2017年江西省全国统一考试理科数学仿真试卷（二）含答案

绝密 启用前 上饶县 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 仿真卷 理科 数学（二） 本试题卷共 5 页， 24 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在 答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1 2017 怀仁一中 已知集合 01M ， ，则满足 0 1 2， ， 的集合 ） A 2 B 3 C 4 D 8 【答案】 C 【解析】由题意得 2 0 1 2 N ， ，因此集合 24 个，选 C 2 2017 湖北七校 已知复数 1 （ i 为虚数单位），则 22 的共轭复数是（ ） A 13i B 13i C 13i D 13i 【答案】 A 【解析】因为 222 2 2 ( 1 )( 1 ) 2 = 1 + 312 iz i i ，所以其共轭复数是 13i ，选 A 3 2017 怀仁一中 已知向量 夹角为 60， | | | | 2O A O B，若 2O C O A O B，则 为（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 【答案】 C 【解析】 22( ) ( ) ( ) ( )A B A C O B O A O C O A O B O A O A O B O B O A 222 2 0，所以 为直角三 角形，选 C 4 2017 南固一中 若一条直线 与 一个平面成 72角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（ ） A 72 B 90 C 108 D 180 【答案】 B 【解析】根据最小角定理可知，平面的斜线与其在平面的射影所成的角是线面角，斜线与射影所成的角是斜线与平面中的所有线所成的角中的最小角，根据本题直线与平面成 72角，所以线与平面内经过斜足的直线所成角的取值范围是 72 90，所以最 大角是 90，故选 B 5 2017 临川一中 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 73 B 83 C 83 D 73 【答案】 B 【解析】由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉 一 半圆锥的组合体，其体积 1 1 82 2 2 13 3 3V ，应选答案 B 6 2017 云师 附 中 已知函数 ( ) | s i n | c o sf x x x，则下列说法正确的是（ ） A ()x 对称 B () C若 12| ( ) | | ( ) |f x f x ，则 12 2 ( )x x k k Z D ()44， 上单调递减 【答案】 D 【解析】由已知，函数 ()0 2 ， 上的解析式为 ： 1 s i n 2 2 2 2( ) ( )1 s i n 2 2 2 2 2x k x kf x kx k x k Z， ， ， 且 ()函数的图象关于直线 ()x k kZ ， 对称，故 A 错误； () ，故 B 错误；函数 | ( )|周期为 2 ，若 12| ( ) | | ( ) |f x f x ，则 12 ()2kx x k Z，故 C 错误； () 344，上单调递减，故 D 正确；故选 D 7 2017 皖南八 校 中国有个名句 “ 运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”， 其中的 “筹 ”愿意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如 6613 用算筹表示就是，则 9117 用算筹可表示为（ ） A B C D 【答案】 A 【解析】由定义知 : 千位 9 为横式 ；百位 1 为纵式 ；十位 1 为横式 ；个位 7 为纵式 ，选 A 8 2017 南固一中 函数 x x 的大致图像是（ ） A B C D 【答案】 B 【解析】当 0x 时， 1y ，所以排除 A，当 2x 时，函数图像应和 相交，所以排除 D，函数图像偶函数，所以 排除 C，满足条件的只有 B，故选 B 9 2017 安徽百校论坛 已知约束条件302 3 0 ，表示的可行域为 D ，其中 1a ，点 00,x y D ，点 ,m n D 若 003与 1的最小值相等，则实数 a 等于（ ） A 54 B 32 C 2 D 3 【答案】 C 【解析】作出可行域，则取点 1,2 时， 003取最小值 1 1表示经过可行域内一点 ,点 0, 1 的直线的斜率，当取直线 30 与 的交点坐标 ,3时，1取最小值，即 4 1 ，得 2a 故选 C 10 2017 重庆联考 定义在 R 上的函数 () ()，且满足 ( 2 ) ( )f x f x ，()01 ， 若1 2 1 22x x x x ， ，则（ ） A 12( ) ( )f x f x B 12( ) ( )f x f x C 12( ) ( )f x f x D 1() 2()大小不能确定 【答案】 C 【解析】由题设可知函数 ()y f x 的图像关于直线 1x 成轴对称，且当 1x 是增函数，当 1x 时是减函数，因为 12，且 122，所以 12( ) ( )f x f x ，应选 C 11 2017 怀 仁 一 中 数列 足 128a， 23333a ， ( 0) ，2212 1 2212 1 ( 2 ) ，则 2017a （ ） A364B264 C 132 D 3332 【答案】 B 【解析】因为2 2 2 2112 2 2 2 21 1 1 11 1 2 ( 2 )n n n nn n n n na a a a na a a a a ，所以数列 21等差数列，公差为 2221111，因此 2 0 1 7 2 0 1 7222 0 1 7 11 1 22 0 1 6 1 2 0 4 8 064 ，选 B 12 2017 湖南十三校 设 :2C y 的焦点，过 0的直线交曲线 C 于 A， B 两点（ A 作 C 的准线的垂线，垂足为 M，则 | |比为（ ） A 3 B 2 C 3 D 4 【答案】 C 【解析】抛物线 2:2C y 的焦点 ( 0)2 ，准线为 2 ， 设直线 : 3 ( )2 y x，联立抛物线方程，消去 x，可得 223 2 3 0y p y p ， 设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ，则 1233y p y p ，由 1()2， ， 则2 2 22121|4 4 3 6p p y p ， 4 42 2 2 222 2 2229 2 1| | 34 4 2y x y y p ， 即有|3， 故选 C 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分 。 第 (13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 。 第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答 。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13 2017 云师属中 点 2( 3 ) ( 1 ) 2 上的动点，点 (22)Q ， ， 面积的最小 值是 _ 【答案】 2 【解析】因为 | | 2 2，直线 方程为 y x，圆心 ( 31)， 到直线 距离为| 3 1 | 222d，所以圆上的动点 P 到直线 距离的最小值为 2 2 2 2，所以 面积的最小值为 1 2 2 2 22 14 2017 怀仁一中 如图是 某算法的程序框图，若任意输入 1 192， 中的实数 x，则输出的 9 的概率为 _ 【答案】 2437 【解析】由循环结构流程图知输出 2 2 ( 2 1 ) 1 1 8 7 ，又 8 7 4 9 7 ，因此所求概率为19 7 241 37192 15 2017 长沙一中 设 20 1 0 s ，则 31()展开式中的常数项为 （用数字做答） 【答案】 210 【解析】由 22001 0 s i n 1 0 c o s | 1 0n x d x x ， 所以二项式的通项为551061 1 0 1 03 1( ) ( ) ( 1 ) rr r r r x C ， 令 6r ，则常数项 55666 67 1 0( 1 ) 2 1 0T C x 16 2017 长沙一中 若函数 1( ) ( 0 0 )x e a ，的图象在 0x 处的切线与圆221相切，则 的最大值是 【答案】 2 【解析】由 1( ) ( 0 0 )x e a ，则 () x ，且 (0) af b ， 又 1(0)f b ， 切线 方程为 1 ，即 10ax ， 又切线与圆 221相切， 221 1 ，即 221， 0a ， 0b ， 222a b ， 2 2 22 ( ) ( )a b a b ， 2 ， 的最大值是 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 2017 枣庄联考 在 A、 B、 a、 b、 c，角 A、 B、 13b （ 1）若 3 ，求 （ 2）求 的最大值 【答案】（ 1） 4c ；（ 2） 2 13 【解析】（ 1）由角 A、 B、 2B A C 又 A B C ， 3B 由正弦定理，得 34， 即 34 由余弦定理，得 2 2 2 2 c o sb a c a c B ， 即223 3 11 3 24 4 2 ，解得 4c （ 2）由正弦定理，得1 3 2 1 3s i n s i n s i n 332a c B ， 2 1 3 s ，2 1 3 2 1 3 2 1 3s i n s i n s i n s i c A C A A B 2 1 3 2 1 3 3 3 s i n s i n s i n c o s 2 1 3 s i 2 633A A A A A 由 20 3A ，得 5 6 6 6A 所以当 =62A 时 ，即 =3A 时， m a x 2 1 3 18 2017 广东联考 某市为了解各校国学课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为 A、 B、 C、 D 四个等级随机调阅了甲、乙两所学校各 60 名学生的成绩，得到如下的分布图： （ 1）试确定图中 a 与 b 的值； （ 2）规定等级 D 为 “不合格 ”，其他等级为 “合格 ”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率若从甲、乙两校 “合格 ”的学生中各选 1 名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率 【答案】（ 1） 1 5 0 ， ；（ 2） 851 【解析】（ 1） 1 5 0 ， ； 4 分 （ 2）记 1E 表示事件 “甲校国学成绩等级为 A”，则 1 654； 记 2E 表示事件 “甲校国学成绩等级为 B”，则 2 1554； 记 1F 表示事件 “乙校国学成绩等级为 B 或 C”，则 1 4251； 记 2F 表示事件 “乙校国学成绩等级为 C”，则 2 1251 其中 11 相互独立， 22 相互独立， 1 1 2 2 6 4 2 1 5 1 2 85 4 5 1 5 4 5 1 5 1P E F E F ，即为所求 12 分 19 2017 雅礼中学 如图，在四棱锥 中， 面 /面 22 （ 1）证明：平面 面 （ 2）点 M 为线段 含端点）上一点，设直线 平面 成角为 ，求 取值范围 【答案】（ 1）证明见解析；（ 2） 23,46 【解析】（ 1） /面 ，分别取 中点 ，连接, ，则 ,/ ， ,/ ， 所以四边形 平行四边形， ， , ， , ， 面 面 平面 面 （ 2）由（ 1）可得 , 两两垂直，以 O 为原点建立空间直角坐标系 ，如图，则由已知条件有： ( 3 , 0, 0 )C ， ( 3 , 0,1)D ， (0, 1, 0)P ， (0, 0,1)，( 3 ,1, 0 ) ，设平面 一个法向 量为 ( , , )n x y z ，则 030 令 1x ，则 (1, 3 , 0 )n ，设 ( 0 , 1 , ) ( 0 2 )M x x ，则 (0 , 2 , )PM x ， 从而 22 43|4232|s ， 02x ， 23,46 20 2017 郑州一中 已知 圆 M ： 2 2 2 ()0x y r r 与直线 1l ： 3 4 0 相切，设点 A 为圆上一动点， AB x 轴于 B ，且动点 N 满足 2B ，设动点 N 的轨迹为曲线C （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）直线 l 与直线 1l 垂直且与曲线 C 交于 P ， Q 两点，求 面积的最大值 【答案】（ 1）2 2 14x y；（ 2） 1 【解析】（ 1）设动点 ()N x y， ， 00()A x y， ，因为 AB x 轴于 B ，所以 0( 0)， 设圆 M 的方程为 2 2 2: r， 由题意得| 4 | 213r ， 所以圆 M 的方程为 22:4xM y 由题意， 2B ，所以 00( 0 ) 2 ( )y x x y ， ， 所以，即00 2 ， 将 ( 2 )A x y， 代入圆 22:4xM y，得动点 N 的轨迹方程2 2 14x y （ 2）由题意设直线 l ： 30x y m ， 设直线 l 与椭圆2 2 14x y交于 11()P x y， ，22()Q x y， ，联立方程22344y x ， 得 221 3 8 3 4 4 0x m x m ， 2 2 21 9 2 4 1 3 ( 4 4 ) 1 6 ( 1 3 ) 0m m m ， 解得 2 13m ， 2 2128 3 1 6 ( 1 3 ) 4 3 2 1 32 6 1 3mm ， 又因为点 O 到直线 l 的距离 |2，2124 1 32 | | 2 13 x x ， 222 2 ( 1 3 )1 | | 4 1 3212 2 1 3 1 3O P 面积的最大值为 1 21 2017 正定中学 设2( ) c o s 12xf x x （ 1）求证：当 0x 时， ( ) 0； （ 2）若不等式 s i n c o s 2x x 对任意的 0x 恒成立，求实数 a 的取值范围 【答案】（ 1）详见解析 ； （ 2） 1 )， 【解析】（ 1）证明：2( ) c o s 1 ( 0 )2xf x x x ，则 ( ) s x x x ， 设 ( ) x x ，则 ( ) 1 c o ， 当 0x 时， ( ) 1 c o s 0 ，即 ( ) s x x x 为增函数， 所以 ( ) ( 0 ) 0f x f ， ()0 )， 时为增函数，所以 ( ) (0 ) 0f x f （ 2）由（ 1）知 0x 时， ，2c o s 12 ， 所以2 1 s i n c o s 22x x x x ， 设2( ) 12x xG x e x ，则 ( ) 1xG x e x ， 设 ( ) 1xg x e x ，则 ( ) 1xg x e ， 当 0x 时 ( ) 1 0xg x e ，所以 ( ) 1xg x e x 为增函数 ， 所以 ( ) (0 ) 0g x g ，所以 ()以 ( ) ( 0 ) 0G x G ， 所以 s i n c o s 2xe x x 对任意的 0x 恒成立 又 0x ， 1a 时， ax ，所以 1a 时 s i n c o s 2x x 对任意的 0x 恒成立 当 1a 时，设 ( ) s i n c o s 2x e x x ，则 ( ) c o s s i x a e x x ， ( 0 ) 1 0 ，所以存在实数 0 0x ，使得任意 0(0 )， ，均有 ( ) 0 ，所以 ()(0 )x， 为减函数，所以在 0(0 )， 时 ( ) (0 ) 0h x h，所以 1a 时不符合题意 综上，实数 a 的取值范围为 1 )， 22 2017 怀仁一中 选修 4标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 24 ，直线 l 的参数方程为co s1 （ t 为参数，0 ） （ 1）把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线 C 的形状； （