2017年江西省全国统一考试文科数学仿真试卷（四）含答案

绝密 启用前 江西省 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 仿真卷 文 科 数学（四） 本试题卷共 2 页， 23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1已知集合 2 4 1 2 0A x x x ， 22，则 （ ） A 6 B 2 C 62 D 12 【答案】 D 【解析】由 2 4 1 2 0A x x x 得 62A x x ； 由 22得 1B x x，故 12A B x x ，故选 D 2已知为 i 虚数单位，若复数 1 （ aR ）的虚部为 3，则 z （ ） A 10 B 23 C 13 D 5 【答案】 B 【解析】由题意得，复数 1 i 1 i 1 1 i 1 i 1 i 2a a ， 所以 1 352 a a ，即 2 3 ，所以 13z ，故选 B 3下列说法正确的是（ ） A “ 1x ”是 “ 2lo g ( 1) 1x ”的充分不必要条件 B命题 “ 0x， 21x ”的否定是 “ 0 0x ， 021x ” C命题 “若 ，则 22ac ”的逆命题为真命题 D命题 “若 5 ，则 2a 或 3b ”为真命题 【答案】 D 【解析】选项 A： 2l o g ( 1 ) 1 0 1 2 1 1x x x ，所以 “ 1x ”是其必要不充分条件；选项 B：命题 “ 0x， 21x ”的否定是 “ 0 0x， 021x ”；选项 C：命题 “若 ，则 22ac ”的逆命题是 “若 22ac ，则 ”，当 0c 时，不成立；选项 D：其逆否命题为 “若 2a 且 3b ，则 5 ”为真命题，故原 命题为真，故选 D 4 函数 ( ) s i n ( ) ( 0 )6f x x 的图象与 x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为 2 的等差数列，若要得到函数 ( ) x x 的图象，只要将 () ）个单位 A向左平移 6 B向右平移 6 C向左平移 12 D向右平移 12 【答案】 C 【解析】由题意，知函数 () 2T ，所以 2 2T ， 所以 ( ) s i n ( 2 )6f x x 2 ( )12x ，所以要得到函数 ( ) x x 的图象， 只要将 ()12 ，故选 C 5中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的 2x ， 2n ，依次输入的 a 为 2， 2， 5，则输出的 s （ ） A 7 B 12 C 17 D 34 【答案】 C 【解析】第一次循环，得 2 , 2 , 1a s k ；第二次循环，得 2 , 6 , 2a s k ；第三次循环，得 5 , 1 7 , 3 2a s k ，此时不满足循环条件，退出循环，输出 17s ，故选 C 6三棱柱 1 1 1 B C 的侧棱垂直于底面，且 C ， 1 2A B B C A A ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A 48 B 32 C 12 D 8 【答案】 C 【解析】如图，由题可知矩形 11中心 O 为该三棱柱外接球的球心， 221 2 3 该球的表面积为 24 3 1 2 选 C 7正方体 1 1 1 1A B C D A B C D 中 E 为棱 1中点（如图），用过点 A ， E ， 1C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ） 【答案】 C 【解析】由已知可得剩余几何体的左视图应是选项 C 8 在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1A B C D A B C D 中任取一点 M ，则满足 90 的概率为（ ） A 24 B 12 C 8 D 6 【答案】 A 【解析】以 直径作球，球在正方体内部的区域体积为 14 4 3 3V ，正方体的体积为 8 ，所以由几何概型得 24P ，故选 A 9设向量 ( c o s , s i n )a x x， ( c o s ( ) , c o s )2b x x ，且 a t b ， 0t ，则 si n 2 ） A 1 B 1 C 1 D 0 【答案】 C 【 解 析 】 因 为 ( c o s ( ) , c o s ) ( s i n , c o s )2b x x x x ， a ，所以 c o s c o s s i n s i n 0x x x x ，即 22c o s s i n 0，所以 2t a n 1 , t a 1 ， ()24 Z， 2 ()2x k k Z， 1x ，故选 C 10 2017 雅礼中学 P 为双曲线 19422 21, 21,别为双曲线的左、右焦点，且 021 直线 2 y 轴于点 A ，则 1的内切圆半径为（ ） A 2 B 3 C 23 D 213【答案】 A 【解析】如图所示，记 1 2 1的内切圆相切于点 N ， M ，则M ， Q ， 11F ， 12F ，则1 1 2 2N F A F A N A F A M M F ，则 12F ，则1 2 1 2 1 2( ) ( )P F P F Q F P Q M F P M Q F P Q M F P M 2 2 4P Q P M P Q a ， 所以 2，因为 021 12F ，所以2r ， 故选 A 11如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，边 33有 10 个不同的点 12， ， 10P ， 记 2 ( 1 2 1 0 ) B A P i ， ， ，则 1 2 1 0m m m 的值为（ ） A 15 3 B 45 C 60 3 D 180 【答案】 D 【解析】因为 2 33直，设垂足为 C ，所以 2影为 22| | | | 2 3 3 3 1 8 B A P A B A C ， 从而 1 2 1 0m m m 的 值18 10 180 ， 为选 D 12设函数 ()定义在 ( 0)， 上的可导函数，其导函数为 ()，且有2( ) 3 ( )x f x x f x ，则不等式 38 ( 2 0 1 4 ) ( 2 0 1 4 ) ( 2 ) 0f x x f 的解集为（ ）A ( 2016) ， B ( 2 0 1 8 2 0 1 6 )， C ( 2018 0) ， D ( 2018) ， 【答案】 A 【解析】函数 () 0)， 上的函数，所以有 2014 0x， 不等式 38 ( 2 0 1 4 ) ( 2 0 1 4 ) ( 2 ) 0f x x f 可变形为： 33( 2 0 1 4 ) ( 2 )( 2 0 1 4 ) 2 )f x ， 构造函数 3()() x ，24 4 2( ) 3 ( ) 1( ) 0x f x f x x x x ，所以 ()( 0)， 上单增，由 ( 2 0 1 4 ) ( 2 )g x g ，可得2 0 1 4 0 20162 0 1 4 2x ，故选 A 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分 。 第 (13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 。第 (22)(23)题为选考题，考生根据要求作答 。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13设 x ， y 满足约束条件1400 ， 则 3z x y 的取值范 围为 【答案】 2,4 【解析】由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，当目标函数 3z x y过点 53( , )22A 时，取得最小值，此时最小值为 m i n 533222z ；当目标函数 3z x y过点 (4,0)B 时，取得最大值，此时最小值为 z ，所以 3z x y 的取值范围为 2,4 14学校艺术节对同一类的 A ， B ， C ， D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说： “是 C 或 D 作品获得一等奖 ”； 乙说： “B 作品获得一等奖 ”； 丙说： “A ， D 两项作品未获得一等奖 ”； 丁说： “是 C 作品获得一等奖 ” 若这四位同学中只 有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 【答案】 B 【解析】若甲同学说的话是对的，则丙、丁两位说的话也是对的；若丁同学说的话是对的，则甲、丙两位说的话也是对的，所以只有乙、丙两位说的话是对的，所以获得一等奖的作品是 B 15设 , ，向量 , 2 , 1 , , 2 , 6a x b y c ，且 , / /a c b c ，则_ 【答案】 52 【解析】2 1 2 0 6 ( 6 , 2 ) , / / 6 2 0 3 (1 , 3 )a c x x a b c y y b 2222 4 0 1 0 5 0a b a a b b a b 52 16 已知函数 2 ( ) c o s 2xf x x ，数列 ， *( ) ( 1 ) ( )na f n f n n N，则数列 前 100 项之和 100S _ 【答案】 10200 【解析】因为 2 c o s 2xf x x ， 所以 22 1 1 c o s 1 c o f n f n n n ()（ ）， 2 2 243 43 42 4 3 c o s 4 2 c o s ( 4 2 )22n n n n ( ) ( )（ ） （ ）， 同理可得： 2 2 24 2 4 1 4( 4 2 ) ( 4 ) ( 4 )n n na n a n a n ， ， 224 3 4 2 4 1 4 2 ( 4 2 ) 2 ( 4 ) 8 ( 4 1 )n n n na a a a n n n ， 前 100 项之和 100 8 3 7 9 9 1 0 2 0 0S 故答案为： 10200 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 12 分）如图，在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ， ( s i n c o s )a b C C （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 2A ， D 为 外一点， 2， 1，求四边形 积的最大值 【答案】（ 1） 4B ；（ 2） 5 24 【解析】（ 1）在 中， ( s i n c o s )a b C C 有 s i n s i n ( s i n c o s )A B C C， s i n ( ) s i n ( s i n c o s )B C B C C ， c o s s i n s i n s i B C ， C ，则 ， 即 B ； (0,)B ，则 4B （ 2）在 中， 2， 1， 2 2 21 2 2 1 2 c o s 5 4 c o D D 又 2A ，则 为等腰直角三角形， 21 1 1 5= c o 4 4 C B C B C D ， 又 1 s i n s i D D C D D ， 55 c o s s i n 2 s i n ( )4 4 4A B C D D ， 当 34D 时，四边形 面积有最大值，最大值为 5 24 18（本小题满分 12 分）中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井，取得了地质资料进入全国勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据质料见小表： 井号 i 1 2 3 4 5 6 坐标， ） ( （ 2， 30） （ 4， 40） （ 5， 60） （ 6， 50） （ 8， 70） (1, )y 钻探深度( 2 4 5 6 8 10 出 油 量(L) 40 70 110 90 160 205 （ 1） 1 6 号旧井位置线性分布，借助前 5 组数据求的回归直线方程为 x a，求 a ，并估计 y 的预期值； （ 2）现准备勘探新井 7（ 1， 25），若通过 1、 3、 5、 7 号井计算出的 b ， a 的值与（ 1）中 b ， a 的值差不超过 10，则使用位置最接近的已有旧井 6(1, )y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（注：其中 b 的计算结果用四舍五入法保留 1 位小数） 44212 1 2 1 2 122 111 , , 9 4 , 9 4 5i y n x yb a y b x x x yx n x 【答案】（ 1） 24 ；（ 2）使用旧井 【解析】（ 1）因为 5x ， 50y ，回归直线必须过平衡点 ( , ) 则 5 0 6 . 5 5 1 7 . 5a y b x ，故回归直线方程为： 6 7 ，当 1x 时， 6 . 5 1 7 . 5 2 4 ，即 y 的预报值为 24 （ 2）因为 4x ， ，4 2211 94ii x ，42 1 2 11 945 ， 所以414 2222114 9 4 5 4 4 4 6 . 2 5 6 . 89 4 4 44y x ， 4 6 . 2 5 6 . 8 4 1 9 . 0 5a y b x ，即 ， ， ， 因为 5% ， 9% ，均不超过 10，因此使用位置最接近的已有旧井 6（ 1， 24） 19（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 1 1 1 B C 中， 5C，1 6C， D ， E 分别是 1 1 （ 1）求证： /面 （ 2）求三棱锥 E 的体积 【答案】（ 1）证明见解析；（ 2） 12E 【解析】（ 1）证明：取 中点 G ，连接 E 是 1 1/B ，且 12， 由直棱柱知， 11B ，且 11B ，而 D 是 1中点， D ， 四边形 平行四边形， G ， 又 平面 平面 平面 （ 2）解： 1B ， 平面 E B C D D B C E A B C ， 11 1 1( 6 6 ) 92 2 2B C E B B ， C ， G 为 中点， 又 1平面 平面 1B ， 1C B ， 1 平面 11 平面 11 由条件知 5， 3， 4， 11 9 4 1 233A B C E B C A G ， 12E 20（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ：22 1 ( 0 )xy 过点 ( 1, 1)P ， c 为椭圆的半焦距，且 2，过点 P 作两条互相垂直的直线 1l ， 2l 与椭圆 C 分别交于另两点 M ， N （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若线段 中点在 x 轴上，求直线 方程 【答案】（ 1）223 144；（ 2） 0或 12x 【解析】（ 1）因为椭圆 C ：22 1 ( 0 )xy ，过点 ( 1, 1)P ， c 为椭圆 的半焦距，且 2， 所以 22111，且 222， 所以 223，解得 2 43b ， 2 4a ， 所以椭圆方程为223 144 （ 2）设 11( , )M x y ， 22( , )N x y ， 则2211223 4 ,3 4 , 两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 3 ( ) ( ) 0x x x x y y y y ， 因为线段 中点在 x 轴上， 所以 120，从而可得 1 2 1 2( ) ( ) 0x x x x ， 若 120，则 11( , )N x y ， N ，所以 0N，得 22112 又因为 221134，所以解得 1 1x ， 所以 ( 1,1)M ， (1, 1)N 或 (1, 1)M ， ( 1,1)N ， 所以直线 程为 若 120，则 11( , )N x y ， 因为 N ，所以 0N，得 2211( 1) 1 ， 又因为 221134，所以解得 1 12x 或 1 ， 经检验： 12x 满足条件， 1x 不满足条件 综上，直线 方程为 0或 12x 21（本小题满分 12 分） 2017 抚州七校 已知函数 x x a x ，其中aR （ 1）若曲线 y f x 在点 0,l 与直线 22y a x平行 ，求 l 的方程； （ 2）讨论函数 y f x 单调性 【答案】（ 1） 43或 4133；（ 2）当 2a 时， 1,a ，减区间为 3, 1a ，当 2a 时， 3, 上递增 【解析】（ 1） 1e xf x x a ， 又 0 1 2 2f a a ， 3a 或 13 当 3a 时， 3 e , 0 3xf x x f ， l 的方程为： 43 当 13a 时， 11e , 033xf x x f ， l 的方程为： 4133 （ 2）令 1 e 0xf x x a 得 1 ， 当 13a ，即 2a 时， 1 e 0 ,xf x x a f x 在 3, 上递增 当 13a ， 即 2a 时，令 0 得 1 ， 令 0 得 3 1 ,x a f x 递减， 综上所述，当 2a 时， 1,a ，减区间为 3, 1a ； 当 2a 时， 3, 上递增 请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分。 22（本小题满分 10 分）选修 4坐标系与参数方程 在直角坐标系 ，将曲线1 c o s: 1 s （ t 为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得到曲线 1C ；以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 c o s ( ) 3 36 （ 1）求曲线 1C 的极坐标方程； （ 2）已知点 (10)M ， ，直线 l 的极坐标方程为 3 ，它与曲线 1C 的交点为 O ，