中国矿业大学2010级,10-11数学分析(1)试卷(a)与参考答案

数学分析(1) 试卷(A)参考答案 一、叙述题(每题 5 分共 30 分) 1叙述函数 在区间 上无界的定义和 的定义.()fxI AxfI)(sup 2叙述极限 存在的归结原则.lim0x 3叙述极限 存在的 Cauchy 准则，据此再叙述 不存在的充要)(f )(limxfx 条件. 4分别叙述 在区间 上连续和一致连续的定义.)(xfI 5叙述函数 在点 可微的定义，并说明函数在一点连续、可导、可微的0 关系. 6叙述 是区间 上凸函数的定义，并给出可导凸函数的一个充要条件.)(xfI 二、计算题（每题 6 分共 30 分） 1求 .)1ln(lim2In 解 由归结原则得 3 )1ln(lim)1l(li 202 ttxxIt 32)1(lili)ln(im0020 ttt ttt 2. 求 .4 20coslixeIx 解 由麦克劳林公式得 ，2)(241cos5xo ，2)(852ex 2 .)(12cos542xoex 所以求得 .212 )(limcosli 450420 xxeIxx 3设 ，且 ，求 . (),1,gf()1,()gg()f 解 因为 ， 22()()1fxx 所以由洛必达法则得 2211()()()limlixxggf .21()lim22xg 4. 设 ，求eyxarcsin51cot2d.y 解 2 ct )(tl2 xx 421arcsinxee21cot 21d(5lnt()xyx 2ri)dx x 2 5求 在 上的最大值与最小值.5345x, 解 )3(11202 xy 令 得驻点 . 计算 3, 3 ， ， ， ，10)(y)(y2)1(7)(y 所以最大值 ，最小值 . 320 三、（10 分）设 （ 为有限数）， 在点 连续，证明：axgxlimxfa)(ligfx 证 因 在点 连续，故 ， ，当 时，有)(f 0x 3)(af 又因 ，对上面 ， ，当 时，有 ，从而axgx)(limMaxg)( 4)(fxgf 综上， ， ，当 时，有 ，这就证明了0)(fxf 3)(limafx 四 （10 分）设 在 上连续，且 存在.证明 在 上一致连f,)alixff,)a 续. 证 因为 存在，由 Cauchy 准则知： ， ，只要 ，li()xf 0X,xX 就有 . 3 又因为 在 上连续，所以 在 上连续，进而在 上一致连f,)af,1a,1a 续.即对上述 ， ，对任何 ，只要 就有1(,xx . )(xf 4 综上，可知 ，任何 ，只要 就有0),axx .即 在 上一致连续. 3)(xff) 五、（10 分）、设 在 连续，在 可导，证明：如果(0U)(0 存在，则 也存在，且 .并由此结论证明，如果)0(f )0f )(0xff 在区间 上可导，则 不存在第一类间断点.xI(x 4 【证】 )(lim)(lim)( 000 fxfxf xxCauchy中 值 定 理 （其中 ）.当 时，有 ，由假设条件 存在，即0 00 存在.说明 存在且 .同理可证，如果)()li00ffx )(f )()(ff 存在，则 也存在，且 .(x 00x 6 分 下证导函数不存在第一类间断点. 对 ，如果 和 都存在，I0)(0f)0(xf 由上述结论和 存在，知必有 ，这说明 在)(0xf )(0xfxf f 点连续.0x 4 分 六（10 分）设 在 上二阶可导.若有)(xf,ba ，则存在 ，使得 .0,0)(bfa ),(ba0)(f 证 不妨假设 ，则由导数定义和极限保号性可知，存在)(f ，使得2121),(,xx . 30)(,0)21bfxfaf 而 在 上连续，故由介值定理可知存在 ，使得f,ba ,21xc 2)(cf 在