单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性 （2 课时） 一、 教学目标： 1、 理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念 2、 会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性 3、 通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习 数学的重要思想方法之一 二、 教学重、难点 1、 正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值； 2、 了解周期性及一般函数周期性的定义，会求简单函数的周期性； 3、 利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法 三、情感态度与价值观 1、由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的 关系，形成一种辩证统一的思想； 2、通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析 问题、解决问题的能力。 四、教学过程 尝试回忆 1、1 弧度的角；2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧 度制表示第一象限内的角的集合和 x 轴上的角的集合。 2、特别注意：角度与弧度不要混用。如 ，应写成09,kZ 或0189,kkZ,2kZ 3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？ 由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，由直角中的边之比定义，推广到直角坐标 系中的坐标定义。 探究新知 1、单位圆 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。 单位长：可以是 1cm、1m、1km、1 光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。 2、任意角的正、余弦函数定义 在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角 ，使角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点 P(u,v)，则交点 P 的纵坐标 v 叫作角 的正弦函数， 记作 v=sin; 点 P 的横坐标 u 叫作角 的余弦函数,记作 u=cos. 通常，用 x 表示自变量，用 x 表示角的大小，用 y 表示函数值，因此 定义任意角的三角函数 y=sinx 和 y=cosx,定义域为 R，值域为-1，1。 补充：人教版定义: 设点 P（x,y）是角 终边上除原点之外的任意一点，记 2rxy 则定义 更具有一般性。sin,cos.yxrr 3、三角函数值的符号 根据定义，三角函数值的符号仅与点 P 的纵、横坐标的符号有关。sin 在一、二象 限为正，三、四象限为负；cos 在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函 x y P(a,b) O 2 数值也有符号。 表 1-5 中的数据变化特点：说对称性可以，说周期性可以，说正余弦函数图像关系可 以。 4、单位圆与周期性 在单位圆中找到角 等与单位圆的交点，说明：（1）终边没变；,2,466 （2）交点没变；（3）交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没 变。即 sin(4)sin()sin,co()cos(2)cos.6 从而说明终边相同的角的正弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等。即i(2)i,.c(2)s,.kxkZxkZ 说明：对于任意一个角 x，每增加 的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变。 所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。这种随自变量的变化函 数值呈周期性变化的函数叫做周期函数。特别指出，周期性不是三角函数特有的，一般函 数也有周期性。周期函数的自变量不一定是角。 是 的周期，则2sin,yxR 都是它的周期，并且它的所有周期中有一个最小的正数 ，称 为它2,0kZ 2 的最小正周期。同理 也是 的最小正周期。有的周期函数没有最小正周2cos,yxR 期，如 任意一个正数都是它的周期，但没有一个最小的正数。(),.fxR 周期函数的严格定义：一般地，对于函数 ，如果存在非零常数 ,对定义域内的()fxT 任意一个 值，都有 ，则称 为周期函数， 为它的一个周期。x()(fxTf 周期函数的常见变化求法有 2 种：（1） ，看似不周期函数，但变(2)(fxfx 形后是！ 即 .（2）(2)()()fxfx4)f 变形为()f 。 ()2)(4)(8)(ffffxfxf 典型题例探究 例 1：已知角 的终边落在直线 y2x 上，求 sin 和 cos 的值 【自主解答】 法一：由Error!得Error!或Error!. 即直线 y2x 与单位圆 x2y 21 的交点为 P1( ， )和 P2( ， ) 55 255 55 255 Error!或Error! 法二：当 的终边在第一象限时，取终边上一点 P(1,2)r|OP| ，12 22 5 3 sin ，cos . yr 25 255 xr 15 55 当 的终边在第三象限时，同理可求得 sin ，cos . yr 25 255 xr 15 55 方法探究：1已知角 的终边在直线上，求 的三角函数值，常用的解题方法有以下 两种:(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相 应三角函数值 (2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标( a，b)， 则对应角的正弦值 sin ，余弦值 cos . ba2 b2 aa2 b2 2当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分 类讨论 变式训练：已知角 的终边过点 P(3a,4a)(a 0) ，求 2sin cos 的值 【解】 r 5| a|，若 a0，则 r5a， 3a2 4a2 sin ，cos ，2sin cos 1. yr 4a5a 45 xr 3a5a 35 85 35 若 a0， 240是第三象限角，cos 2400，sin( )cos 3.60. 145 规律方法： 1判断三角函数值的符号关键是看角 的终边所在的象限位置，若角 的终边位置难 以判断应先利用 2k (kZ )进行转化 2判断三角函数值的符号的步骤： (1)先观察角 所在终边所在象限；(2)判断角 各个三角函数值的符号；(3)给出最后的 结论 变式训练：判断下面各式的符号： (1)sin 105cos 230；(2)sin cos ；(3)cos 6sin 6. 78 78 例 3：求下列各角的三角函数值： (1)sin( )；(2)cos 1500 ； (3)sin ；(4)cos . 236 174 253 【思路探究】 当角 不在 02 之间时，常利用“终边相同的角的三角函数值相等” ， 把该角转化到 02 之间，再求值 【自主解答】 (1)sin( )sin(4 )sin . 236 6 6 12 (2)cos 1500 cos(436060)cos 60 .(3)sin sin(22 )sin . 12 174 4 4 22 (4)cos cos(24 )cos . 253 3 3 12 变式训练：(1)求值：sin 1 470；(2)求值：cos