反比例函数复习题

全国中考题 反比例函数 一、选择题 1 （2013 江苏苏州，8，3 分）如图，菱形 OABC 的顶点 C 的坐标为(3，4)，顶点 A 在 x 轴 的正半轴上反比例函数 y kx(x0)的图象经过顶点 B，则 k 的值为（ ） A12 B20 C24 D32 【答案】D 【解析】过 C 点作 CDx 轴，垂足为 D，根据点 C 坐标求出 OD、CD、BC 的值，进而求 出 B 点的坐标，即可求出 k 的值 解：过 C 点作 CDx 轴，垂足为 D 点 C 的坐标为（3，4） ， OD=3，CD=4 OC= OD2+CD2=32+42=5OC=BC=5点 B 坐标为（8，4） ， 反比例函数 y= （x0）的图象经过顶点 B，k=32 k 所以应选 D 2 （2013 浙江台州，5，4 分）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体， 当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度 （单位：kg/m 2）与体积 V（单 位：m 3）满足函数关系式 Vk （k 为常数，k 0） ，其图象如图所示，则 k 的值为（ ） O V A（6,1.5 ） 第 5 题 A9 B9 C4 D4 【答案】：A 【解析】反比例函数 经过 A（6,1.5） ，利用待定系数法将 V=6、 1.5代入解析式Vk 即可求出解析式。 3.（2013 贵州安顺，7，3 分）若 是反比例函数，则 a 的取值为（ ）2)1(axy A1 B1 C1 D任意实数 【答案】：A 【解析】此函数是反比例函数， ，解得 a=1 4 （2013 山东临沂，13，3 分）如图，等边三角形 OAB 的一边 OA 在 x 轴上，双曲线 y 在第一象限内的图象经过 OB 边的中点 C，则点 B 的坐标是（ ）x O x y B A C A （1， ） B （ ，1） C （2， ） D （ 23，2）333 【答案】：C 【方法指导】 【易错警示】 5 （2013 山东滨州，6，3 分）若点 A(1，y 1)、B(2，y 2)都在反比例函数 y= (k0)的图象kx 上，则 y1、y 2的大小关系为（ ） Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1y 2 Dy 1y 2 【答案】：C 【解析】根据反比例函数的图象.由 k0 可知图象在第一象限内 y 随 x 的增大而减小；因 为 12，所以 y1y 2 6. 2013 广东省，10，3 分）已知 ，则函数 和 k2的图象大致是211k 【答案】 A. 【解析】因为 ，所以直线 经过一、三、四象限，由此，可以排除选项 B01k1xky 和 D；又因为 02k，双曲线 的两个分支分别在第一、三象限，只有选项 A 符xky2 合由此确定答案只能选 A 7. (2013 湖南邵阳,7,3 分)下列四个点中，在反比例函数 y= 的图象上的是( ） 6x A(3，2) B(3，2) C (2 ，3) D (2，3) 【答案】：A 【解析】：A、3 （2）= 6， 此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； B、32=66 ，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、23=66 ，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D、 （ 2）（3）=6 6，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误 故选 A 8. (湖南株洲,7,3 分)已知点 A（1， y） 、 B（2， ） 、 C（3， ）都在反比例函数y3y 的图象上，则的大小关系是（ ）xy6 A. 213y B. C. D. 321y312y123y 【答案】：D 【解析】：将 A（1， ） 、 B（2， ） 、 C（3， ）代入 得到3x61y =6, =3, =2,则大小关系是 .23y12y 9 （2013 四川凉山州，12，4 分） 如图，正比例函数 与反比例函数 相交于点 E（ ，2） ，若 ，则 的取值12120yx 范围在数轴上表示正确的是（ ） -1 0 1 A -1 0 1 B -1 0 1 C -1 0 1 D x y O E y1 y2 2 -1 （第 12 题图） 【答案】A. 【解析】先利用函数的图象可知,当 时, 的取值范围是 x1,所以其在数轴120yx 上表示为 A. 10 （2013 兰州，5，3 分）当 x0 时，函数 的图象在（ ） A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，反比例函数图象上的点符合 函数解析式 11 （2013 贵州安顺，7，3 分）若 是反比例函数，则 a 的取值为（ ） A1 B l C l D任意实数 考点：反比例函数的定义 专题：探究型 分析：先根据反比例函数的定义列出关于 a 的不等式组，求出 a 的值即可 解答：解：此函数是反比例函数， ，解得 a=1 故选 A 12 （2013 贵州毕节，13，3 分）一次函数 y=kx+b（k0）与反比例函数 的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则 k、b 的取值范围是 （ ） A k0，b0 B k0，b0 C k0，b0 D k0，b0 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题 分析： 本题需先判断出一次函数 y=kx+b 与反比例函数 的图象在哪个象限 内，再判断出 k、b 的大小即可 解答： 解： 一次函数 y=kx+b 的图象经过二、三、四象限， k 0， b0 又 反比例函数 的图象经过二、四象限， k 0 综上所述，k0，b0 故选 C 13 （2013 湖北孝感，11，3 分）如图，函数 y=x 与函数 的图象相交于 A，B 两点， 过 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D则四边形 ACBD 的面积为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题 分析： 首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围 成的直角三角形面积 S 的关系即 S=|k|，得出 SAOC=SODB=2，再根据反比例函数的 对称性可知：OC=OD ，AC=BD，即可求出四边形 ACBD 的面积 解答： 解：过函数 的图象上 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D， S AOC=SODB=|k|=2， 又OC=OD， AC=BD， S AOC=SODA=SODB=SOBC=2， 四边形 ABCD 的面积为：S AOC+SODA+SODB+SOBC=42=8 故选 D 14 （2013 湖南张家界，13，3 分）如图，直线 x=2 与反比例函数 和 的图象分 别交于 A、B 两点，若点 P 是 y 轴上任意一点，则PAB 的面积是 考点： 反比例函数系数 k 的几何意义 分析： 先分别求出 A、B 两点的坐标，得到 AB 的长度，再根据三角形的面积公式即可得 出PAB 的面积 解答： 解：把 x=2 分别代入 、 ，得 y=1、y= A（2，1） ，B（2， ） ， AB=1（）= P 为 y 轴上的任意一点， 点 P 到直线 BC 的距离为 2， PAB 的面积 =AB2=AB= 故答案是： 15. . （2013 江苏南京，5，2 分）在同一直线坐标系中，若正比例函数 y=k1x 的图像与反比 例函数 y= 的图像没有公共点，则 k2x (A) k1k20 (C) k1k20 答案：C 解析：当 k10，k20 时，正比函数经过一、三象限，反比函数在二、四象限，没有交点； 当 k10，k20 时，正比函数经过二、四象限，反比函数在一、三象限，没有交点；所以， 选 C。 16. （2013衢州 3 分）若函数 y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（ ） A m2 B m0 C m2 D m0 【答案】A 【解析】函数 y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大， m+20， 解得：m2， 17（2013河 北 省 ，10，3分）反比例函数y 的图象如图 3所示，以下结论： mx 常数 m 1； 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大； 若 A（1，h） ，B（2，k）在图象上，则 hk ； 若 P（x，y）在图象上，则 P（x ，y）也在图象上. 其中正确的是 A B C D 答案：C 18 （2013 黑 龙 江 省 哈 尔 滨 市 ，6）反比例函数 的图象经过点(-2，3) ，则12kyx k 的值为( ) (A)6 (B)-6 (C) (D) 72 考点：反比例函数的图象上的点的坐标 分析：点在曲线上，则点的坐标满足曲线解析式，反之亦然 解答：反比例函数 的图象经过点(-2，3) ，表明在解析式 ，当1kyx 12kyx x-2 时，y3，所以 1-2kxy3(2)6,解得 k= 7 故选 C 二、填空题 1.（2013 湖北黄冈，12，3 分）已知反比例函数 y 6x在第一象限的图象如图所示，点 A 在其图象上，点 B 为 x 轴正半轴上一点，连接 AO、AB，且 AOAB，则 SAOB 【答案】6 【解析】如下图，过点 A 作 ACOB 于点 C，AO AB，OCBC而 ACAC，AOAB ，AOCABC S AOC S ABC 设点 A 的坐标为(x，y ) (x0， y0) ，则 xy6，ACy，OCx ，S AOB 2S AOC 2 OCACxy612 C 【方法指导】本题考查等腰三角形的性质和反比例函数，体现了数形结合的思想其中， 理解反比例函数的系数 k 的几何意义是求解关键对于任意反比例函数 y kx(k0)而言， 从其图象上的任意一点向坐标轴作垂线，它们与坐标轴围成的矩形面积等于|k| ，而将此点 与坐标原点连接起来，则它分矩形所得 Rt的面积等于 |k|12 2 （2013 江苏扬州，11，3 分）在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强 与它的体p 积 V 成反比例当 V=200 时， =50；则当 p=25 时，V= 【答案】400 【解析】首先利用待定系数法求得 V 与 P 的函数关系式，然后代入 P 求得 V 值即可 解：在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强 p 与它的体积 V 成反比例，设 P= kV 当 V=200 时，p=50 ，k=VP=20050=10000，P= 10 当 P=25 时，得 V= = 1025=400p 所以应填 400 3 （2013 四川宜宾，16，3 分）如图，直线 与双曲线 交于点 A，将xy34)0(xky 直线 向右平移 29个单位后，与双曲线 交于点 B，与 x 轴交于点 C，xy4 )0(k 若 ，则 k= BCAO 【答案】12 【解析】首先求出平移后直线的解析式，然后直线 xy34与双曲线 两解析)0(xky 式联立方程组求出点 A 的纵坐标，平移后的直线解析式 6 与双曲线 两解析式联立方程组，求出点 B 的纵坐标，根据相似三角形对应边成比例的)0(xky 性质可得 A、B 的纵坐标的比等于 AO：BC，然后列出方程求解即可 4 （2013 山东德州，16，4 分）函数 y= 与 y=x2 图象交点的横坐标分别为 a,b ,则x1 的值为 。ba1 【答案】2. 【解析】函数 y= 与 y=x2 图象相交， 21x，解得 2121xx， .x1 由于交点的横坐标分别为 a,b ，ab= =1，a+b= =2.）（ ）（ = . 故填2.11ab . 5 （2013 山东日照，15，4 分）如右图，直线 AB 交双曲线 于、B，交 x 轴于点xky C,B 为线段 AC 的中点，过点 B 作 BMx 轴于 M，连结 OA.若 OM=2MC,SOAC=12.则 k 的 值为_. 【答案】8 【解析】过点 A 作 ADx 轴于点 D,则ADO 的面积为 21k, BM x 轴,ADBM, B 为线段 AC 的中点，BM 为ADC 的中位线，DM=MC, OM=2MC, OD=DM=MC. S OAC=3SOAD,=12= ，k=8.k23 【方法指导】本题考查反比例函数的性质。利用反比例函数中 k 的几何意义找到关于 k 的 方程，从而结出 k 的值。 6 （2013 广东湛江，15，4 分）若反比例函数 的图像经过点 A(1，2) ，则 k= yx 【答案】2. 【解析】把（1，2）代入 ，得 k=2.yx 7 （2013 湖南永州，14，3 分）如图，两个反比例函数 在第一象限内的图xy24和 象分别是 ，设点 P 在 1C上，PAx 轴于点 A，交 于点 B，则POB 的面积为 21C和 2C C 2C1 y x BAO P 【答案】1. 【解析出】根据反比例函数中 k 的几何意义，得POA 和BOA 的面积分别为 2 和 1，于 是阴影部分的面积为 1. 【方法指导】反比例函数 中 k 的几何意义yx 如图，点 P 是双曲线上任意一点，过点 P 作 PAx 轴于点 A，作 PBy 轴于点 B， 设点 P 的坐标为（x ，y ） ， 则 PA ，PB 。x PMPN yPMONS矩 形 ， ， kkyxPMONS矩 形 即过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线段，两条垂线段以及两坐标轴围成的矩形 的面积为 利用这结论解题会很迅速k 8 （2013 贵州毕节，20，5 分）一次函数 y=kx+1 的图象经过（ 1，2） ，则反比例函数 的图象经过点（2， ） 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征 分析： 把点（1，2）代入一次函数解析式求得 k 的值然后利用反比例函数图象上点的坐 标特征来填空 解答： 解： 一次函数 y=kx+1 的图象经过（1，2） ， 2=k+1， 解得，k=1 则反比例函数解析式为 y=， 当 x=2 时，y= 故答案是： 点评： 本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征利用待定系数法求得一次 函数解析式是解题的关键 12. （2013 湖南娄底，13，4 分）如图，已知 A 点是反比例函数 的图象上 一点，AB y 轴于 B，且ABO 的面积为 3，则 k 的值为 6 考 反比例函数系数 k 的几何意义 PxO 点： 分 析： 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面 积 S 是个定值，即 S=|k| 解 答： 解：根据题意可知：S ABO=|k|=3， 由于反比例函数的图象位于第一象限，k0， 则 k=6 故答案为：6 三、解答题 1.（2013 贵州安顺，22，10 分） 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A(2，0) ，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点 B（2，n） ，连结 BO，若 4OBS . （1）求该反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 与 y 轴的交点为 C，求OCB 的面积. 【解】 （1）由 A(2，0) ，得 OA=2. 点 B（2，n）在第一象限内， . 21OAn=4，n=4.4AOBS 点 B 的坐标为（2，4）（2 分） 设反比例函数的解析式为 y= (a0)x8 将点 B 的坐标代入，得 4= ，a=8.a 反比例函数的解析式为 y= （4 分）x 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k0) 将点 A、B 的坐标分别代入，得 .2,0bk 解得 .2,1bk 直线 AB 的解析式为 y=x+2. （6 分） (2)在 y=x+2 中， ；令 x=0，得 y=2. 点 C 的坐标是（0,2） ， OC=2. .（10 分）212BOCBxS 2 （2013 湖南益阳，16，8 分）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大 棚栽培一种在自然光照且温度为 18的条件下生长最快的新品种图 5 是某天恒温系统从 开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y() 随时间 x (小时)变化的函数图象，其中 BC 段是双 曲线 的一部分请根据图中信息解答下列问题：xky （1）恒温 系 统 在 这 天 保 持 大 棚 内 温 度 18 的 时 间 有 多 少 小 时 ？ （2）求 k 的值； （3）当 x=16 时，大棚内的温度约为多少度？ x(时 ) y( ) 18 2 12O 图 5 A B C 【思路分析】 （1）A、B 两点横坐标的差即为恒温 系 统 在 这 天 保 持 大 棚 内 温 度 18 的 时 间 ； （ 2） 因 为 B 点 在 ，所以把 B 点坐标代入即可以求出 k 的值；（3）把 x=16 代入以上xky 求得的反比例函数中，求出 y 的值即可。 【答案】：（1）恒温系统在这天保持大棚温度 18的时间为 10 小时 （2）点 (12，18)在双曲线 上，xk 18k， .6 （3）当 x=16 时， ， 5.1362y 所以当 x=16 时，大棚内的温度约为 13.5 3 （2013 广东广州，23，12 分）如图 11，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，正方 形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（ 2,2），反比例函数 （x0，k 0）的图像经过线段 BC 的中点 D.y （1）求 k 的值； （2）若点 P(x,y)在该反比例函数的图像上运动（不与点 D 重合），过点 P 作 PRy 轴于 点 R,作 PQBC 所在直线于点 Q，记四边形 CQPR 的面积为 S，求 S 关于 x 的解析式并写 出 x 的取值范围. 【解】 （1）依题意知点 B 的坐标为（2,2），得 CB 的长为 2，且 D 点纵坐标为 2，又因为 D 为 BC 的中点， D 点的坐标为 （1,2） ，代入 y 解得 k2x （2）分点 P 在点 D 的下方和上方，即 x1 和 0x1 两种情况讨论； （）如答案图 1，依题意得，点 P 的坐标为（x， ） ，所以 PR=x，PQ=2 ，x 所以，S=PR PQ= x（2 ）=2x 2. （）如答案图 2，依题意得，点 P 的坐标为（x， ） ，所以 PR=x，PQ= 2，x2x 所以，S=PR PQ= x（ 2）=2 2x， 综上， ;(1)20S； PC2， P1（1,0） ，P 2（3,0） SPAB PC44， 【 4 （2013 山东菏泽，17，14 分） （每题 7分） 已知 m 方程 的一个实数根，求代数式 的值.20x2()1)m 【解】 （1）解法一： m 方程 的一个实数根20x ， 3 分22m 原式= 5 分2()1)1m 6 分2 7 分4 解法二：解方程 得： 12,x20x 即： 4 分12,m 当 时，把 代入 2()m 当 时，把 代入 6 分1 即：代数式 2()1)的值为 4. 7 分 【方法指导】本题考查了一元二次方程的解与求代数式的值.借助一元二次方程的解及其等 式性质变形，巧妙运用整体代入发求出代数式的值.当然可以直接求出一元二次方程的解 M 的值，再代入计算. （2）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，一次函 数 的图象与反比例函数 图象yxkyx 交于 A、B 两点 根据图像求 k 的值; 点 P 在 y 轴上，且满足以点 A、B 、P 为顶点的三角形是直角三角形，试写出点 P 所有可能的坐标. 【思路分析】根据 A 点的横坐标代入函 数 yx 求出其纵坐标，然后将得出的 A 点坐标代入函数 求出 k 值.（2）可以考虑 AB 是直角边、斜边yx 进行分析. 【解】把 代入 得 1y，故1x(,) 反比例函数 图象过点 Aky k 3 分 x y O A B （第 17 题） -1 点 P 所有可能的坐标. (0,2)、 、 、 .7 分(,)(0,2,) 5(2013 四川成都，19，10 分) 如图，一次函数 y1x 1 的图象与反比例函数 y2 kx(k 为常数，且 k0)的图象都经过点 A(m，2) (1)求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； (2)结合图象直接比较：当 x0