2014年广东高考文科数学卷真题【配答题卷及答案】

绝密启用前 试卷类型：A 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科） 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号 填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在 答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、 多涂的，答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式 ，其中 为锥体的底面积， 为锥体的高。 13Vshh 一组数据 的方差 其12,nxL 22221()()(),nxxxL 中 表示这组数据的平均数. 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则2,34M0,23NMNI A. B. C. D. 0,43,5 2. 已知复数 满足 ，则z()5izz A. B. C. D. 34i3ii4i 3. 已知向量 ， ，则(1,2)a r(3,)brar A. B. C. D. (,1(2,0)(4,3) 4. 若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值等于xy 28043xyzxy A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 5. 下列函数为奇函数的是 A. B. C. D. 12x2sinx2cos1x2x 6. 为了了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本， 则分段的间隔为 A. 50 B. 40 C. 25 D. 20 7. 在 中，角 所对应的变分别为 ，则 是 的 ABC, ,abcb“”siniAB“” A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 8. 若实数 满足 ，则曲线 与曲线 的k05 2165xyk22165xky A. 实半轴长相等 B. 虚半轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 9. 若空间中四条两两不相同的直线 ， ， ， ，满足 ， ， ，则下1l23l412l3/l4l 列结论一定正确的是 A. B. 14l14/l C. 与 既不平行也不垂直 D. 位置关系不确定与 10. 对任意复数 ， ，定义 ，其中 是 的共轭复数，对任意复数1w2121w2w ，有如下四个命题：123,z 1231323zzz1231213zzz 则真命题的个数是 数学试卷（文科） 3 / 14 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. （一）必做题（1113 题） 11. 曲线 在点 处的切线方程为 .3xye(0,2) 12. 从字母 中任取两个不同的字母，则取到字母 的概率为 .,abcd a 13. 等比数列 的各项均为正数且 ，则n154a .21223242loglloglloga （二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 与 的方程分别为1C2 与 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，2cosincos1 x 建立平面直角坐标系，则曲线 与 的交点的直角坐标为 .C2 15. （几何证明选讲选做题）如图 1，在平行四边形 中，点 E 在 上且ABCDAB , 与 交于点 ，则 .2EBADEFDAE的 周 长的 周 长 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 532()sin(),().31fxAxRf （1）求 的值； （2）若 ，求 .(),(0,)2f()6f 17 （本小题满分 13 分） 某车间 20 名工人年龄数据如下表： 年龄（岁） 工人数（人） 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 （1）求这 20 名工人年龄的众数与极差； （2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图； （3）求这 20 名工人年龄的方差. 18. （本小题满分 13 分） 如图 2，四边形 为矩形， 平面 ， ,作如图 3ABDCPABCD1,2PC 折叠，折痕 ，其中点 分别在线段 上，沿 折叠后点 叠在线段EF ,EF,EF 上的点记为 ，并且 .ADM （1）证明： 平面 ;C （2）求三棱锥 的体积.DE C E F P B A D P A D C B F E M 数学试卷（文科） 5 / 14 19. （本小题满分 14 分） 设各项为正数的数列 的前 和为 ,且 满足nanS （ ）22(3)()0nnSS*N （1）求 的值; 1a （2）求数列 的通项公式;n （3）证明:对一切正整数 ,有 12 11()()()3naaa 20. （本小题满分 14 分） 已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 2:1(0,)xyCab5,053 （1）求椭圆 的标准方程; （2）若动点 为椭圆 外一点,且点 到椭圆的两条切线相互垂直,求点 的轨0(,)PxyCPP 迹方程. 21. （本小题满分 14 分） 已知函数 .321()1()fxaxR （1）求函数 的单调区间; （2）当 时,试讨论是否存在 ,使得 .0a01,2x01()2fxf 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科）答题卷 选择题 填空题 解答题 题号 110 1115 16 17 18 19 20 21 总分 得分 【选择题答题区】 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 【非选择题答题区】以下为非选择题答题区，必须用黑色签字笔或黑色钢笔在指定的区域 作答，否则答案无效。 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（913 题） 11. _ 12. _ 13. _ （二）选做题（1415 题，考生从中选做一题） 14. _ 15. _ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16. （本小题满分 12 分） 数学试卷（文科） 7 / 14 17. （本小题满分 13 分） 18. （本小题满分 13 分） 19. （本小题满分 14 分） 20. （本小题满分 14 分） 数学试卷（文科） 9 / 14 21. （本小题满分 14 分） 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. B 2. D 3. B 4. C 5. A 6. C 7. A 8. D 9. D 10. B 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 11. 12. 13. 5 14. 15. 3520xy(1,2) 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16. 553232:(1)sin()sin, .2124:)3,(sin()3sin()3sincocos()in363sinsin,(0,)2fAAAfxx解 由 得 26cos1sin3()3i(3in()3c66f 17. 解： 1200,4192.这 名 工 人 年 龄 的 众 数 为 极 差 为 (2)茎叶图如下: 数学试卷（文科） 11 / 14 1928930124 22222(83053140) : 3,20:()()(541011(34205.6 年 龄 的 平 均 数 为故 这 名 工 人 年 龄 的 方 差 为 0018.:():, ,.(2),6,3,1=,PDABCPDPCABDCMMPCFFFFCDEC 解 证 明 平 面 平 面 平 面平 面 平 面 平 面 平 面平 面 又 平 面平 面 平 面 又 易 知从 而 222212,=,331, ,486(),41136.38DMCDE EPPSVS即221111 122 22219.:():()0,60,(3)0,0,.3,:(3),(), ,1nnnnnnSSSaS naNS 解 令 得 即 即由 得 从 而当 时122 12,().33(3) (),64111)()()()4144()()1()()kakka kkkaa 又 当 时 ()1143()4441(). nannn 数学试卷（文科） 13 / 14 22200202520.:(1),3,954,1.94(), ,(3),.(),(), 194941ceabcaxyCykxxykxy 解 椭 圆 的 标 准 方 程 为 :若 一 切 线 垂 直 轴 则 另 一 切 线 垂 直 于 轴 则 这 样 的 点 P共 个 ,它 们 的 坐 标 分 别 为若 两 切 线 不 垂 直 于 坐 标 轴 设 切 线 方 程 为即 将 之 代 入 椭 圆 方 程 中 并 整 理 得 :00222220 0 2 000 1228()(),()36()4(9),4, ,:11,(,2)kxkykxyxky依 题 意即 : 即两 切 线 相 互 垂 直 即显 然 这 四 点 也 满 Q13.Px足 以 上 方 程点 的 轨 迹 方 程 为22 21.:(),0:4,0(),(),).1(,1),()0,(), ,(fxaxaaaffxxaffxf 解 方 程 的 判 别 式当 时 此 时 在 上 为 增 函 数当 时 方 程 的 两 根 为当 时 此 时 为 增 函 数当 时 此 时 为 减 函 数当 ),(),(),1,( ,1,(1,)()().fxafxaaf时 此 时 为 增 函 数综 上 时 在 上 为 增 函 数当 时 的 单 调 递 增 区 间 为的 单 调 递 减 区 间 为 323200032000 0200200(2) 1)(1()()1)(