2017年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 有一项是符合题目要求的） 1设集合 A=x|x=2n， n N*， B=x 2，则 A B=（ ） A 2 B 2， 4 C 2， 3， 4 D 1， 2， 3， 4 2若复数 z 满足（ 1 i） z=i，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知命题 p：对任意 x R，总有 2x q： “1“是 “a 1， b 1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A p q B p q C p q D p q 4已知函数 f（ x） =0 a 1），则函数 y=f（ |x|+1）的图象大致为（ ） A B C D 5运行如图的程序框图，如果输出的数是 13，那么输入的正整数 n 的值是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 6下列结论中错误的是（ ） A若 0 ，则 若 是第二象限角，则 为第一象限或第三象限角 C若角 的终边过点 P（ 3k， 4k）（ k 0），则 D若扇形的周长为 6，半径为 2，则其中心角的大小为 1 弧度 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 16 B 8 C D 8已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线被圆（ x c） 2+得弦长为 2b（其中 c 为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 9设变量 x， y 满足约束条件 ，若目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为6，则实数 a 等于（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 10定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x+2） =f（ 2 x），当 x 0， 2时， f（ x）= 4x若在区间 a， b上，存在 m（ m 3）个不同整数 i=1， 2， ， m），满足 |f（ f（ ） | 72，则 b a 的最小值为（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分） 11已知向量 ， ，其中 | |=2， | |=1，且（ + ） ，则 | 2 |= 12在（ 4， 4）上随机取一个数 x，则事件 “|x 2|+|x+3| 7 成 立 ”发生的概率为 13在二项式（ ） 5 的展开式中，含 项的系数是 a，则 x 1 14对于函数 y=f（ x），若其定义域内存在不同实数 得 =1（ i=1，2）成立，则称函数 f（ x）具有性质 P，若函数 f（ x） = 具有性质 P，则实数 15已知抛物线 C： x 焦点为 F，直线 焦点 F 且与抛物线 C 交于 M， P 为抛物线 C 准线 l 上一点且 接 y 轴于 Q 点，过 Q 作点 D，若 |2|则 | 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分 明过程或演算步骤） 16在 ，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知 A 为锐角，且a （ 1）求角 A 的大小； （ 2）设函数 f（ x） = 0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为 ，将函数 y=f（ x）的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（ x）图象，求函数 g（ x）在区间 ， 上值域 17如图，在四棱锥 P 底面 直角梯形， 0， 等边三角形，且侧面 底面 E， F 分别是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求平面 平面 成的二面角（锐角）的余弦值 18甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮该小组最多参加三轮活动已知每一轮甲猜对歌名的概率是 ，乙猜对歌名的概率是 ，丙猜对歌名的概率是 甲、乙、丙猜对互不影响 （ 1）求该小组未能进入第二轮的概率； （ 2）记乙猜对歌曲的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 19已知数列 等差数列，其前 n 项和为 列 公比大于 0 的等比数列，且 2， a3+ 1， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 ，求数列 前 n 项和 20已知椭圆 C 与双曲线 有共同焦点，且离心率为 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 1）设 A 为椭圆 C 的下 顶点， M、 N 为椭圆上异于 A 的不同两点，且直线 N 的斜率之积为 3 试问 M、 N 所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由； 若 P 点为椭圆 C 上异于 M， N 的一点，且 |求 面积的最小值 21设函数 f（ x） =x， g（ x） =a（ 1） （ 1）判断函数 y=f（ x）零点的个数，并说明理由； （ 2）记 h（ x） =g（ x） f（ x） + ，讨论 h（ x）的单调性； （ 3）若 f（ x） g（ x）在（ 1， + ）恒成立，求实数 a 的取值范围 2017 年山东 省潍坊市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 有一项是符合题目要求的） 1设集合 A=x|x=2n， n N*， B=x 2，则 A B=（ ） A 2 B 2， 4 C 2， 3， 4 D 1， 2， 3， 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解： A=x|x=2n， n N*=2， 4， 6， ， B=x 2=x|0 x 4， A B=2， 4， 故选： B 2若复数 z 满足（ 1 i） z=i，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由条件求出 z，再根据复数与复平面内对应点之间的关系，可得结论 【解答】 解：由（ 1 i） z=i，可得 z= = = = + i，它在复平面内对应的点的坐标为（ ， ）， 故选： B 3已知命题 p：对任意 x R，总有 2x q： “1“是 “a 1， b 1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A p q B p q C p q D p q 【考点】 复合命题的真假 【分析】 命题 p：是假命题，例如取 x=2 时， 2x 与 等 q：由 “a 1， b 1”： “1”；反之不成立，例如取 a=10， b= 进而判断出结论 【解答】 解：命题 p：对任意 x R，总有 2x 假命题，例如取 x=2 时， 2x与 等 q：由 “a 1， b 1”： “1”；反之不成立，例如取 a=10， b= “1“是 “a 1， b 1”的必要不充分条件，是假命题 下列命题为真命题的是 p （ q）， 故选： D 4已知函数 f（ x） =0 a 1），则函数 y=f（ |x|+1）的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 利用特殊点代入计算，排除即可得出结论 【解答】 解：由题意， x=0， y=f（ 1） =0，排除 C， D x=1， y=f（ 2） 0，排除 B， 故选 A 5运行如图的程序框图，如果输出的数是 13，那么输入的正整数 n 的值是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行过程，分析循 环中各变量值的变化情况，可得 8 n 7，即可得解输入的正整数 n 的值 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 A=1， B=1， k=3 满足条件 k n，执行循环体， C=2， A=1 B=2， k=4 满足条件 k n，执行循环体， C=3， A=2 B=3， k=5 满足条件 k n，执行循环体， C=5， A=3 B=5， k=6 满足条件 k n，执行循环体， C=8， A=5 B=8， k=7 满足条件 k n，执行循环体， C=13， A=8 B=13， k=8 由题意，此时应该不满足条件 8 n，退出循环，输出 C 的值为 13， 可得： 8 n 7，所以输入的正整数 n 的值是 7 故选： C 6下列结论中错误的是（ ） A若 0 ，则 若 是第二象限角，则 为第一象限或第三象限角 C若角 的终边过点 P（ 3k， 4k）（ k 0），则 D若扇形的周长为 6，半径为 2，则其中心角的大小为 1 弧度 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 利用任意角的三角函数的定义，象限角的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论 【解答】 解：若 0 ，则 ，故 A 正确； 若 是第二象限角，即 （ 22）， k Z，则 （ ），为第一象限或第三象限，故 B 正确； 若角 的终边过点 P（ 3k， 4k）（ k 0），则 = ，不一定等于 ，故 C 不正确； 若扇形的周长为 6，半径为 2，则弧长 =6 2 2=2，其中心角的大小为 =1 弧度， 故选： C 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 16 B 8 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为 2，高为 4，利用圆锥的体积公式，求出几何体的体积 【解 答】 解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为 2，高为 4，几何体的体积为 = ， 故选 D 8已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线被圆（ x c） 2+得弦长为 2b（其中 c 为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆（ x c） 2+得弦长为 2b，结合勾股定理，推出 a， b， c 关系，即可求出双曲线的离心率 【解答】 解：双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 bx+，圆（ x c） 2+圆心到双曲线的渐近线的距离为： ， 渐近线被圆（ x c） 2+得的弦长为： 2b， b2+ e= 故选： B 9设变量 x， y 满足约束条件 ，若目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为6，则实数 a 等于（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，判断目标函数的最优解，求解 a 即可 【 解答】 解：变量 x， y 满足约束条件 的可行域如图， 目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为 6， 可知目标函数的最优解为： B， 由 ，解得 B（ 6， 0）， 6=a| 6|，解得 a= 1； 故选： D 10定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x+2） =f（ 2 x），当 x 0， 2时， f（ x）= 4x若在区间 a， b上，存在 m（ m 3）个不同整数 i=1， 2， ， m），满足 |f（ f（ ） | 72，则 b a 的最小值为（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 【考点】 函数的周期性 【分析】 根据已知可得函数周期为 8，且函数的图形关于 x=2 对称，从而画出函数图象，结合图象，要使 b a 取最小值，则不同整数 极值点即可 【解答】 解：定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x+2） =f（ 2 x），得 f（ x+2+2）=f（ 2 x 2） =f（ x） = f（ x），即 f（ x+4） = f（ x）， 则 f（ x+4） = f（ x+4） = f（ x） =f（ x） f（ x）的周期为 8函数 f（ x）的图形如下： 比如，当不同整数 别为 1， 1， 2， 5， 7时， b a 取最小值， f（ 1） = 4， f（ 1） =4， f（ 2） =0， ，则 b a 的最小值为 18， 故选： D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分） 11已知向量 ， ，其中 | |=2， | |=1，且（ + ） ，则 | 2 |= 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据（ + ） 得出（ + ） =0，求出 的值，再计算 从而求出 | 2 | 【解答】 解：向量 ， 中， | |=2， | |=1，且（ + ） ， （ + ） = + =0， = = 4， = 4 +4 =4 4 （ 4） +4 1=24， | 2 |=2 故答案为： 2 12在（ 4， 4）上随机取一个数 x，则事件 “|x 2|+|x+3| 7 成立 ”发生的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 本题利用几何概型求概率先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间（ 4， 4）的长度求比值即得 【解答】 解：利用几何概型，其测度为线段的长度 由不等式 |x 2|+|x+3| 7 可得 x 3， x+2 x 3 7， x 4； 3 x 2， x+2+x+3 7，无解； x 2， x 2+x+3 7， x 3 故原不等式的解集为 x|x 4 或 x 3， 在（ 4， 4）上随机取一个数 x，则事件 “|x 2|+|x+3| 7 成立 ”发生的概率为 P= = 故答案为 13在二项式（ ） 5 的展开式中，含 项的系数是 a，则 x 1 【考点】 定积分；二项式系数的性质 【分析】 利用二项式定理求出 a=10，从而 x 1x 1此能求出结果 【解答】 解：对于 = （ 5 r（ ） r=（ 1） r 3r， 由 10 3r=4，得 r=2， 则 项 的系数 a= 1） 2=10， x 1x 1dx= 故答案为： 14对于函数 y=f（ x），若其定义域内存在不同实数 得 =1（ i=1，2）成立，则称函数 f（ x）具有性质 P，若函数 f（ x） = 具有性质 P，则实数 【考点】 函数的值 【分析】 由题意将条件转化为：方程 a 在 R 上有两个不同的实数根，设 g（ x）=求出 g（ x），由导数与函数单调性的关系，判断出 g（ x）在定义域上的单调性，求出 g（ x）的最小值，结合 g（ x）的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图象求出实数 a 的取值范围 【解答】 解：由题意知：若 f（ x）具有性质 P， 则在定义域内 x） =1 有两个不同的实数根， ， ， 即方程 a 在 R 上有两个不同的实数根， 设 g（ x） = g（ x） =ex+ 1+x） 由 g（ x） =0 得， x= 1， g（ x）在（ ， 1）上递减，在（ 1， + ）上递增， 当 x= 1 时， g（ x）取到最小值是 g（ 1） = ， x 0， g（ x） 0、 x 0， g（ x） 0， 当方程 a 在 R 上有两个不同的实数根时， 即函数 g（ x）与 y=a 的图象有两个交点， 由图得 ， 实数 a 的取值范围为 ， 故答案为： 15已知抛物线 C： x 焦点为 F，直线 焦点 F 且与抛物线 C 交于 M， P 为抛物线 C 准线 l 上一点且 接 y 轴于 Q 点，过 Q 作点 D，若 |2|则 | +2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 直线 方程为 y=k（ x 1），代入抛物线方程可得 2）x+，求出 k 的值可得 M 的坐标，即可得出结论 【解答】 解：设 M（ N（ 直线 方程为 y=k（ x 1），代入抛物线方程可得 2） x+ x1+ ， 2|可得 2（ ） =| ， = ， 1， 联立可得 + ， ， 2+ = ， 3 +4， +1， | +2， 故答案为 +2 三、解答题（ 共 6 小题，满分 75 分 明过程或演算步骤） 16在 ，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知 A 为锐角，且a （ 1）求角 A 的大小； （ 2）设函数 f（ x） = 0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为 ，将函数 y=f（ x）的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（ x）图象，求函数 g（ x）在区间 ， 上值域 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由正弦定理可得 ： 于 ，利用两角和的正弦函数公式可求 值，结合 A 的范围即可得解 A 的值 （ 2）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） =2x ），由已知可求 T，利用周期公式可求 ，利用三角函数平移变换可求 g（ x） =2x+ ），由 x 的范围，利用正弦函数的性质可求 g（ x）的值域 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） a， 由正弦定理可得： A 为锐角， 0， ，可得： B+C） =， A= （ 2） A= ，可得： ， f（ x） = 2x ）， 其图象上相邻两条对称轴间的距离为 ，可得： T=2 = ，解得： =1， f（ x） =2x ）， 将函数 y=f（ x）的图象向左平移 个单位，得到图象对应的函数解析式为 y=g（ x） =（ x+ ） =2x+ ）， x ， ，可得： 2x+ ， ， g（ x） =2x+ ） ， 1 17如图，在四棱锥 P 底面 直角梯形， 0， 等边三角形，且侧面 底面 E， F 分别是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求平面 平面 成的二面角（锐角）的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）连结 O，连结 导出四边形 平行四边形，从而 而 O 是 点，由此得到 而能证明 平面 （ 2）以 F 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 平面 成的二面角（锐角）的余弦值 【解答】 证明：（ 1）连结 O，连结 0， E， F 分别是 中点 F， 四边形 平行四边形， O 是 点， 面 面 平面 解：（ 2） 在四棱锥 P 底面 直角梯形， 0， 等边三角形，且侧面 底面 F 是 中点， 平面 以 F 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，则 D（ 0， ， 0）， C（ 1， ， 0）， P（ 0， 0， ）， E（ ， ）， F（ 0， 0， 0）， =（ 0， ， 0）， =（ ， ）， =（ 1， ， ）， =（ 0， ， ）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 z=1，得 =（ ， 0， 1）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， 则 ，取 b= ，得 =（ 0， ， 1）， = = = ， 平面 平面 成的二面角（锐角）的余弦值为 18甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮该小组最多参加三轮活 动已知每一轮甲猜对歌名的概率是 ，乙猜对歌名的概率是 ，丙猜对歌名的概率是 甲、乙、丙猜对互不影响 （ 1）求该小组未能进入第二轮的概率； （ 2）记乙猜对歌曲的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）设 “该小组未能进入第二轮 ”为事件 A，其对立事件为 ，则 P（ A）=1 P ，即可得出 （ 2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1）设 “该小组未能进入第二轮 ”为事件 A，其对立事件为 ，则 P（ A） =1 P =1 = （ 2）由题意可得： 的可能取值为 0， 1， 2， 3 P（ =0） = = ， P（ =1） = + + = ， P（ =3） = = ， P（ =2） =1 P（ =0） P（ =1） P（ =3） = 的分布列为： 0 1 2 3 P +1 +3 = 19已知数列 等差数列，其前 n 项和为 列 公比大于 0 的等比数列，且 2， a3+ 1， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）设等差数列 公差为 d，等比数列 公比为 q 0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出 （ 2） 对 n 分类讨论，分组求和，利用 “错位相减法 ”与等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d，等比数列 公比为 q 0， 且 2， a3+ 1， 1， ， 1+2d+2q= 1， 3 （ 1） +3d+2 2 ， 解得 d= 2， q=2 1 2（ n 1） =1 2n， n （ 2） n=2k（ k N*）时，数列 前 n 项和 2k=（ c1+1） +（ c2+ =2k+（ + ）， 令 + ， = + + ， + = +4 ， 可得 2k=2k+ n=2k 1（ k N*）时，数列 前 n 项和 2k 2+1=2（ k 1） + +2 =2k+ ， k N* 20已知椭圆 C 与双曲线 有共同焦点，且离心率为 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 1）设 A 为椭圆 C 的下顶点， M、 N 为椭圆上异于 A 的不同两点，且直线 N 的斜率之积为 3 试问 M、 N 所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由； 若 P 点为椭圆 C 上异于 M， N 的一点，且 |求 面积的最小值 【考点】 圆锥曲线的综合 【分析】 （ 1）由题意，椭圆的焦点坐标为（ 0， ）， = ，由此能求出椭圆C 的标准方程 （ 2） 设直线 方程为 x=ky+m，联立 ，得（ ） 3=0由此利用韦达定理、直线斜率，结合已知条件，能求出直线 过（ 0，0） 推导出 在直线方程为 y= ，则 ，由此利用三角形面积公式、基本不等式性质，能求出 k= 1 时， 面积最小，并能求出最小值 【解答】 解：（ 1）由题意，椭圆的焦点坐标为（ 0， ）， = ， 设椭圆方程为 =1（ a b 0）， c= ， a= ， b=1， 椭圆 C 的标 准方程为 =1； （ 2） 若 斜率不存在，设 M（ N（ 则 = = 3， 而 ，故不成立， 直线 斜率存在， 设直线 方程为 x=ky+m， 联立 ，得（ ） 3=0 x1+ ， ， ， ， 直线 直线 率之积为 3 = = = = = 3， 整理得 m=0 直线 过（ 0， 0） 由 知 ， ， | 当 k 0 时，设 在直 线方程为 y= ，则 ， ， 当 k=0 时，也符合上式， S | = =3， 令 =t（ t 1）， k2=t 1， =3 ， t 1， 0 当 ，即 t=2 时， 取最大值 4， 当 ，即 k= 1 时， 面积最小，最小值为 21设函数 f（ x） =x， g（ x） =a（ 1） （ 1）判断函数 y=f（ x）零点的个数，并说明理由； （ 2）记 h（ x） =g（ x） f（ x） + ，讨论 h（ x）的单调性； （ 3）若 f（ x） g（ x）在（ 1， + ）恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断 【分析】 （ 1）求出函数的