小学数学教材中的数学史――数学家刘徽

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 小学数学教材中的数学史数学 家刘徽 【摘要】刘徽的数学成就在中国 乃至世界数学史上都产生了深远影响， 人教版小学数学教材分别介绍了刘徽在 小数、面积计算、圆周率计算以及正负 数表示方面的成就，文章对以上内容作 了详细介绍，同时还介绍了刘徽的其他 数学成就，为小学数学教师进一步了解 刘徽的数学成就提供帮助. 中国论文网 /9/view-13005708.htm 【关键词】刘徽；小数；割圆术； 负数；阳马术 刘徽是我国数学史上一位伟大的 数学家，他在数学方面取得的成就在中 国乃至世界数学史上都产生了深远影响. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 他一生取得了许多数学成就，尤其是他 在几何、分数、重差术等方面的研究对 数学发展具有深刻的意义.基于刘徽对数 学发展所做的重大贡献，人教版小学数 学教材分别在四年级下册第 33 页“小数 的意义和性质” 部分介绍了刘徽对小数 发展的贡献（图 1） ；在五年级上册“梯 形的面积”部分介绍了刘徽的“ 出入相补” 原理（图 2） ；在六年级上册“圆的面积” 部分介B 了刘徽的“割圆术”（图 3） ； 在六年级下册“ 负数” 部分介绍了刘徽对 负数发展的贡献（图 4）.其内容之多仅 次于九章算术 ，因此，为了让小学 一线数学教师能够更详细地了解刘徽的 数学成就，并将其在教学中进行渗透， 以下将结合小学数学教材进一步详细介 绍刘徽的数学成就. 一、徽 数 “徽数 ”也就是我们今天的小数 .公 元 3 世纪左右，刘徽在注解九章算术 时，我国的长度单位是：丈、尺、寸、 分、厘、毫、秒、忽，忽是最小的单位， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 刘徽在研究中遇到忽以下的数，他没有 继续命名，而是创造了十进小数，刘徽 称作“徽数”，他在九章算术注 的方 田章圆田术注、少广章开方术注和少广 章开立圆术注中分别用到了十进小数.这 是世界上对小数的最早认识.1 二、出入相补原理 出入相补原理是指：一个平面图 形从一处移置它处，面积不变.即若把图 形分割成若干块，那么各部分面积的和 等于原来图形的面积，因而，图形移置 前后各面积间的和、差有简单的相等关 系.立体的情形也是这样.刘徽在海岛 算经的“测望术 ”中使用这一原理，历 史上这一原理至迟在战国时代就已经被 广泛认识和应用了.2 今天的小学数学 教材利用出入相补原理进行三角形、梯 形等平面图形面积的推导. 三、割圆术 割圆术是刘徽为九章算术方 田章“圆田术 ”作注时引入的 .九章算术 提出了圆田术：半周半径相乘得积步.这 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 就是圆面积公式： 其中 S，L ，r 分别是圆面积、周 长和半径.在刘徽之前人们用圆内接正六 边形的周长代替圆周长.为了证明这一公 式，刘徽提出了割圆术，刘徽从圆的内 接正六边形出发，将边数逐次加倍（图 5） ，并计算逐次得到的正多边形的周长 和面积.刘徽指出：“ 以六觚之一面乘半 径，因而，三之，得十二觚之幂.若又割 之，次以十二觚之一面乘半径，因而， 六之，则得二十四觚之幂.割之弥细，所 失弥少.割之又割，以至于不可割，则与 圆合体而无所失矣.” 也就是说，当分割 的次数无限增加时，则存在圆内接正多 边形面积的极限，此极限就是圆面积， 即 刘徽计算到了圆内接正 192 边形， 求得圆周率的近似值 3.14.他自己也认为 “此率尚微少 ”.3南北朝时期的祖冲之算 出了圆周率数值的上下限： 3.141 592 63.141 592 7 一般认为这个“ 正数 ”范围的获得 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 是沿用了刘徽的割圆术.事实上，如果按 刘徽割圆术从正六边形出发连续算到正 24576 边形，恰好可以得到祖冲之的结 果.4 四、负 数 负数一般定义为小于零的数.中国 古代没有负数一词，但有“负” （亦作负 算）.目前国内外一致公认最早的负数记 法出现于中国的九章算术.九章算 术 “正负术”中给出正确的负数运算法 则，公元 263 年（魏景元四年）刘徽的 九章算术注把正与负看成是相对存 在的数的两种情况，刘徽指出“正算赤， 负算黑.否则以邪正为异”.说明负数可以 用黑色算筹或者以斜画的筹表示，刘徽 在世界数学史上第一个采取了把数的正 负与加减运算关系统一起来的做法. 3，5 五、其他成就 （一）阳马术 九章算术 “商功章 ”阳马术给 出阳马的体积公式为其三条直角边乘积 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 的三分之一，即 （二）球体积计算 刘徽作球的外切立方体，再在立 方体内作两个与球半径相同的互相垂直 的圆柱，刘徽称这两个圆柱的公共部分 为“牟合方盖 ”（图 7）.他指出用水平面 去截球和“牟合方盖 ”所得的面积比为 4，因此，球和“ 牟合方盖 ”的体积比 也为 4，只要能够求出“牟合方盖” 的 体积即可得到球的体积.8然而，刘徽 没有能够直接求出“ 牟合方盖 ”的体积. 并将刘徽的思想上升为理论，提 出了祖 原理“ 缘幂势既同，则积不 容异”，9即两个等高立体如果在所有 等高处的水平截面积相同，则两个立体 的体积相同. （三）重差术