【毕业学位论文】存在跳跃及随机波动风险的消费和投资组合选择

北京理工大学博士学位论文 摘要 消费和投资组合选择是投资者非常关心的问题，动态资产组合选择研究一般均遵循 969）框架，然而 工作假定证券价格服从几何布朗运动，并且价格波动率确定，如果考虑过去 100 年里风险资产较之无风险资产收益溢价为 标准差是 险厌恶系数为 1 的情况，准方法说明具有对数效用并且是自融资的投资者需要持有权重为 2 的风险资产，这与实际情况存在较大不同，因此假设风险资产服从几何布朗运动是一种简化处理手段。实际金融市场因为受到多种因素的影响，会表现出不同于理想市场的特征，只有充分的考虑各种情况，才能比较全面的把握金融市场，并从中获益。本研究主要涉及两方面，即风险资产存在随机波动风险以及突然事件引起的跳跃风险对消费和投资组合选择问题的影响。 本文比较的研究了风险资产的几何布朗运动模型、跳扩散模型、随机波动模型、跳扩散随机波动模型以及双跳跃模型，考察投资者的资产组合选择策略，重点探讨了双跳跃模型下的消费和投资组合选择情况，并且解释了如下问题：是否随机波动风险和跳跃风险会极大的影响着消费和投资组合 选择策略？历史数据所体现出的投资者行为能否通过引入这两种风险因子而得到合理解释？ 虽然将随机波动率以及跳跃项引入风险资产运动模型可以更好的反映金融市场，但是同样会带来一系列问题，其中最重要的就是：如何求解双跳跃等非基准模型框架下的消费和投资组合选择问题？研究表明，即便假定证券价格服从扩散过程，最优消费和投资组合问题的封闭解也很难获得。003）通过假设风险资产价格方程和波动率方程中的漂移项、扩散矩阵以及跳跃到达强度均为波动率状态变量的线性函数，得到了双跳跃模型最优权重解析解，然而他们的研究没有考虑中间消费部分，并且投资者的注资期是有限的情况。本文所分析情况，通过引入中间消费以及设定注资期无限扩展了 003）的研究，类似的，本文在求解最优组合权重时对风险溢价和跳跃到达强度做了一定假设，设为状态变量 V 的线性函数，并且由于 程出现了非线性项，因此将其进行开，得到了权重近似解析解。双跳跃模型下的投资组合权重一般要在0,1范围内，也就是投资者在注资期间应该尽量避免持有杠杆或空头头寸，权重会包括三部分：标准收益扩散模型下的投资组分；规避随机波动的连续变化组分；规避收益及收益波动率跳跃组分。此外双跳跃模型还可以看作标准动态及单期静态投资组合选择题的混合。 将随机波动率以及跳跃项引入风险资产运动模型带来的另一个问题是：状态变量的条件密度函数未知，如何对权重表达式中的 参数估值？本文所采用的方法承袭了988）的思路，求解的对象是条件特征函数，通过 向方程与特征函数的联系得到风险资产收益的特征函数，将不可测变量积出函数，做 换把生成的复矩条件转换成一对实矩方程，利用广义矩方法求得估计子。 本文在估值时利用了上证综合指数、香港恒生指数、纳斯达克综合指数和道琼斯工业平均指数等历史数据，以道琼斯工业平均指数为例，从 1970 年 1 月到 2005 年 12月的月收盘历史数据说明在双跳跃模型下平均每 100 格跳跃事件，动持续参数是 对于上证综合指数，情况却是每 13 年就会出现价格跳跃幅度达 情况。 本文以道琼斯工业平均指数校准和分析了双跳 跃等模型下的消费和投资组合情况，在无风险资产常收益率取为 对风险厌恶系数是 3 时，可以发现当投资者考虑了跳跃和波动风险后，会大大减少对风险资产的投资比例，具体而言，投资者忽略跳跃风险以及随机波动风险时，会将 54的财富分配到风险资产上，如果考虑到跳跃风险，这一比例会略有下降，而当包括跳跃和随机波动这两种风险后，这一比重几乎降为 13%。因此当投资者预见会有跳跃以及随机波动风险发生时，将会极大的改变投资策略，哪怕仅仅是每 100 格跳跃幅度的情况也会造成强烈的影响，这也说明了证券市场实际最优组合策略中风险资产权重总是较之基准投资组合选择结果（几何布朗模型情况）低的原因。此外，参数显著性的分析发现包括数据源、相对风险厌恶系数、风险资产跳跃到达强度、跳跃幅度以及波动率参数的选取或估值误差不会强烈的影响结果有效性。 此外，本文从理论上探讨了多风险资产投资组合选择以及存在的系统风险问题，这里系统风险包括系统波动风险和系统跳跃风险，是指伴随各风险资产的波动和跳跃具有高度相关性。结果表明投资组合多样化所带来的收益将会受到系统风险影响，多资产投资者的策略会因系统风险而不同于忽略此风险的情况，系统风险的影响可以利用财富补偿表现。 本论文主要创新之处是：考察了双跳跃模型下投资者在注资期无限时的消费和投资组合选择策略，从理论上得到近似最优解析解，并说明了跳跃和随机波动风险的影响；基于特征函数的广义矩方法，估计了包括双跳跃等 5 种模型的上证综合指数、香恒生指数、纳斯达克综合指数和道琼斯工业平均指数参数情况；以道琼斯工业平均指数校准和分析了双跳跃等模型下的消费和投资组合问题，量化的解释了跳跃和随机波动风险的影响；探讨了多风险资产投资组合选择以及系统风险问题。 关键词：消费和投资组合选择；双跳跃模型；跳跃风险；随机波动风险 he of is in s s a on of a a in , of . of on be by a to of an in an In we on or of we of we to do of s is if if s a be to A to DE is of In or at By of in 2003) an to of In we 2003) by by a of To of a we to to of or in of is of be as be as be as a of a a In to we on By o (1988), we of be by a of in we to of We of on 970at an of 00 is a 00% at a 3 We of on to be a of , on a as in of a on in on s of on in to of we t of We of by an by to be to We of by be By an of be by We by of On we of of On we on to we of on of on we of 录 1 介 绍 . 1 2 消费和投资组合选择模型研究 . 8 . 9 . 11 . 17 . 21 . 26 3 模型估值研究 . 33 . 33 连续时间随机过程的特征函数 . 37 基于特征函数的计过程 . 38 数据描述 . 39 . 40 . 41 . 43 . 46 . 47 4 最优消费和投资组合选择估计 . 60 估计结果 . 60 跳跃和随机波动风险显著性分析 . 61 结果比较 . 64 5 存在系统风险的消费和投资组合 . 73 6 结 论 . 78 附 录 . 81 1 自融资条件下投资者财富过程推导 . 81 2 求解型 函数 . 81 () 仿射跳扩散模型. 81 4 利用. 82 5 利用. 84 6 利用. 86 7 利用型参数估值 . 89 8 利用. 92 参考文献 . 95 致 谢 . 101 研究成果 . 102 表目录 图 1：指数收益分布 . 50 图 2：指数收益随时间变化情况 . 52 图 3：指数收益波动率随时间变化情况 . 54 图4： D 和型不同风险厌恶系数下最优风险资产权重 . 66 图5： D 和型在不同跳跃强度下的最优风险资产权重 . 66 图6： D 和型不同价格跳跃幅度下最优风险资产权重 . 67 图7： 型在不同波动持续参数下的最优风险资产权重 . 67 图8： 型不同波动率跳跃幅度下最优风险资产权重 . 68 表1： . 56 表2： . 56 表3： 数 . 57 表4： 数 . 57 表5： . 58 表6： 数 . 58 表7： . 59 表8： . 69 表9： D 和型下 . 69 表 10： . 69 表 11： D 和型下 . 69 表 12： D 和型不同相对风险厌恶系数下优投资组合选择权重 . 70 表 13： D 和型不同跳跃强度优组合选择权重 . 70 表 14： D 和型不同价格跳跃幅度下. 71 表 15： 型不同波动持续参数优组合选择权重 . 72 表 16： 型不同波动率跳跃幅度. 72 介 绍 消费和投资组合选择一直是投资者非常关心的问题，概括而言就是投资者通过给定的资金在一定的时期（有限或无限的持有期）进行消费和投资的选择，使得其在注资期内累积消费效用与期终财富效用之和的数学期望最大，投资者需要决定购买什么资产、各种资产分配多大权重以及消费要占资金多少比重等。从 期均值方差模型到 969）跨期资产组合选择都对此类问题做出了有意义的阐述。随着 用连续时间模型研究了投资组合选择问题后，连续时间金融方法不断发展，在金融核心领域得到了广泛应用。 工作假定证券价格服从几何布朗运动，并且价格波动率确定，如果考虑过去 100 年里风险资产较之无风险资产收益溢价为 标准差是 险厌恶系数为 1 的情况，准方法说明具有对数效用并且是自融资的投资者需要持有权重为 2 的风险资产，这与实际情况存在较大不同，可以说假设风险资产服从几何布朗运动是一种简化处理手段。实际金融市场因为受到政策影响、制度制约、市场摩擦、经济周期性以及非对称信息等多种因素的影响，会表现出不同于理想市场的特征，只有充分的考虑这些情况，才能比较全面的把握金融市场，并从中获益。本研究主要考虑两方面，即风险资产存在随机波动风险以及突然事件引起的跳跃风险对消费和投资组合选择问题的影响，下面分别予以说明。 首先，风险资产价格波动率具有随机性，这从以下事实可以看出：对 19281999年 S&P 500 指数收益的月波动率检验发现，确定波动率的假定无法得到这些数据；论不能解释持续出现的波动微笑现象；股票收益相比于正态分布有尖峰厚尾特征，这是不同方差分布相互混合的结果；股票收益分布呈波动集群性，此现象说明波动率具有均值回复性。如果假定风险资产价格波动率服从随机过程，上述现象才能得到妥善解释。 其次，政治、经济和社会等方面均会发生突然事件（如战争、信用危机等） ，而这些事件一旦出现就会影响到金融市场，造成资产价格和波动率的不连续跳跃运动现象。显著的例子包括 1987 年 10 月 9 日道指数下跌 508 点，1997 年 10 月 27 日道指数下跌超过 554 点，1998 年俄罗斯卢布剧贬导致长期资产管理公司破产等。1北京理工大学博士学位论文 992）的研究发现，证券市场上罕见日收益变动出现的频率不断增多，未来全球经济和金融呈现出越来越大的不确定性。另外，尽管突然事件偶尔发生，却会显著影响投资者决策。 基于上述情况，建立更符合金融市场的理论框架是有必要的，本文将比较研究风险资产的几何布朗运动模型、跳扩散模型、随机波动模型、跳扩散随机波动模型以及双跳跃模型，考察投资者的资产组合选择策略，重点探讨双跳跃模型下的消费和投资组合选择情况，所谓双跳跃模型就是假设风险资产价格及价格波动率均满足跳扩散过程，并且回答如下问题：是否随机波动风险和跳跃风险会极大的影响着消费和投资组合选择策略？历史数据所体现出的投资 者行为能否通过引入这两种风险因子而得到合理解释？ 这里简要回顾连续时间投资组合选择问题以及 风险资产收益运动模式问题的研究情况。 969，1971，1973）创造性的使用连续时间模型阐述了随机动态控制环境下跨期消费和投资组合选择问题，此后关于资产组合选择的研究大多采用架。他在假设股票价格遵循几何布朗运动的前提下，利用 制原理得到最优决策的偏微分方程，通过合理猜测给出解析解； 989）以及986，1987，1990）分别利用鞅理论将随机动态规划问题演化为完全市场下的静态问题，通过非负约束重新阐明 971），获得了最优消费和投资组合规则的封闭形式。 001，2005）对非流动性资产组合进行了研究，表明传统投资组合选择模型假设投资者能连续交易证券，而现实情况是投资者会面对流动性约束。他通过分析投资者交易策略受限模型发现，非流动性投资者其行为相比于无约束投资者存在很大不同，流动性约束投资者行为与借资者可持有比流动性市场风险更大的头寸。 连续时间金融领域一直在考察时变波动率模型，一般包括：随机波动模型和型。 973）为刻画证券收益和交易量的联合分布特征引入了随机波动模型，即假设价格及价格波动率均服从扩散过程； 987）利用随机波动模型将 式推广到时变波动情形； 989，1990，1991）发现 993）假定波动率服从均值回复平方根过程，利用特征函数技术导出了随机波动情况 下欧式看涨期权封闭解； 999，2001）通过对数线性近似得到随机投资机会集下的投资组合要求，他们发现在最优投资组合中，债券相对于股票的比率会随着风险厌恶的程度增加；2北京理工大学博士学位论文 000）研究了不完全市场下具有随机波动率的长期投资者消费和资产组合选择问题，得到近似解，并在特殊情况下给出精确解； 998）通过假设无违约短期利率服从平方根扩散过程导出了 随机机会下的无中间消费投资组合权重封闭解，此模型的重要之处在于股票收益会展现出随机波动性或可预测性，可以处理不完全市场情况。 随着理论和实践的深入，研究者开始关注突然事件的影响，考虑价格跳跃。983）和 986）通过实证分析发现股价的动态路径存在不连续的现象； 984）以及 990）表明在市场组合中资产价格运行存在不连续跳跃；1994）研究说明股价回报率过程存在跳跃现象。专家在 原有扩散过程中加入 跃项，建立了价格跳971）讨论了投资组合问题中的跳跃过程最大值原理，他考虑两资产情形，其一为价格服从对数正态分布的普通股票，而另一个是在无违约情况下支付即期利率，在违约情况下价格为零的风险债券，利用 程求得不变风险厌恶系数的效用函数下最优投资权重解析解；976）及 976）利用跳扩散