以“类型+方法”夯实基础+++用“模式+变式”训练能力

以“类型+方法”夯实基础 用“模式+变式”训练能力 西北师大附中 蒋永鸿 讲座提纲： 一考纲解读 1考基础，突出主干内容 2考能力，突出思想方法， 3考素质，突出应用创新 二命题分析 1高考命题，以纲为纲 2高考命题，以本为本 3高考命题，以考为考 三复习建议 1抓课本题，深化知识基础 2抓典型题，强化解题能力 3抓易错题，优化思维品质 （以“类型+方法”夯实基础，以“模式+变式”训练能力，以 “小题+大题”破解难题，以“问题+专题”提升素质） 四答卷提示 1审题与解题关系 2会做与得分关系 2 3快速与准确关系 4难题与容易题关系 3 一考纲解读 高考考什么，简单的说，就是考数学的基础知识，思想方法， 能力素质。是如何体现的呢？ 1.1 考基础知识，突出三个重点 加强对课本内容的考查 课本是学习的依据，也是考试命题的依据，虽说这几年的高考 命题把能力的考查放在首位，但对基础知识的考查始终未放松，而 且突出了对课本内容的考查，一是注重课本知识的内在联系和思维 过程，强调知识的之间的交叉、渗透和综合，二是体现在试题中始 终有一定数量的课本类型题，导向着中学的数学教学。 加强对新增内容的考查 “简易逻辑”-主要起到语言和工具性作用，与不等式知识 和集合内容联合命题， “空间向量”- 选学内容，一道试题用两方法。或两道试题选 一法，传统方法，空间向量方法。 平面向量-用选择、填空题体现基础性，考查基本概念、基本 运算，用解答题体现工具性，与解析几何、三角函数整合 线性规划-属课本要求层次，考简单运算与应用。 概率统计-稳定于两小一大，侧重于分布列与数学期望，名 为考查概率，实为考查排列组合知识 4 极限导数-用小题考查基础：极限与连续，导数与切线方程， 用解答题考查综合：以函数问题为背景，或含参问题的讨论，或不 等式的证明，或求单调性，或求最值， 加强对重点内容的考查 函数和导数- 占分比例大：用选择填空题考查函数的图象、性质，反函数，函数 的极限、函数的连续、导数的几何意义等； 突出综合性：统揽各种知识，综合各种方法，运用各种能力； 考查思想方法：函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论的思想， 有限与无限的思想等。 数列- 突出理性思维：以等差、等比数列的性质， 等关系为基1nnSa 础，通过抽象思维和逻辑思维考查创新能力。 突出思想方法：以选择填空题为依托，考查函数与方程，数形结合， 特殊与一般，有限与无限， 突出实际应用：以生活实际为背景，创设问题情景，或求通项，或 求前 n 项和。举例：.)2(,)1(: ,2,1. aSnSSnannn 是 等 比 数 列数 列证 明 ， 已 知项 和 记 为的 前数 列 5 nnnn aaaaa ， 则满 足已 知 数 列 )2()1(32,1.21),(31n nnSSb对 任 意 点 （ 是 前 项 和 ，的 等 比 数 列 ，为 首 项 为是 公 比 A.在直线 y=ax-b 上 B.在直线 y=bx+a 上 C.在直线 y=bx-a 上 D.在直线 y=ax+b 上 4已知 则 的最大项是:),(1562Nnan na 5 的 最 大 项 和 最 小 项求已 知 nna,43 不等式- 体现基础性：用选择填空题考查不等式的性质，解法，及简单应用， 突出综合性：与函数，导数、数列等知识的综合，与实际问题的结 合，多种能力的整合，属知识网络交汇处， 考查灵活性：不等式问题的综合性也使问题的解决涉及较多的方法， 运用较多的数学思想，使问题的求解有较大的灵活性.举例: 域 能 否 都 是 实 数） 该 函 数 的 定 义 域 与 值（ 试 求 实 数 的 取 值 范 围） 若 该 函 数 的 值 域 为 ，（ ， 试 求 实 数 的 取 值 范 围） 若 该 函 数 的 定 义 域 为（ 已 知 函 数321),2lg()2mxxf 的 取 值 范 围 是 ：则满 足正 实 数 abab,3,. 糖 的 方 式 哪 一 种 合 算 ？买 白 糖 ， 试 问 这 两 种 买乙 每 一 次 只 拿 一 元 钱 来 千 克 ，样 ， 甲 总 是 每 一 次 买 一他 们 的 购 买 方 式 又 不 一白 糖 的 价 格 是 变 化 的 而 铺 去 买 两 次 白 糖 ， 假 设里 ， 总 是 相 约 到 一 家 小甲 ， 乙 两 人 在 每 一 个 月 三角函数- 6 一个重点：图象与性质， ，)sin(xAy 一个关键：三角变换，求值，化简， 一个方法：三角代换， 一个思想：方程的思想，化归为方程问题。 例 1:已知锐角三角形 ABC 中, 求证:,51)sin(,53)sin(BA tanA=2tanB,设 AB=3,求 AB 边上的高.(2004) 立体几何- 稳定于两小一大，选择填空题，以“双基内容”为基础，或考判断， 或考运算，以画图、想图为核心、与平几知识结合，解答题，以多 面体为依托，或考平行、垂直关系的证明，或考角、距离、体积的 计算，以空间想象能力为核心，与运算能力，思维能力相结合， 立足于两种方法，传统方法：重点考查识图、画图、添加辅助线等 形式表现出来的空间想象能力，以及使用演绎法进行逻辑推理的思 维能力，向量法：以空间坐标系的形式考查空间想象能力，以坐标 运算的形式考查逻辑推理能力。 解析几何- 突出基本内容：基本概念，基本元素，基本关系， 突出运算能力：用“定义”简化，用向量简化，用“模块”简化， 突出思想方法：解析几何的基本思想，函数与方程思想，数形结合 思想，特殊与一般的思想等， 7 1.2 考思想方法，突出三个层次 数学思想方法是对数学知识的本质的认识，是对数学规律的理 性认识，是从具体的数学内容和对数学本身的认识过程中提炼上升 的数学观点，是从数学的角度提出问题，解决问题的过程中所采用 的各种策略、手段、方式和途径 。是数学知识在更高层次上的抽 象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，是策略性 知识。 12 1 数学中的技巧性方法 特点：数学方法的第一层次，指与某些特殊问题联系在一起， 在某种特定的情景下才能发挥作用，有固定的操作程序的方法。我 们将其称之“解题术”或者解题技巧， 内容：求函数最值的“判别式法” ，比较两个数大小的“差 值比较法“，证明三点共线的“面积法” 、代入法、消元法、换元 法、配方法、三角代换法、坐标法、数学归纳法、待定系数法、反 证法、割补法等 12 2 数学中的逻辑性方法 特点：数学方法的第二层次，指解决某一类问题时可以采用 的共同思维方法，它不仅适用数学内容，而且更具一般性，操作性 因题而异，操作程序不是非常具体，但适用范围比较广泛，它们是 数学考查中理解、思考、分析与解决问题的普通方法。 8 内容：分析与综合，归纳与演绎，观察与实验，比较与类比， 具体与抽象， 12 3 数学中的思想性方法 特点：数学方法的第三层次，数学思想，这是人类对数学的 概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识，它虽然程序 性弱，但功能性强，在具体的数学认知活动中，起着定向、控制和 调节的作用，是提高数学活动的自觉性、正确性、速度和效率的保 证。思想是对知识融会贯通的理解和升华，有思想的知识才是具有 自我生成能力的知识， 内容： 函数与方程思想：所谓方程思想就是突出研究已知量与未知量之 间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组达到求值的目的。 所谓函数思想就是通过构建函数关系，产生使用函数方法来解决问 题的思路。 数形结合的思想：数学研究的对象是数量关系和空间形式，在 一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，在二维空间， 实数对与坐标平面上的点建立了一一对应的关系进而可以使函数解 析式与函数图象、方程与曲线建立起一一对应关系，使数量关系的 研究可以转化为图形性质的研究，图形性质的研究转化为数量关系 的研究，这种解决数学问题的策略就是数形结合思想。 9 分类与整合的思想：从所研究的具体问题出发，选取恰当的分 类标准，然后根据对象的属性把他们不重不漏的划分为若干类，对 事物进行分类研究，当分类解决完之后，把他们综合到一起的方法。 体现了由大化小，由整体化部分，由一般化特殊解决问题的方法， 侧重于考查思维的严谨性和周密性。 化归与转化的思想：所以化归与转化的思想是指在研究解决问 题时采用某种手段将问题通过变换使之转化进而使问题得到解决 的一种策略，复杂问题化归为简单问题，较难问题化归为容易问题， 未解决问题化归为已解决的问题，一般与特殊的转化，繁与简的转 化，构造转化，命题的等价转化。 一般与特殊的思想：人们对一类新事物的认识往往是从这类事 物的个体开始的，通过对某些个例的认识与研究，逐渐积累对这类 事物的了解，逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规 律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，由实践 到理论，这种认识事物的过程就是特殊与一般的思想。特殊化方法： 构造特殊函数，特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊 值， 特殊方程等，研究解决一般问题，抽象问题，运动变化的问 题，不确定的问题等， 有限与无限的思想： 或然与必然的思想： 10 1.3 考能力素质，突出三种题型 高考数学，不仅要考查出考生数学知识的积累是否达到进入高 校学习的基本水平，而且要考查出是否具备了进入高校继续学习的 潜能，所以，命题突出以能力立意，注重知识的综合性与灵活性， 在高考命题的设计与改革的实践中，逐步形成“五化”趋势： 高等数学初等化： 在高数与初数的衔接点上命题，在初数向高数的延伸点上命题， 在初数中运用的高观点上命题，在新增内容的高数点上命题。 学科问题综合化： 学科内知识的综合，在体现多种数学知识的交汇点上命题； 学科内方法的综合，在体现多种数学方法、数学思想应用的融 会点上命题； 学科内能力的综合，在体现运用多种数学能力的问题点上命题； 跨学科知识的综合，在体现数学与其他学科知识的整合点上命 题。 1今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物 体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果和的一半就是物体的真实重量，这种说法对 吗？并说明你的结论。 分析：这是一道以物理知识为背景的应用题，求解的关键是利用杠杆平衡的原理： ,杠杆平衡，力矩相等。力 矩力 臂力 解答 如图，设物体的实际重量为 M,天平两力臂的长分别为 a,b,两次称量的结果分别为 11 P,Q,则： PQMabQP 2 的 大 小 关 系 是 ：， 则是 锐 角 三 角 形 的 两 内 角又 上 是 减 函 数 ，在且满 足上 的 偶 函 数定 义 在 )(cos),(sin, 8,91)( ffxxfR ， 内容形式创新化： 立意的确定要突出能力和素质，融知识、能力、素质于一体， 情景的创设要力求新颖和公平，融探究、实践、创新于一体， 设问的角度要体现美感和灵感，融情感、态度、价值于一体。 实际问题数学化： 关注生活，关注热点，发挥教育功能； 应用模型，建立模型，强化应用意识； 分析问题，解决问题，活用思想方法。 课题研究试题化： 增添附加题，检测课题研究的学习成果； 设计压轴题，检测动手操作的实践能力； 加重应用题，检测知识应用的创新意识。 3综合题 所谓综合题，是将知识、方法、与能力有机的融为一体，这种 综合题往往有一定的难度。是高考卷中的把关题和压轴题。 12 特点：知识容量大，解题方法多，能力要求高，凸显数学思想 方法的运用，体现一定的创新意识。简单题+简单题= 难题，压轴 题由重点考点与热点考点交汇而成。 解法：审题时要把好三性：目的性（盯住目标） ，准确性（准 确把握基础知识） ，隐含性（挖掘隐含条件） ，分析时注意三化：具 体化，简单化，和谐化，表述时注意三变：语言的变换，概念的变 换，数形的变换， 的 方 程， 求 椭 圆 的 方 程 和 直 线值 为已 知 线 段 的 长 度 的 最 大 相 切 ，心 半 经 等 于 短 轴 长 的 圆两 点 ， 且 与 以 原 点 为 圆） 设 直 线 与 椭 圆 相 交 于（ ） 求 椭 圆 的 离 心 率 ，（ ，的 最 大 值 为 是 椭 圆 上 任 意 一 点 ，的 焦 点 为： 设 椭 圆题 42132,)0(12 212PFPFbayx 分析: 小题 1:在所给条件下, 求椭圆的离心率,( 考查椭圆的定义和性质) 小题 2:求函数 的最大值.9)1(6)(22kky求 两 交 点 的 距 离 。 切 ，半 经 等 于 短 轴 长 的 圆 相点 ， 且 与 以 原 点 为 圆 心： 直 线 与 椭 圆 相 交 于 两小 题 3 的 最 小 值求若设 求设的 表 达 式 ，求，的 个 数 为 的 函 数 值 的 所 有 整 数 值时当： 设 二 次 函 数题 lZlTbbTngbSaaaS ngxfNxxf nnn n),(,2)()3( )1( ,)(32)1( )(1,221431 22 13 分析:考查内容: 二次函数在给定区间上的最值的求法及连续性;有自 然数 n 到自然数 m,之间整数的个数, 分类讨论数列的求和问题, 等差 数列的求和公式,错位相减法求和 ,恒成立问题转化为最值问题 . 题 3：已知等比数列 的各项为不等于 1 的正数，数列 满足nx ny2,18),0(,2log63yaxyna （1）数列 的前多少项的和最大，n （2）是否存在自然数 M 使得 nM 时， 恒成立，若存在求出1nx 相应的 M,若不存在请说明理由 (3) .,),12(log1的 大 小试 比 较 nnxn aNa 4ABC 的三边分别为 a,b,c,且 c=10, ,P 为 ABC 内34cosabBA 切圆上的点，求 P 点到 A,B,C 的距离的平方和的最大值和最小值。 3创新题 特点：立意新,突出对多种数学能力的考查，增加对学习潜能的考 查，体现对非智力因素的考查，强化对代数推理能力的考查; 情景新,体现跨越学科的知识融合, 凸现情景新颖的数学应用 ,展 现自主创新的空间世界, 表现能力立意的课改特点; 以高等数学的知 识为背景，以高等数学的思想、方法、形式为背景，以著名的数学 问题为背景。涉及的问题往往是数学的某一分学科发展初期比较核 14 心的问题，或某一分支中比较著名的问题这些问题反映该分支的思 想方法，另外是高等数学中与初等数学比较靠近的内容，如凹凸性， 不动点原理，压缩映象原理等。 设问方式新,开放条件，由具体到抽象，考查问题的深刻性； 探索结论，由填空到构造，考查能力的综合性；迁移信息，由平面 到空间，考查思维的发散性。 能力要求高，试题的情境陌生，设问新颖灵活，引导学生自我 探索，独立的解决问题；在考查学科能力的同时要考察一般能力， 如注意力、观察力、思维力，尤其是理解能力，学习能力，对信息 进行加工 的能力，从学生学习潜能的角度进行测试；在试题的设 计上，注意引导学生自己探索问题的结论，结论是开放的，需要考 生自己通过观察、分析、归纳、概括，作出科学的判断； 求解思路活，在试题的解答上体现多层次，多方位，多角度的 解决问题，有利于创造性的去解决，能够体现思维的深刻性，多样 性，判断性，或类比、或猜想、或构造，给考生一个展示才华的机 会，给学生一个创新的天地，体现出部分学生解法上的新颖和创造 精神 举例：1995 年第 25 题的背景是 “琴生不等式 ”，第 26 题的背 景是平面区域的“映射变换” ， 1996 年第 23 题的背景是 “契比雪夫多项式的马尔科夫定理 ”， 15 1997 年的 21 题的背景是“递归数列以不动点为极限的条件” ， 2002 年文科 的三角形剪拼题，考察学生动手动脑的能力，研 究性学习的能力， 21203:,(0),PNPNxyCabMkkAM（ 上 海 ） 已 知 椭 圆 具 有 性 质 ：若 、 是 椭 圆 上 关 于 原 点 对 称 的 两 点 ， 点 是 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 当 直 线 PM、 N的斜 率 都 存 在 时 ， 那 么 ，是 与 位 置 无 关 的 定 值 。 试 对 双 曲 线 写 出 具 有 类 似 特 征 的 性 质 并 加 以 证 明 。203.ACB（ 新 课 程 ） ： 在 平 面 几 何 里 有 勾 股 定 理 ： 设 BC的 两 边 A、 互 相 垂 直 ，则 拓 展 到 空 间 、 类 比 平 面 几 何 的 勾 股 定 理 ， 研 究 三 棱 锥 的侧 面 积 与 底 面 面 积 的 关 系 ， 可 以 得 出 的 正 确 结 论 是 ： 已知命题：椭圆的两个焦点为 ，椭圆上任意一点 Q，从任一焦12,F 点向 的顶点 Q 的外角平分线引垂线，垂足为 P，则点 P 的轨12F 迹为圆（除两点） ，类比联想上述命题，将“椭圆”改为“双曲线” ， 则有命题： 10121290,(,),1.nnaaNbabc （ 上 海 ） 中 ， 若 则 有 等 式 ： 成 立 ， 类 比 上 述 性 质 ，相 应 地 ： 在 等 比 数 列 b中 ， 若 =， 则 有 等 式 成 立 。课 本 习 题 ： a+设 、 是 两 个 实 数 ， 求 证 ： 若 则对 于 三 个 数 、 、 是 否 存 在 着 类 似 的 结 论 ？ 16 3应用题 考查应用意识也是高考命题改革的方向之一，这些年来进行 了大量的探索，从解答题到选择题，填空题，从一般应用到真实性 应用问题，从传统内容到新增内容，改革取得了不小的进展。 特点：题目有一定的实际背景，数学化程度和文字表述都比较 新颖，其目的在于考查学生把实际问题抽象成数学问题的能力，培 养考生把数学知识应用到生产、生活实际的应用意识，考查学生的 阅读理解能力，考查数学语言。 类型：与函数、方程、不等式有关的应用题；经常涉及到路程、 速度、物价、产量、人口、土地、产值等实际问题，也涉及长度、 角度、面积、体积等几何量；与数列有关的应用题，经常涉及到产 量，产值，利息等；与三角函数有关的问题，涉及建筑、物理量等； 与空间图形有关的问题，如空间观测地球经纬度等；与直线和圆锥 曲线有关的问题，如人造卫星，桥梁等。 17 解法：阅读-转化- 求解-作答 阅读：文理：明确字、词、句的准确含义；事理：想清楚是怎么 会事；数理：如何表征为数学的符号、数式、模式、关系。 2命题分析 2.高考题以纲为纲： 考试大纲就是对考什么、考多难、怎样考这 3 个问题的具 体规定和解说。对考试大纲的解读: （1） 对知识点要求的解读， 明确知识点的要求层次,第一层次，了解- 要求对所到知识内 容有初步的、感性的认识，知道有关问题，并能在有关问题中直接 应用。第二层次，理解和掌握-要求对所列知识内容有较深刻的理 性认识，能够解释、举例或变形，推断并能利用知识解决有关问题。 第三层次，灵活和综合运用-要求系统地掌握知识的内在联系，能 运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。 按要求层次进行复习,在有限的时间内突出重点, 如对函数,数列, 不等式, 平面向量 ,圆锥曲线 ,概率,立体几何,导数都提出较高要求,必 是重点和热点, 是解答题的命题对象 , （2）对能力点要求的解读 数学科考试着重考查思维能力，运算能力，空间想象能力，实 践能力，和创新意识， 18 思维能力：思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、知 觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等 对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断的 能力，表现为会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象 概括；会用类比、归纳、和演绎进行推理；能合乎逻辑的、准确地 进行表述，高考的侧重点是： 演绎推理能力：从定义、定理、出发进行分析、推理、论证的 能力； 归纳推理的能力：是一种由旧事物发现新事物的推理方法，含 有创造力的成分。 类比推理能力： 直觉思维：是指不受固定的逻辑规则的约束，直接领悟事物本 质的一种思维方式，以选择、填空题为主，在试题的设计上，往往 从多种方法，多个角度来考虑给学生提供较为广阔的思维空间。以 便以解答时间的长短来衡量考生的思维水平。 数学语言：语言是思维的载体，数学语言是数学特有的形式化 符号体系，包括文字语言，符号语言，图形语言，高考要求考生能 根据实际情况进行三种语言的转换，一是读懂题目的叙述，二是能 清楚、准确、流畅地表达解题过程。 运算能力：表现为会根据法则、公式、进行正确运算、变形和 19 数据处理；能根据问题的条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径； 能根据要求对数据进行估计和近似计算，要求：运算的合理性；运 算目标的确定，运算途径的选择，运算依据的思考，运算的准确性， 概念准确无误，公式准确无误，法则准确无误，运算的熟练性，多 一点思考，多一次机会，熟能生巧，多一种方法，多一种选择，熟 能生“快“，多一次练习，多一分成功，熟能生“准“，运算的简 捷性，运算路径短，运算步骤少，运算时间省，突出概念的灵活应 用，公式的恰当选择，思想方法的合理使用， 空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，能根据图形想象 出直观形象，能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，能对 图形进行分解、组合与变换，会运用图形与图表等手段形象的揭示 问题的本质。 实践能力：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题， 包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题，能理解对问题 陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实 际问题抽象为数学问题 ， 数学模型；应用相关的数学方法解决问 题并加以验证并能用数学语言正确地表述和说明，实践能力是将客 观事物数学化的能力。 创新意识：表现为对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方 法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法， 20 进行独立地思考、探究和研究，提出解决问题的思路，创造性地解 决问题。 （3）对样题的解读, 通过样题的解读，能沟通考纲和考题的之间的联系,更准确的把 握考点的要求层次,更有效地发现命题规律 ,数学有很强的概念性， 特有的思辨性，突出的量化性，解法的多样性，是数学的重要特点， 所以数学题要充分的体现这一特点，如何体现这一特点呢？ 在各 知识点的内在联系上设计题目，突出对多个知识点的综合考查；在 各知识点的本质特征上设计题目，突出对基本内容理解的深度和广 度的考查；在各种知识点的纵横关系上设计题目，突出对思维的多 端性的考查；在学生常犯错误的背景上设计题目，突出对思维优良 品质的考查；在解题的技巧和方法上设计题目，突出对学生的思维 层次的考查。 2 高考题以本为本： 高考命题遵循一个原则：“题在书外，理在书中”，“贴近课 本，有所变通，难易适度，富有新意”， 课本能为创设数学问题、 有效考评学生提供丰富的素材；同时命题以知识为基础，贴近教材， 体现了对全体考生的公平、公正原则， 纵观历年的高考试题，不 难发现其与课本习题有着密不可分的联系，有些高考题就是课本习 21 题；有些高考题是课本习题的新排列与重组合，总可以从课本习题 中找到“原型”和“影子”；有些高考题可利用课本习题的结论找 到求解的捷经。高考题虽植根于课本却活于课本，高于课本，是从 课本习题的内容和方法出发，在数学概念和方法的内涵与外延上去 挖掘；是从课本知识结构的整体出发，在知识运用的灵活性和综合 性上去运筹；是从吸取课本习题的思想、规律出发，在分析问题， 解决问题的能力上去追求。 高考题以考为考： 每年的高考命题，总会参考历届的高靠试题，既要避免雷同， 又不回避重点，既要充分体现考试说明的具体要求，又要保证试题 的相对稳定，研究与参考历届的考题是必不可少的，考竞赛题，随 着高考的改革，对考生能力的要求越来越高，为了使出类拔翠者脱 颖而出，对研究性学习进行有效的导向，有些高考题以数学竟赛题 为背景，而数学竞赛题，常常以高等数学知识为背景设计问题，知 识的深度向竞赛内容延伸，如对函数周期性的考查，试题的难度向 竞赛试题靠近，试题的解法向竞赛题借鉴，如构造、类比、创新。 重点内容常考不懈， 3备考建议 第一阶段的复习是把知识细化，拓宽知识点，把书念厚，第 22 二阶段把方法优化，提炼方法点，把书读薄，第三阶段，把素质升 华，聚焦能力点，把书学“丢” 。 研究高考和课本的关系就会发现，课本的例习题与高考题有 着很大的差别，一是知识理解的深度不够，课本题大都是概念、公 式的简单应用，没有体现出高考的深度和难度，二是问题的类型不 够，高考所要求的数学题的类型，特点，及解答方法，在课本中体 现的很少，甚至未涉及到，三是对数学的思想方法论述不够，课本 以渗透的方式的体现，没有做详细的论述和介绍，与高考的要求有 一定的距离，所以，高考复习的第一阶段就要按考纲的要求，把知 识细化，加大理解的深度，把方法拓宽，加强练习的难度，一句话， 按高考的要求，把知识、方法、类型，加多，加深、加宽，把书念 厚。 常庚哲先生在通过问题学解题一书的序言中说道“学习 数学，主要是学习解决由他人提出并已有答案的问题；而独立从事 数学研究的阶段，则是试图解决自己提出的或是由他人提出但至今 还没有答案的问题”，可以说通过解决问题学解题，这是由数学学 科本身的学习特点所决定的，因为“问题是数学的心脏”（美国著 名数学家 PRHalmos 语）。但是要想在较短的时间里提高做题 的效益就得要化更多的时间去思考，去分析，去归纳解题的方法与 规律。要特别重视错题改正工作，注意从所做的习题中找出解答同 23 类题目的最简捷方法和最直接思路，从错误中找到经验与教训，同 时注意提高做题的质量而不是单纯地追求做题的数量。所以在高考 复习的第二阶段， 31 以课本题为基础，深化理解，强化双基, 理清考点:对照书本解读考纲,查漏补缺,强化重点, 理清关系:对主干考点,进行知识结构的重组,建立相互之间的内在联 系, 31 1 返朴归真找方法，抓定义解题 等差,等比数列的定义（从定义中找方法） 函数奇偶性的定义（从定义中找归律） 圆锥曲线的定义（从定义中找关系） 异面直线所成角的定义等（从定义中找根据） 1 2 26506910yxyx29一 动 圆 与 圆 外 切 ， 同 时 与 圆 内 切 ，求 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 ， 并 说 明 它 是 怎 样 的 曲 线 ？ （ 第 二 册 上 ， P例 ） 2斜率为 1 的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交于24yx A、 B 两点，求线段 的长。 （ ）AB18P例 3 3在相距 1400 的两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差 3，且声速是 340，求炮弹爆炸点的轨迹方程.（ ）. 1086p 31 2 改头换面，找新意， 抓变式训练 题 1：n 有条直线，任何两线不平行，任何三线不共点，证明交点 24 的个数 f(n)= . 2)1(n 思考 1：这种相交方式是不是交点个数最多的情况？ 思考 2：如果没有告诉结论那么结论将任何推出？ 思考 3：如果将问题变为满足条件的条直线相交把平面分成多少部 分？类似的问题又将任何解？ 思考 4：空间内有 n 个平面，其中任何两个不平行，任何三个不共 线，那么，这 n 个平面把空间可分成多少个部分？ 思考 5：平面内有 n 个圆，其中任何两个都相交于两点，任何三个 都不相交于同一点，那么，这 n 个圆把平面分成多少部分？ 思考 6：球面上任给 n 个大圆，其中任意三个大圆不相交于一点， 那么这 n 个大圆把球面分成多少个部分？ 思考 7：生活情景：一个烧饼用刀去分，切七刀，最多能分成多少 快？ 题 3：（ 例 1）已知 E、F、G 、H 分别是空间四边形 ABCD 的四2P 边 AB、BC、CD、DA 的中点，求证四边形 EFGH 是平行四边形. 25 将结论改为：设 AC=a, BD=b,求 的值。2HFEG 已知 E、H 分别是空间四边形四边 ABCD 的边 AB、 DA 的中点， F,G 为 BC、CD 上的点，且 CF:FB=CG:GD=2:3,求证四边形 EFGH 是梯形 . 如图，E、F、G、H 分别 AB,BC,CD、DA 四边的中点,ACBD. 求证:EFGH 是矩形. 已知 E、F、G、H 分别为空间四边形 ABCD 四边 AB、BC、CD、DA 上的点， ， ，根据1HDAEB2GCFB 与 的关系，判断四边形 EFGH 的形状.12 若平面 EFGH 平行于 BD、AC ，AC、BD 的长为定值，所成的 角为定植，求四边形 EFGH 面积的最大值 31 3 剥蚕抽丝找规律，抓公式定理解题 课本中有许多题设、结论、数字特征、求解方法等方面有共性 的例习题，把这些类同的问题、相关的问题、相似的问题“集合排 队” ，在异同的比较中理清关系，在共性的探索中抓住规律，在差 别的分析中明确特征，从而使不同的问题有相通的解法，不同的方 法有同一的用法，不相关的知识有相关的联系。 举例 1：三棱锥的顶点在底面上的射影问题 （ 复习参考题 A 组第 6 题）棱锥的底面是边长为 a 的等边三8P 角形，每条侧棱与底面所在平面所成的角都是 ，求它的高。 26 （ 例 3）已知球面上的三点 A、B 、C，且79P AB=6cm，BC=8cm,AC=10cm,球的半径为 13cm.求球心到平面 ABC 的距离. ( 例 1)已知正三角形 ABC 的边长为 6cm，点 O 到 ABC 各顶48P 点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的距离. （ 例 6）已知：在空间四边形 OABC 中，OABC,OBAC.34 求证：OCAB （ 复习参考题 B 组第 6 题）三棱锥的底面是两条直角边长分81P 别为 6cm 和 8cm 的直角三角形，各侧面与底面的所成角都是 60， 求棱锥的高. 通过分析,发现这几道例、习题, 虽然设问方式不同，求解的目标 也不同，但求解的关键点是共同的：确定棱锥顶点在底面三角形上 的射影的位置，有的是外心，有的是内心，有的是垂心， ，有的是 中心。正是靠联想这样的方式使学生发现了这些习题之间的相互联 系，从而使不同的问题有了相互的沟通，并且通过这一组类题的解 答，也使学生对问题所涉及的特殊关系有了比较系统而且完整的认 识。 举例 2:曲线系方程问题： 直线系（通过定点问题） ， （72 页 10 题）不论 m 为任何实数， 方程（3m+4 ）+(5-2m)y+7m-6=0 所表示的直线必通过一定点， 27 并求出这一点的坐标。 圆系（公共弦方程问题） 2230,301064xyxyx21.求 经 过 两 条 曲 线 交 点 的 直 线 方 程 。求 两 圆 的 公 共 弦 的 方 程 。(8页 4题 ， 7页 9题 ） 两条曲线的方程是 ，它们的交点是 求证12(,),(),fxyfxy0(,)Pxy 方程 的曲线也经过点。12(,)0fxy 椭圆系（证明两椭圆的四点共圆问题） ， 举例 3：正切的和角公式： 的应用tan1t)tan( 推导过程：正余弦的和差角公式，化弦为切的方法，转化的思想 结构特征：揭示 三者之间的关系，ta,tnta),tn( 公式变形 ，)tan(1tan),ta1)(tanttan （1）证明：（1+tanx）(1+tany)=2,其中 x+y= ;4 （2）求 ;)5ta1()tan1)(3t)(2tan1)(t( （3）在 ABC 是非直角三角形，证明： tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; （4）若 x+y+z=n,求证：tanx+tany+tanz=tanxtanytanz; （5）求证：tan(x-y)+tan(y-z)+tan(z-x)=tan(x-y)tan(y-z)tan(z-x); （6）tanAtanB1,判断 ABC 的形状等。 28 31 4殊途同归找妙法,优化解题方法 题 1( 习题 9.8 第 4 题)已知正方体 ABCD-EFGH 的棱长为 1，5P 求直线 EG 与 AH 的距离。 转化为求两条异面直线上任意两点间距离的最小值； 求两条异面直线的距离须先确定其公垂线； 求两条异面直线的距离可转化为求互相平行的线面之间的距离 用公式：d= 。cos22mnl 将问题转化为互相平行的平面间的距离， 转化为多面体的高， 用向量的方法求解 题 2 （ 习题）：一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它P80 和两个面所成的角都是 30，求这条线段与这个二面角的棱所成 的角。 用面面垂直的性质解；用取中点构造平行线解；用向量法解； 用空间直角坐标系解；用公式： 解；用公式：d=coscos21 解。cos22mnl 29 题 3：证明： ，1321 2nnnCC 方法 1，用关系： 1k 方法 2， “倒写相加法” ，关键：利用性质 ，mn1 11210 01()()()22.nnnnnnnnsCCss 方法 3，求导数的方法， 012112()nnnx nnCxx （ + 方法 4，数学归纳法， 兔子数列： ,1112nnaa 某人由楼下到楼上共有 13 个台阶，他可以一步上一个台阶，也可 一步上两个台阶，问从楼下到楼上有多少种不同的走法？ 32 以典型题为载体，强化方法, 理清题型,理清方法 典型问题求类化，数学题，浩如烟海，但类型有限，方法有 限，咬定典型题，穷根究底，探索解法，引申结论，迁移方法，抓 主关键，把握规律，举一反三，触类旁通，这样，才能使思维在解 决问题过程中表现出游刃有余，足智多谋的灵活。重点题的解法分 析，热点题的内含解析，疑点题的错因辨析，难点题的障碍剖析。 多角度、多方面探索问题的求解途径，多层次、多渠道建立它和其 它问题的紧密联系，适当的变换它的条件，它的结论，不论是“改 30 头换面”的等价变换，还是脱胎换骨的非等价变换，都会使学生， 打破“类型+方法” ，的定势，形成“模式+变式”的灵活，打破司 空见惯的“困境” ，开创柳暗花明的新境。 解题方法求优化。如今的高考命题 已步入科学化、规范化的 轨道，试题数量多，内容覆盖面广，思考方式活，解题入口宽，一 道题可以用多种方法求解，能从各种角度思考，如果思维缺乏应有 的灵活性，就会因拘泥于某一种思路而窒息，本来换种角度就可捷 足先登的问题，可能会因战略上执迷不悟的墨守成规而误入歧途， 如果方法单一就会吊死在一棵树上，本来一望而解的问题，可能会 因战术上老牛拉破车的“精研细算”而贻误战机，所以，只有靠优 化的解题方法去赢得足够的时间，才能减少会做而没时间做的遗憾， 只有靠优良的思维品质去寻求解题的捷经，才能在优胜劣汰的高考 场上脱颖而出，所以，就要通过多角度，多渠道的探索问题的各种 解法，通过优劣的比较，优化解题方法，多方位，多层面研究问题 的各种变化，各种联系，从而使思维有“由此及彼”的灵活， “小 中见大”的深刻。 解题过程求范化。不仅要分析思路的形成，更要诠释细节的完 整，忽视细节的处理，不注意过程的完整，常常是考试失分的原因； 不仅要突出方法的重要，更要强调反思的必不可少，只有引导学生 对解题的全过程进行回顾、反思，概括、总结，才能扩大解题的效 31 益，发挥典型题的巨大作用，让学生切实体会，审题与解题，思路 与细节，会做与得分，快速与准确的关系。 数学不是读会的，也不是听会的，是靠练习做会的，数学知识 的理解需要通过解题实践来内化，数学方法的掌握需要解题实践来 活化，数学能力的形成需要解题实践来升化，所以，动脑思考，动 手做题才是学数学的根本，学习数学就意味着善于解题， “课堂听 来终觉浅，绝知此事要实践” ，听老师讲，听懂，只是一种认同， 应该这样，常常会因“时过境迁”而“烟消云散” ，自己动手做， 是体验，才能彻悟，为什么这样，才能体会到，在前进的道路还会 有暗礁，还会有隐患，还会有看不见的艰难险阻，只有经历克服困 难的体验，才会有刻骨铭心的深刻，所以，只有通过自己的实践和 体验去完成解题过程，才能真正达到发展能力、开发智力的目的； 只有让学生经过问题解决与习题操练的解题活动，才能实现知识转 化为能力的目标；只有通过练习教师才能了解到学生的思维状态， 准确把握学生存在的具体问题，使得复习能有的放矢；只有通过练 习，才能使学生自诊出在知识理解的深度，方法运用的速度，问题 解决的效度等方面与目标要求的差距，补其所遗，救其所失。 一是以选择题、填空题为主的课堂定时练。高考题的求解，是 在指定时间内完成，与平时的做作业不同，决不能由马行缰，也与 平时的钻研不同，不能三天五日的思考，它要求应试者有训练有素 32 的敏锐观察与灵活思维，靠优化的方法，抢时间，争速度，出成绩， 所以，在平时，就要通过这种方式练速度。定内容，限时间，由漫 到快，由弱到强，由紧张到沉着，由完不成到完成，从而实现时间 把握上的大突破。 二是以解答题为主的课后探索练。如今的高考命题 已步入科 学化、规范化的轨道，试题数量多，内容覆盖面广，思考方式活， 解题入口宽，一道题可以用多种方法求解，能从各种角度思考，如 果思维缺乏应有的灵活性，就会因拘泥于某一种思路而窒息，本来 换种角度就可捷足先登的问题，可能会因战略上执迷不悟的墨守成 规而误入歧途，如果方法单一就会吊死在一棵树上，本来一望而解 的问题，可能会因战术上老牛拉破车的“精研细算”而贻误战机， 所以，只有靠优化的解题方法去赢得足够的时间，才能减少会做而 没时间做的遗憾，只有靠优良的思维品质去寻求解题的捷经，才能 在优胜劣汰的高考场上脱颖而出，所以，就要通过课后的探索性练 习，用足够的时间，特有的轻松，多角度，多渠道，的探索问题的 各种解法，通过优劣的比较，优化解题方法，多方位，多层面研究 问题的各种变化，各种联系，从而使思维有“由此及彼”的灵活， “小中见大”的深刻。 三是以试卷题为主的单元过关练。考试与平时的作业，练习不 同，有限定的时间，限定的内容，具有强大的测量功能，在高考的 33 复习中，每一章节的知识点、能力点、方法点是否达到规定的要求， 还存在哪些具体的问题，都需要做及时的检测，用试卷题这种特殊 的方式进行全方位的考察，既能使学生以高度的注意力，充分发挥 自己的能力，考出优异成绩，逐步适应考试。又能及时检测出教与 学的实际情况，为后一阶段的教学提供决策依据。 321 函数问题： 1函数的定义域，值域问题，解析式问题， 2函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性问题 3函数的图像问题 4常考函数: (定义域 ,值域,奇偶性, 单调性 ,对称性,最值) 二次函数问题：给定区间上的最值问题，用二次函数讨论二次方程 根的分布问题，二次不等式的解的问题。 绝对值函数 反比例型函数， dcxbay 对号函数问题 抽象函数问题 反函数问题 题 1：在 R 上的减函数 f(x)满足，当且仅当 34 12212112()01(),)().248()()().xMRfxf xfxxfxffxAA1- -1时 ， 函 数 值 的 集 合 为 ， ，且 又 对 中 的 任 意 都 有判 断 和 是 否 都 是 中 的 元 素 ， 并 说 明 理 由 ，（ ） 若 表 示 在 上 的 反 函 数 ， 则 f是 否 具 有 这 样 的 性 质 ： 题 2：点(2,1),既在 的图象上,又在其反函数的图象上，求bay a,b 的值 . 方法一：解方程组 （解出后互换）1(2)f 方法二：解方程组 （直接互换）()2f 方法三：把点（2，1）看成原函数上的点；把点（2，1）看成反函 数上的点，则其关于 y=x 的对称点（1，2）在原函数上。 说明：（1）互为反函数的两个函数的图象的交点一定在 y=x 上吗？ （2）f(x+1)的反函数是 吗？1()fx (3) 若 ?)1(,2()( ffxf ，的 反 函 数 是若 （4）求解思路：映射法，代点法 举例 2： )(1xey 定义域： Rx 值域： yxyeyexx x,0,0,极 限 思 想 ， 奇偶性：奇函数 35 单调性： 为 增 函 数为 增 函 数为 增 函 数 ， xxx eyeyey ,21 反函数： )1ln( ,1,1,124 02,0,)( 22 xy yeytyt ttt xxxxx设 相关连接：1. 轴平 行 于， 使 得 直 线的 图 象 上 是 否 存 在 两 点在 满 足 的 条 件， 求的 解 集 为不 等 式求 函 数 的 定 义 域 xABAxf bax bafx,)(3 ,)1(,02,0(),lg( 2 的 取 值 范 围求） 若 值 域 是 全 体 实 数 ，（ 的 取 值 范 围， 求） 若 定 义 域 是 全 体 实 数 aay1),2lg2 3 )3(,15)3(,lg()(22 ffxmxf 求 4 的 定 义 域求 )1 5给出下列图象，其中可能为函数 的图象的,234dcxbaxy 是 A B C D (提示：应用极限的思想，求导数的方法，看函数值的变化， cbxaxy234 BAyxyx ,0,;0, 选函 数 为 减 函 数 ， 所 以 ， 函 数 为 增 函 数当 ） 36 的 最 大 值 。恒 成 立 ， 求时 ，为 自 然 数 ， 且若若 不 能 ， 请 说 明 理 由 ， 数 列 ，差 数 列 ， 若 能 ， 求 出 此的 所 有 整 数 能 否 构 成 等满 足 条 件 的 表 达 式 ，为 自 然 数 ， 试 求若 ， ， 都 有对 任 意 实 数已 知 函 数：举 例 mtmtftttfxftf yxyfxyfytf 3)14()(4)3()(2)()1( ,3)2(3)()(,. 2 分析： 1,3;,1,3)()(, 36)(630)( )2()(, ,),0, 3()2( 3)(, 1)(42)1(9613)( 1)(42)( )()