值 ，样本标2.15X 准差为 ，设钉长分布为正态， 为未知，试求总体期望 的置信度为0.S 0.90 的置信区间. 2013-2014 学年第 一 学期本科试卷 课程名称: 概率与统计（多统计） （A） 第 5 页 （共 9 页） 学 院: 专 业: 学号: 姓名: 装订线 学院 二、选择题 1. 随机变量 与 相互独立是 的（ ）条件.XY0),cov(YX 充要； 充分； 必要； 即非充分又非必要 2. 若随机变量 服从正态分布 ，则(,4)N(2)P 3.已知随机变量 且 ，设 ，则 （ )PX23XY)(YE 4 ） 2； 4； ； 4121 3.设两个相互独立的随机变量 和 的方差分别为 4 和 2，则随机变XY 量 的方差是（ 44 ） YX 8； 16； 28； 44 4.设 为来自正态总体 的样本，已知1234, 2(,)XN: ， 是总体均值 的无4()X21234)X 偏估计量，则 ；且 中较为有效的是 （填 或 ） ；1, 12 三 四、 （12 分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，用 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.X （1）写出 的概率函数； （2）利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，求索赔户中被盗索赔户不少于 14 户且 不多于 30 户的概率 的近似值. 1430PX 解（1） ， （2 分）概率函数为(0,.)XB: 年级：2012 级专业：经管、国际等学院本科 课程号： 1101140310 第 6 页 （共 9 页） 。 （4 分）1010(.2)8, k=,2.10kkPXC (2) , ， （6 分）().E.DX 由 中心极限定理得DL （1420302201431.5.544XP 9 分） （12 分）(2.5)(.)(.5)(.1.98.3.97 五、若随机变量 的概率密度为 , X,04Xxf其 它 求随机变量 = 的概率密度函数 . （7 分）Y28yfY 解 设 的分布函数为 ，()YF = = = = （4 分）()YFy)P28Xy8)2P()XyF 于是 的概率密度函数为 = =()Yf(Yd1).2Xf 注意到 时, ， 即 时, 04x0Xfx86y .81().2YXyff 所以 = （7 分）()Yfy 8,16320y其 他 五. （10 分）设 ，求 的概率密度.(,1)XUXYe 2013-2014 学年第 一 学期本科试卷 课程名称: 概率与统计（多统计） （A） 第 7 页 （共 9 页） 学 院: 专 业: 学号: 姓名: 装订线 学院 解 的密度为X （2 分）1,0,()Xxfx其 它 . 当 时， ， （3 分）1y)()0XYFyPey 当 时， ， （7 分）e(ln(l)XFy 当 时， ， （8 分）)l1 所以 的密度为 （10 分） (l),()0,.XYfyyefyF其 他 六、 （10 分）设连续总体 的概率密度函数为 ，其中 ， 1,( )0xf； 其 它 0 为来自总体 的样本，求未知参数 的最大似然估计量.nX,21 解 最大似然估计：设样本观测值为 ，似然函数12,nx ， （3 分）11()()nniiiLx ， （5 分）1l()l()l()niix 由 ， （8 分）1lnl()0niidL 得 的最大似然估计量 。 （10 分）1ln()iiX 七、 （、某机器正常工作时，生产的金属棒的长度（单位：mm ） . 2(90,)XN 从该机器生产的一批金属棒中随机抽取 16 根，测得它们的平均长度为 mm. 若已知总体方差不变，检验该机器工作是否正常.（取显著性89.4x 年级：2012 级专业：经管、国际等学院本科 课程号： 1101140310 第 8 页 （共 9 页） 水平 ） （9 分）05. 解：由已知要检验的假设是 ， （2 分）00:H01:H 由于总体方差已知，故采用 检验，选取检验统计量u 当 成立时0(,)/XNn0 由已知条件计算可得统计量 的观测值u （6 分）89.41.2/ 从而 0.25|16u 所以接受原假设 ，即在显著性水平 下认为该切割机工作正常。H05. （9 分） 七. 某企业生产的电器元件的电阻 服从正态分布 ，且 一直保X2(, )N 持在 2.64 。改变加工工艺后，测试了 25 个元件的电阻，算得样本平均值 ，样本标准差 ，问新工艺对电器元件电阻的数学期望2.6x0.6s 有无显著影响（取显著性水平 ）？ （10 分）.1 解 ： 2.64 ： 2.640H1 检验统计量 0()XttnS: 由于 02.641.675xtsn 而 ，且 ，故新工艺对电器元件0.5(4).798tt0.(2).98 电阻的数学期望 无显著影响. 2013-2014 学年第 一 学期本科试卷 课程名称: 概率与统计（多统计） （A） 第 9 页 （共 9 页） 学 院: 专 业: 学号: 姓名: 装订线 学院 八、 （8 分）考察硫酸铜晶体在 100 克水中的溶解量 与温度 间的相关关系()y()x 时，做了 9 组独立试验，结果见下表： 温度 （ ）x0 10 20 30 40 50 6