山西省晋中市2017届高考适应性调研考试数学试题(理)含答案

2017 年 3 月高考适应性调研考试 高三数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . R ， 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 A ， | 1B x x，则 B （ ） A 1,2 B 1,0,1, 2 C 3, 2, 1, 0 D 2 数421(1 ) 1 对应的点在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 中，角 ,对边分别为 ,“ ”是“ ”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 )3，且2 ，则 的值为（ ） A 429B 229C. 229D 输出 K 的值为（ ） A 98 B 99 C. 100 D 101 1192 1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期 的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为 ，若方田的四边形到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注： 240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算） A 10 步， 50 步 B 20 步， 60 步 ， 70 步 D 40 步， 80步 该几何体的体积是（ ） A 16 B 20 C. 52 D 60 ) s i n ( 2 )12f x x ， ()函数 2 ( ) ( )y f x f x的一个单调递减区间是（ ） A 7 , 12 12B 5 , 12 12C. 2 , 33D 5 , 6632 ( | |)a x x d x，则在31()展开式中， x 的幂函数不是整数的项共有（ ） A 13 项 B 14 项 C. 15 项 D 16 项 等式组2 2 200y r （ r 为常数）表示的平面区域的面积为 ，若 , 13x 的最小值为（ ） A B 5 2 17C. 13D 752 1 ( 0 , 0 )xy 的左右焦点分别为12,点1x 轴的直线与该双曲线的左支交于 ,2,y 轴于 ,2周长为 12，则 得最大值时该双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C. 22 D 2( ) 1xf x e a x b x ，其中 , ， e 为自然对数的底数，若 (1) 0f ，()数 ()0,1) 内有两个零点，则 a 的取值范 围是（ ） A 22( 3, 1) B 2( 3, )e C. 2( , 2 2)e D 22( 2 6 , 2 2 ) 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 2 0 1 7, , ,x x ，若 2 1 ( 1 , 2 , , 2 0 1 7 )x i ，则1 2 2 0 1 7, , ,y y 2,1)A 绕原点按逆时针方向旋转 34，得到点 B ，则点 B 的坐标为 D的大小为 45 ， A 点在平面 内， B 点在 ，且 45，则 平面 所成的角的大小为 且满足 | | | | ( 0 )，向量组1 2 3,x x m 和两个 n 排列而成，向量组1 2 3,y y m 和一个 n 排列而成，若1 1 2 2 3 3x y x y x y所有可能值中的最小值为 24m ，则 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知等差数列 n 项和为1 4 ， 0，2 14 （ 2m 且*） . （ 1）求 m 的值； （ 2）若数列 na b*()，求数列 ( 6) 的前 n 项和 18. 如图，三棱柱 中，侧面 边长为 2 的菱形，且3，212，四棱锥 F 的体积为 2，点 F 在平面 的正投影为 G ，且 G 在点 M 是线段 ，且 14F （ 1）证明：直线 /面 （ 2）求二面角 M 的余弦值 19. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 1下浮 10% 2下浮 20% 3下浮 30% 40% 5上浮 10% 6通死亡事故 上浮 30% 某机构为了 某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 60 辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 110 5 5 20 15 5 以这 60 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （ 1）按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定， 950a ，记 X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求 X 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字） （ 2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保 费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损 5000 元，一辆非事故车盈利 10000 元： 若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； 若该销售商一次购进 100 辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值 20. 设 ,M N T 是椭圆 22116 12上三个点， ,x 上的射影分别为11, （ 1）若直线 原点 O ，直线 ,T 斜率分别为12,证：12 （ 2）若 , L 坐标为 (3,0) ，11M 面积之比为 5，求 点 K 的轨迹方程 21. 已知函数 ( ) 1 )f x m x， ( ) ( 1 )1xg x （ 1）讨论函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x在 ( 1, ) 上的单调性； （ 2）若 ()y f x 与 ()y g x 的图象有且仅有一条公切线，试求实数 m 的值 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 c o ss a （ 0a ， 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程3c o s ( )32 （ 1）若曲线 C 与 l 只有一个公共点，求 a 的值； （ 2） , 上的两点，且3，求 的面积最大值 等式选讲 设函数 ( ) | 1 | | 2 1 |f x x x 的最大值为 m （ 1）作出函数 () （ 2）若 2 2 223a c b m ，求 2ab 的最大值 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 16 14. 3 2 2( , )2215. 30 16. 83三、解答题 17.（ 1）由已知得：1 4m m S ， 且1 2 2 14m m m ma a S S ， 设数列 d ，则有 2 3 1 4， 2d ， 由 0，得1 ( 1 ) 202 ，即1 11 ( 1 ) 2 1 4ma a m m 5m （ 2）由（ 1）知，1 4a ， 2d ， 26， 23 lo g ，得 32. 32( 6 ) 2 2 2b n n 设数列 ( 6) 前 n 项和为1 0 3 21 2 2 2 ( 1 ) 2 2n n 0 1 2 12 1 2 2 2 ( 1 ) 2 2n n ，得： 1 0 2 12 2 2 2 1 12 (1 2 ) 212n 111222 1*1( 1 ) 2 ( )2n n N 18.（ 1）因为四棱锥 F 的体积为 2， 即 13 4 2 234F A B E G ，所以 3 又 212B C E F，所以 32即点 G 是靠近 A 的四等 分点， 过点 G 作 /D 交 点 K ，所以 3344G K A D C F又 34F，所以 K 且 /K 所以四边形 平行四边形 所以 /K ，所以直线 /面 （ 2）设 ,D 的交点为 O ， 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴，过点 O 作平面垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， (0, 1,0)A ， ( 3, 0, 0)B ， 1(0, , 3 )2F ， 3 3 5( , , 3 )44M ， ( 3 , 1, 0 ) ， 35( , , 3 )44 ， 1( 3 , , 3 )2 ， 设平面 法向量为 , 00m M ，则 (1, 3 , 1)m ， 00n F ，则 1(1, 3 , )2n 7 8 5c o | | |，即为所求 . 19.（ 1）由题意可知： X 的可能取值为 0 . 9 , 0 . 8 , 0 . 7 , , 1 . 1 , 1 . 3a a a a a a 由统计数据可知： 1( 0 6P X a， 1( 0 12P X a， 1( 0 12P X a， 1()3P X a， 1( 1 4P X a， 1( 1 12P X a 所以 X 的分布列为： X a 161121121314112所以1 1 1 1 1 1 1 1 . 9 1 1 3 0 50 . 9 0 . 8 0 . 7 1 . 1 1 . 3 9 4 26 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 a a a a a a （ 2）由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为 13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为 3 1 231 1 2(1 ) ( )3 3 3 2027设 Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润， Y 的可能取值为 0000 所以 Y 的分布列为： Y 0000 P 1323所以 125 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 033 所以该销售商一次购进 100 辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100 50万元 20.（ 1）设 ( , )M p q ， ( , )N p q ，00( , )T x y，则 22012 220又222200116 12116 12 ，两式相减得： 2 2 2 200 01 6 1 2x p y q， 即 2202203412 34（ 2）设直线 x 轴相交于点 ( ,0) 1 | 3 | | |2M N L M NS r y y 1 1 1 11 5 | |2M N L M NS y y 由于11 5M N L M N 且11| | | |M N M Ny y y y ，得 11115 | | 5 | 3 | | |22M N M Ny y r y y ， 4r （舍去）或 2r 即直线 过点 (2,0)F ，设1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y，00( , )K x y当直线 直于 x 轴时，弦 点为 (2,0)F 当直线 x 轴不垂直时，设 方程为 ( 2)y k x，则 22116 12( 2)k x 2 2 2 2( 3 4 ) 1 6 1 6 4 8 0k x k x k 212 21634k ， 212 21 6 4 834k ， 20 2834kx k ，0 2634ky k ， 消去 k ，整理得： 22 0004( 1 ) 1 ( 0 )3 综上所述，点 K 的轨迹方程为 22 4( 1 ) 1 ( 0 )3 . 21.（ 1） 221 ( 1 ) 1( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) ( 1 )m m xF x f x g x x x x ， 1x ， 当 0m 时， ( ) 0，函数 () 1, ) 上单调递减； 当 0m 时，令 ( ) 011 ，函数 ()( 1, 1 )m 上单调递减； ( ) 011x m ，函数 ()( 1 , )m 上单调递增， 综上所述，当 0m 时， () 1, ) ；当 0m 时， ()1, 1 )m ； 单增区间是 1( 1 , )m . （ 2）函数 ( ) 1 )f x m x在点 ( , 1)a m a 处的切线方程为l n ( 1 ) ( )1my m a x ， 即 l n ( 1 )11m m ay x m 函数 ()1x 在点 1( ,1 )1b b 处的切线方程为211(1 ) ( )1 ( 1 )y x ， 即 2221( 1 ) ( 1 ). ()y f x 与 ()y g x 的图象有且仅有一条公切线 所以2221 (1 )1 ( 1 )l n ( 1 ) ( 2 )1 ( 1 )a 有唯一一对 ( , )足这个方程组，且 0m 由（ 1）得： 21 ( 1)a m b 代入（ 2）消去 a ，整理得： 22 l n ( 1 ) l n 1 01m b m m ，关于 ( 1) 的方程有唯一解 令 2( ) 2 l n ( 1 ) l n 11g b m b m m 222 2 2 ( 1 ) 1 () 1 ( 1 ) ( 1 )m m b b b 方程组有 解时， 0m ，所以 ()( 1, 1 )m 单调递减，在 1( 1 , )m 单调递增 所以m i n 1( ) ( 1 ) l n 1g b g m m 因为 b ， () ， 1b ， () ， 只需 0m m m 令 ( ) l n 1m m m m ( ) 在 0m 为单减函数 且 1m 时， ( ) 0m ，即m a x( ) (1 ) 0m所以 1m 时，