八大类数列及变式总结(公考资料)

八大类数列及变式总结 数字推理的题目通常状况下是给出一个数列，但整个数列中缺少一个项，要求仔细观察这个数列各项之间的关系， 判断其中的规律。 解题关键： 1，培养数字、数列敏感度是应对数字推理的关键。 2，熟练掌握各类基本数列。 3，熟练掌握八大类数列，并深刻理解“变式”的概念。 4，进行大量的习题训练，自己总结，再练习。 下面是八大类数列及变式概念。例题是帮助大家更好的理解概念，掌握概念。虽然这些理论概念是从教材里得到， 但是希望能帮助那些没有买到教材，那些只做大量习题而不总结的朋友。最后跟大家说，做再多的题，没有总结， 那样是不行的。只有多做题，多总结，然后把别人的理论转化成自己的理论，那样做任何的题目都不怕了。谢谢！ 一、简单数列 自然数列：1，2，3，4 ，5，6， 7， 奇数列：1，3，5，7 ，9， 偶数列：2，4，6，8 ，10 ， 自然数平方数列：1，4，9，16，25，36， 自然数立方数列：1，8，27 ，64，125 ，216， 等差数列：1，6，11 ，16 ，21，26， 等比数列：1，3，9，27，81，243， 二、等差数列 1， 等差数列：后一项减去前一项形成一个常数数列。 例题：12，17，22，27，（），37 解析：17-12=5， 22-17=5， 2， 二级等差数列：后一项减去前一项形成一个新的数列是一个等差数列。 例题 1： 9，13，18，24，31 ，（） 解析：13-9=4，18-13=5，24-18=6，31-24=7 ， 例题 2.：66，83，102，123，（） 解析：83-66=17 ，102-83=19，123-102=21 ， 3，二级等差数列变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方 数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。 例题 1： 0，1，4，13，40，（） 解析：1-0=1，4-1=3，13-4=9，40-13=27，公比为 3 的等比数列 例题 2： 20，22，25 ，30 ，37，（） 解析：22-20=2， 25-22=3，30-25=5，37-30=7，.二级为质数列 4，三级等差数列及变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，再在这个新的数列中，后一项减去前一项形成 一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有 关。 例题 1： 1，9，18，29 ，43 ，61，（） 解析：9-1=8，18-9=9，29-18=11，43-29=14，61-43=18 ，二级特征不明显 9-8=1，11-9=2，14-11=3，18-14=4， 三级为公差为 1 的等差数列 例题 2.：1 ，4 ， 8，14，24 ，42 ，（） 解析：4-1=3，8-4=4，14-8=6，24-14=10，42-24=18 ， 二级特征不明显 4-3=1，6-4=2，10-6=4，18-10=8，三级为等比数列 例题 3：（）， 40，23，14 ，9，6 解析：40-23=17 ，23-14=9，14-9=5，9-6=3， 二级特征不明显 17-9=8，9-5=4，5-3=2，三级为等比数列 三、等比数列 1，等比数列：后一项与前一项的比为固定的值叫做等比数列 例题：36，24，（）32/3，64/9 解析：公比为 2/3 的等比数列。 2，二级等比数列变化：后一项与前一项的比所得的新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、 或者与加减“1”、“2”的形式有关。 例题 1： 1，6，30，（），360 解析：6/1=6，30/6=5，（）/30=4，360/ （）=3 ，二级为等差数列 例题 2： 10，9，17，50，（） 解析：1*10-1=9 ，2*9-1=18 ，3*17-1=50， 例题 3： 16，8，8，12 ，24 ，60，（） 解析：8/16=0.5，8/8=1，12/8=1.5 ，24/12=2，60*24=2.5，二级为等差数列 例题 4： 60，30，20 ，15 ，12，（） 解析：60/30=2/1 ，30/20=3/2 ， 20/15=4/3，15/12=5/4， 重点：等差数列与等比数列是最基本、最典型、最常见的数字推理题型。必须熟练掌握其基本形式及其变式。 四、和数列 1，典型（两项求和）和数列：前两项的加和得到第三项。 例题 1： 85，52，（），19 ，14 解析：85=52+（），52=（）+19，（）=19+14， 例题 2： 17，10，（），3 ，4，-1 解析：17-10=7， 10-7=3，7-3=4，3-4=-1 ， 例题 3： 1/3，1/6，1/2，2/3 ，（） 解析：前两项的加和得到第三项。 2，典型（两项求和）和数列变式：前两项的和，经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某 一常数；或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。 例题 1： 22，35，56 ，90 ，（）， 234 解析：前两项相加和再减 1 得到第三项。 例题 2： 4，12，8，10 ，（） 解析：前两项相加和再除 2 得到第三项。 例题 3： 2，1，9，30，117 ，441 ，（） 解析：前两项相加和再乘 3 得到第三项。 3，三项和数列变式：前三项的和，经过变化之后得到第四项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者 是每两项的和与项数之间具有某种关系。 例题 1： 1，1，1，2，3 ，5，9，（） 解析：前三项相加和再减 1 得到第四项。 例题 2： 2，3，4，9，12 ，25 ，22，（） 解析：前三项相加和得到自然数平方数列。 例题：-4/9 ，10/9 ，4/3，7/9，1/9，（） 解析：前三项相加和得到第四项。 五、积数列 1，典型（两项求积）积数列：前两项相乘得到第三项。 例题：1， 2，2，4，（），32 解析：前两项相乘得到第三项。 2，积数列变式：前两项相乘经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两 项的乘与项数之间具有某种关系。 例题 1： 3/2，2/3，3/4，1/3 ，3/8，（） 解析：两项相乘得到 1，1/2，1/4，1/8， 例题 2： 1，2，3，35，（） 解析：前两项的积的平方减 1 得到第三项。 例题 3： 2，3，9，30，273 ，（） 解析：前两项的积加 3 得到第三项。 六、平方数列 1，典型平方数列（递增或递减） 例题：196，169，144 ，（），100 解析：14 立方， 13 立方， 2，平方数列变式：这一数列特点不是简单的平方或立方数列，而是在此基础上进行“加减乘除”的变化。 例题 1： 0，5，8，17，（），37 解析：0=12-1，5=22+1，8=32-1，17=42+1，（）=52-1，37=62+1 例题 2： 3，2，11，14 ，27 ，（） 解析：12+2 ，22-2，32+2，42-2，52+2， 例题 3： 0.5，2，9/2，8，（） 解析：等同于 1/2，4/2，9/2 ，16/2，分子为 12，22 ，32，42， 例题 4： 17，27，39 ，（），69 解析：17=42+1 ，27=52+2 ，39=62+3， 3， 平方数列最新变化-二级平方数列 例题 1： 1，4，16，49 ，121，（） 解析：12，22，42，72，112，二级不看平方 1，2，3，4，三级为自然数列 例题 2： 9，16，36，100 ，（） 解析：32，42，62，102 ，二级不看平方 1，2，4，三级为等比数列 七、立方数列 1，典型立方数列（递增或递减）：不写例题了。 2，立方数列变化：这一数列特点不是简单的立方数列，而是在此基础上进行“加减乘除”的变化。 例题 1： 0，9，26，65 ，124，（） 解析：项数的立方加减 1 的数列。 例题 2： 1/8，1/9，9/64，（），3/8 解析：各项分母可变化为 2，3 ， 4，5，6 的立方，分之可变化为 1，3，9，27 ，81 例题 3： 4，11，30，67，（） 解析：各项分别为立方数列加 3 的形式。 例题 4： 11，33，73 ，（），231 解析：各项分别为立方数列加 3，6 ，9，12，15 的形式。 例题 5： -26，-6，2，4 ，6，（） 解析：（-3）3+1，（-2）3+2，（-1）3+3 ，（0）3+4 ，（1 ）3+5， 八、组合数列 1，数列间隔组合：两个数列（七种基本数列的任何一种或两种）进行分隔组合。 例题 1： 1，3，3，5，7 ，9，13 ， 15，（），（） 解析：二级等差数列 1，3 ，7，13，和二级等差数列 3，5 ，9，15，的间隔组合。 例题 2： 2/3，1/2，2/5，1/3 ，2/7，（） 解析：数列 2/3，2/5，2/7 和数列 1/2，1/3 ，的间隔组合。 2，数列分段组合： 例题 1： 6，12，19，27，33 ，（），48 解析： 6 7 8 6 （） 8 例题 2： 243，217，206，197 ，171，（），151 解析： 26 11 9 26 （） 9 特殊组合数列： 例题 1： 1.01，2.02，3.04 ，5.08，（） 解析：整数部分为和数列 1，2 ， 3，5， 小数部分为等比数列 0.01，0.02，0.04， 九、其他数列 1，质数列及其变式：质数列是一个非常重要的数列，质数即只能被 1 和本身整除的数。 例题 1： 4，6，10，14 ，22 ，（） 解析：各项除 2 得到质数列 2，3，5，7 ，11， 例题 2： 31，37，41 ，43 ，（）， 53 解析：这是个质数列。 2，合数列： 例题：4， 6，8，9，10，12，（） 解析：和质数列相对的即合数列，除去质数列剩下的不含 1 的自然数为合数列。 3，分式最简式： 例题 1： 133/57，119/51，91/39，49/21 ，（），7/3 解析：各项约分最简分式的形式为 7/3。 例题 2： 105/60，98/56，91/52， 84/48，（），21/12 解析：各项约分最简分式的形式为 7/4。 等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如 24,70,208,622，规律为 a*3-2=b 深一点模式，各数之间的差有规律，如 1、2、5、10、17。它们之间的差为 1、3、5、7 ，成等差数列。这些规 律还有差之间成等比之类。B，各数之间的和有规律，如 1、2 、3、5、8、13 ，前两个数相加等于后一个数。 3、看各数的大小组合规律，做出合理的分组。如 7,9,40,74,1526,5436，7 和 9，40 和 74，1526 和 5436 这三组各自是大致处于同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作 6 个数，而应该看作 3 个组。而 组和组之间的差距不是很大，用乘法就能从一个组过渡到另一个组。所以 7*7-9=40 , 9*9-7=74 , 40*40- 74=1526 , 74*74-40=5436，这就是规律。 4、如根据大小不能分组的，A，看首尾关系，如 7，10，9，12，11，14 ，这组数 ; 7+1410+119+12。首尾关系经常被忽略，但又是很简单的规律。B ，数的大小排列看似无序的，可以看它 们之间的差与和有没有顺序关系。 5、各数间相差较大，但又不相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了。如 6、24、60、 120、210，感觉它们之间的差越来越大，但这组数又看着比较舒服(个人感觉，嘿嘿)，它们的规 律就是 23-2=6、33-3=24、43-4=60、53-5=120、63-6=210。这组数比较巧的是都是 6 的倍数，容易 导入歧途。 6)看大小不能看出来的，就要看数的特征了。如 21、31、47、56、69、72 ，它们的十位数就是递增关系， 如 25、58、811、1114 ，这些数相邻两个数首尾相接，且 2、5、8、11、14 的差为 3，如论坛上答： 256，269，286 ， 302， （） ，2+5+6=13 2+6+917 2+8+6 16 3+0+25， 256+13269 269+17286 286+16302 下一个数为 302+5 307。 7)再复杂一点，如 0、1、3 、8、21、55，这组数的规律是 b*3-a=c，即相邻 3 个数之间才能看出规律， 这算最简单的一种，更复杂数列也用把前面介绍方法深化后来找出规律。 8)分数之间的规律，就是数字规律的进一步演化，分子一样，就从分母上找规律；或者第一个数的分母和 第二个数的分子有衔接关系。而且第一个数如果不是分数，往往要看成分数，如 2 就要看成 2/1。 数字推理题经常不能在正常时间内完成，考试时也要抱着先易后难的态度 (废话，嘿嘿)。应用题个人觉得 难度和小学奥数程度差不多(本人青年志愿者时曾在某小学辅导奥数)，各位感觉自己有困难的网友可以看看这方 面的书，还是有很多有趣、快捷的解题方法做参考。国家公务员考试中数学计算题分值是最高的，一分一题，而 且题量较大，所以很值得重视(国家公务员 125 题，满分 100 分，各题有分值差别，但如浙江省公务员一共 120 题，满分 120 分，没有分值的差别) 补充： 中间数等于两边数的乘积，这种规律往往出现在带分数的数列中，且容易忽略 如 1/2、1/6、1/3、2、6、3 、1/2 9）数的平方或立方加减一个常数，常数往往是 1，这种题要求对数的平方数和立方数比较熟悉 如看到 2、5 、10、17 ，就应该想到是 1、2、3 、4 的平方加 1 如看到 0、7 、26、63 ，就要想到是 1、2、3 、4 的立方减 1 对平方数，个人觉得熟悉 120 就够了，对于立方数，熟悉 110 就够了，而且涉及到平方、立 方的数列往往数的跨度比较大，而且间距递增，且递增速度较快 10 ）A2B C 因为最近碰到论坛上朋友发这种类型的题比较多，所以单独列出来 如数列 5，10 ，15，85，140，7085 如数列 5, ; 6, ; 19, ; ;17 , ; 344 , 55 如数列 5, 15, 10, 215，115 这种数列后面经常会出现一个负数，所以看到前面都是正数，后面突然出现一个负数，就 考虑这个规律看看 11 ）奇偶数分开解题，有时候一个数列奇数项是一个规律，偶数项是另一个规律，互相成干扰项 如数列 1, 8, 9, 64, 25 ，216 奇数位 1、9 、25 分别是 1、3 、5 的平方 偶数位 8、64 、216 是 2、4、6 的立方 先补充到这儿。 。 。 。 。 。 12) 后数是前面各数之各，这种数列的特征是从第三个数开始，呈 2 倍关系 如数列：1、2 、3、6、12 、24 由于后面的数呈 2 倍关系，所以容易造成误解！ 数字推理的题目就是给你一个数列,但其中缺少一项, 要求你仔细观察这个数列各数字之间的关系, 找出其中的 规律,然后在四个选项中选择一个最合理的一个作为答案. 数字推理题中对数列的敏感非常重要，下面共享几个比较常见的数列： 1. 1，1 ，2，6 ，24 ，120 2. 1，2 ，3，5 ，8，13 3. 1，2 ，4，7 ，11 ，16， 22 4. 1，2 ，5，14，41，122 5. 3，4 ，6，9 ，13 ，18， 24 6. 3，4 ，6，9 ，13 ，18， 24 7. 2，3 ，5，7 ，11 ，13， 8. 1，4 ，27，256 9. 2，3 ，5，7 ，11 ，13， 17 数字推理题型的 7 种类型 28 种形式 数字推理由题干和选项两部分组成，题干是一个有某种规律的数列，但其中缺少一项，要求考生仔细观察这 个数列各数字之间的关系，找出其中的规律，然后从四个供选择的答案中选出你认为最合适、最合理的一个，使 之符合数列的排列规律。其不同于其他形式的推理，题目中全部是数字，没有文字可供应试者理解题意，真实地 考查了应试者的抽象思维能力。 第一种情形-等差数列： 是指相邻之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。 、等差数列的常规公式。设等差数列的首项为 a1，公差为 d ，则等差数列的通项公式为 an=a1+(n-1)d (n 为自然数)。 例 11，3，5，7，9 ， （ ） A.7 B.8 C.11 D.13 解析 这是一种很简单的排列方式：其特征是相邻两个数字之间的差是一个常数。从该题中我们很容易发现相 邻两个数字的差均为 2，所以括号内的数字应为 11。故选 C。 、二级等差数列。是指等差数列的变式，相邻两项之差之间有着明显的规律性,往往构成等差数列. 例 2 2, 5, 10, 17, 26, ( ), 50 A.35 B.33 C.37 D.36 解析 相邻两位数之差分别为 3, 5, 7, 9, 是一个差值为 2 的等差数列,所以括号内的数与 26 的差值应为 11,即括号内的数为 26+11=37.故选 C。 、分子分母的等差数列。是指一组分数中，分子或分母、分子和分母分别呈现等差数列的规律性。 例 3 2/3，3/4，4/5，5/6 ，6/7 ， （ ） A、8/9 B、9/10 C、9/11 D、7/8 解析 数列分母依次为 3，4 ，5 ，6，7；分子依次为 2，3，4，5，6，故括号应为 7/8。故选 D。 、混合等差数列。是指一组数中，相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。 例 4 1，3，3，5，7 ，9，13，15， ， （ ） ， （ ） 。 A、19 21 B、19 23 C、21 23 D、27 30 解析 相邻奇数项之间的差是以 2 为首项，公差为 2 的等差数列，相邻偶数项之间的差是以 2 为首项，公差 为 2 的等差数列。 提示：熟练掌握基本题型及其简单变化是保证数字推理题不丢分的关键。 第二种情形-等比数列：是指相邻数列之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。 5、等比数列的常规公式。设等比数列的首项为 a1，公比为 q(q 不等于 0)，则等比数列的通项公式为 an=a1q n- 1(n 为自然数)。 例 5 12，4，4/3，4/9 ， （ ） A、2/9 B、1/9 C、1/27 D、4/27 解析 很明显，这是一个典型的等比数列，公比为 1/3。故选 D。 6、二级等比数列。是指等比数列的变式，相邻两项之比有着明显的规律性，往往构成等比数列。 例 6 4，6，10 ，18，34 ， （ ） A、50 B、64 C、66 D、68 解析 此数列表面上看没有规律，但它们后一项与前一项的差分别为 2，4 ，6，8，16，是一个公比为 2 的等 比数列，故括号内的值应为 34+162=66 故选 C。 7、等比数列的特殊变式。 例 7 8，12， 24，60， （ ） A、90 B、120 C、180 D、240 解析 该题有一定的难度。题目中相邻两个数字之间后一项除以前一项得到的商并不是一个常数，但它们是 按照一定规律排列的：3/2，4/2，5/2，因此，括号内数字应为 606/2=180 。故选 C。此题值得再分析一下， 相邻两项的差分别为 4，12，36，后一个值是前一个值的 3 倍，括号内的数减去 60 应为 36 的 3 倍，即 108， 括号数为 168，如果选项中没有 180 只有 168 的话，就应选 168 了。同时出现的话就值得争论了，这题只是一 个特例。 第三种情形混合数列式：是指一组数列中，存在两种以上的数列规律。 8、双重数列式。即等差与等比数列混合，特点是相隔两项之间的差值或比值相等。 例 8 26，11，31，6，36 ， 1，41 ， （ ） A、0 B、-3 C、-4 D、46 解析 此题是一道典型的双重数列题。其中奇数项是公差为 5 的等差递增数列，偶数项是公差为 5 的等差递 减数列。故选 C。 9、混合数列。是两个数列交替排列在一列数中，有时是两个相同的数列（等差或等比） ，有时两个数列是按不同 规律排列的，一个是等差数列，另一个是等比数列。 例 9 5，3，10 ，6 ，15 ，12， （ ） ， （ ） A、20 18 B、18 20 C、20 24 D、18 32 解析 此题是一道典型的等差、等比数列混合题。其中奇数项是以 5 为首项、公差为 5 的等差数列，偶数项 是以 3 为首项、公比为 2 的等比数列。故选 C。 第四种情形四则混合运算：是指前两（或几）个数经过某种四则运算等到于下一个数，如前两个数之和、之差、 之积、之商等于第三个数。 10、加法规律。 之一：前两个或几个数相加等于第三个数，相加的项数是固定的。 例 11 2，4，6，10，16 ， （ ）A、26 B、32 C、35 D、20 解析 首先分析相邻两数间数量关系进行两两比较，第一个数 2 与第二个数 4 之和是第三个数，而第二个数 4 与第三个数 6 之和是 10。依此类推，括号内的数应该是第四个数与第五个数的和 26。故选 A。 之二：前面所有的数相加等到于最后一项，相加的项数为前面所有项。 例 12 1，3 ， 4， 8，16， （ ） A、22 B、24 C、28 D、32 解析 这道题从表面上看认为是题目出错了，第二位数应是 2，以为是等比数列。其实不难看出，第三项等 于前两项之和，第四项与等于前三项之和，括号内的数应为前五项之和为 32。故选 D。 11、减法规律。是指前一项减去第二项的差等于第三项。 例 13 25，16，9，7 ， （ ） ， 5 A、8 B、2 C、3 D、6 解析 此题是典型的减法规律题，前两项之差等于第三项。故选 B。 12、加减混合：是指一组数中需要用加法规律的同时还要使用减法，才能得出所要的项。 例 14 1，2，2，3，4 ，6， （ ） A、7 B、8 C、9 D、10 解析 即前两项之和减去 1 等于第三项。故选 C。 13、乘法规律。 之一：普通常规式：前两项之积等于第三项。 例 15 3，4 ， 12，48， （ ） A、96 B、36 C、192 D、576 解析 这是一道典型的乘法规律题，仔细观察，前两项之积等于第三项。故选 D。 之二：乘法规律的变式： 例 16 2，4，12，48， （ ） A、96 B、120 C、240 D、 480 解析 每个数都是相邻的前面的数乘以自已所排列的位数，所以第 5 位数应是 548=240。故选 D。 14、除法规律。 例 17 60，30，2，15 ， （ ） A、5 B、1 C、1/5 D、2/15 解析 本题中的数是具有典型的除法规律，前两项之商等于第三项，故第五项应是第三项与第四项的商。故 选 D。 15、除法规律与等差数列混合式。 例 18 3，3，6，18 ， （ ） A、36 B、54 C、72 D、108 解析 数列中后个数字与前一个数字之间的商形成一个等差数列，以此类推，第 5 个数与第 4 个数之间的商应 该是 4，所以 184=72。故选 C。 思路引导：快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设 延伸到下面的数。如果假设被否定，立刻换一种假设，这样可以极大地提高解题速度。 第五种情形平方规律：是指数列中包含一个完全平方数列，有的明显，有的隐含。 16、平方规律的常规式。 例 19 49，64，91， （ ） ，121 A、98 B、100 C、108 D、116 解析 这组数列可变形为 72，82，92， （ ） ，112，不难看出这是一组具有平方规律的数列，所以括号内的 数应是 102。故选 B。 17、平方规律的变式。 之一、n2-n 例 20 0，3，8，15，24， （ ） A、28 B、32 C、35 D、40 解析 这个数列没有直接规律，经过变形后就可以看出规律。由于所给数列各项分别加 1，可得 1，4，9，16，25，即 12，22，32，42，52 ，故括号内的数应为 62-1=35，其实就是 n2-n。故选 C。 之二、n2+n 例 21 2，5，10，17，26 ， （ ） A、43 B、34 C、35 D、37 解析 这个数是一个二级等差数列，相邻两项的差是一个公差为 2 的等差数列，括号内的数是 26=11=37。如将所给 的数列分别减 1，可得 1，4，9， 16，25，即 12，22 ，32，42，52，故括号内的数应为 62+1=37， ，其实就是 n2+n。故选 D。 之三、每项自身的平方减去前一项的差等于下一项。 例 22 1，2 ， 3，7，46， （ ） A、2109 B、1289