2009现代数学概览(分析学部分)

2009 现代数学概览（分析学部分） 授课提纲 授课对象：2008 级数学教育硕士专业学位研究生班（10 位）. 授课时间：2009 年 3 月 10、17、24（周二晚上 18：3021：30） ，文科楼 302 教学宗旨：1.立足“分析” ，兼顾全貌；科学通俗，结合“两中” （中国、中学） ；通过现代 分析的概览对数学本行有“更了解、更深刻、更热爱”之裨益. 2.有别于研究型硕士生专业,只要求对泛函分析的思想和方法有一定了解. 任课教师：钟怀杰 参考文献： 1 徐利治，20 至 21 世纪数学发展趋势的回顾与展望，数学教育学报，9 卷 1 期，2000。 2 林革，数学奇才-陶哲轩，数学通报 2006 年 12 期（37 页） 3 张奠宙，话说无限，数学通报 2006 年 10 期（1 页） 4 院士访谈，千古存心事，欧高黎嘉陈访数学大师陈省身，百年潮，2007 年 4 期（27） （中央台大家专栏节目） 5 刘晓力等译，逻辑人生哥德尔传，上海科技教育出版社，2002 6 张顺燕，数学的美与理，北京大学出版社，2006 7 杨红萍，现代分析之父，数学通报，45 卷 1 期（2006）56-61。 8 郑学安，康托的集合定义与罗素悖论，数学通报，45 卷 2 期（2006）1-1。 9 张小平，挥舞逻辑魔杖的数学大师罗素，数学通报，45 卷 2 期（2006）28-29 10 钟怀杰，戴维纲，寻觅那弦外之音-话说一道高考题，福建中学数学，2005 年 7 期 32-34。 11 李文林，数学史教程，高等教育出版社，2000. 12 张奠宙等,数学史选讲,上海科学技术出版社.1998. 13 林艺,数学小百科,机械工业出版社,1999. 14 李昕生,数学科学与辨证法,首都师范大学出版社,1995. 15 I.马奥尔, 无穷之旅-关于无穷大的文化史(通俗数学名著译丛)上海教育出版社,2000. 16 王幼军等,著名数学家和他的一个重大发现,山东科学技术出版社,2001. 17 （美）.帕帕斯,数学趣闻集锦(通俗数学名著译丛),上海教育出版社,2001. 18 吴文俊主编,世界著名数学家传记(上、下),科学出版社,1995. 19 程民德,主编,中国现代数学家传,(14 卷),上海教育出版社 1994-2000. 20 蒋文蔚著,数学发现与成就,广西师范大学出版社,1996. 21 朱新民主编,科学史上的重大争论集,湖南科学技术出版社,1988. 22 王世强等,独立于 ZFC 的数学问题(北师大现代数学丛书),北京师范大学出版社,1992. 23 康.瑞德,希尔伯特,上海科学技术出版社,1982. 24 数学与联想,(通俗数学名著译丛)上海教育出版社,2000. 25 李心灿,当代数学大师,沃尔夫数学奖得主及其建树与见解,北京航空航天大学出版社,1999. 26 张远南,数学故事丛书,上海科学普及出版社,19901997(6 个分册). 1 无限中的有限-极限的故事2变量中的常量-函数的故事 3否定中的肯定-逻辑的故事 4偶然中的必然-概率的故事 5 未知中的已知-方程的故事 6抽象中的形象-图形的故事 27 (美)M.克莱因,数学:确定性的消失,(第一推动丛书).湖南科学技术出版社，1997。 28 李文林等译,数学:新的黄金时代(通俗数学名著译丛),上海教育出版社,2000(4) 29 吴振强等著,数学中的美数学美学初探.天津教育出版社,1997. 30 王士舫,科学技术发展简史,北京大学出版社,1997. 2 31 (美) M.克莱因,古今数学思想(14),上海科学技术出版社,1979-1981 32 R .柯朗,H.罗宾斯,数学是什么,湖南教育出版社,1985. 33 A.亚力山大洛夫,数学它的内容.方法.和意义(13),科学出版社,19621984. 34 L.戈丁,数学概观,科学出版社,1984. 35 邓东皋等,数学与文化,北京大学出版社,1990. 36 张光远,近现代数学发展概论,重庆出版社,1991. 32(美) H.伊夫斯,数学史上的里程碑,北京科学技术出版社,1990. 33 孙维梓译,跨越三维空间(数学科幻故事精选),上海科学技术教育出版社,1999. 34 任勇.张凡,任勇数学教学艺术与研究,(全国著名特级教师教学艺术与研究丛书),山东教育出版社, 2000. 35 胡作玄，邓明立，大有可为的数学，河北教育出版社，2006 36 张景中，数学与哲学，中国少年儿童出版社院士数学讲座专辑 ，2003 37 胡作玄，近代数学史，山东教育出版社，2006 38 王元，李文林译，美布。谢克特著，我的大脑敞开了-天才数学家保罗。爱多士传奇，上海译文 出版社，2002 39 严加安，想象力比知识更重要，中国数学会通讯，2008 年第 3 期 11-18（由 2008。6。19 在中科院研 究生院的演讲稿整理） 40 蔡天新，数学与人类文明，浙江大学出版社，2008 41 王梓坤，科学发现纵横谈，上海人民出版社，北师大出版社，1993 42 李建华，张英伯，英才教育之忧，数学通报，2009，48（6）：1-6 第一节 关于现代数学与分析学 1.1 现代数学的三个时期 现代数学的酝酿时期(19 世纪中叶,1820-1870) 现代数学的形成时期(19 世纪末至 20 世纪上半叶,1870-1940) 现代数学的繁荣时期(20 世纪下半叶至今,1950- ) 1.2 现代数学的众多分支 1.2.1 各种分类法 1 图书分类法: 中图分类,中科图分类,MR.AMS 分类,他国分类等. 2 教育分类法: 国务院学位委员会.研究生教育工作办制订的学科专业目录中,数学作为一 个一级学科,下属的 5 个二级学科为基础数学,应用数学,概率统计,计算数学,运筹学与控制论. 3 科研分类法: 国家自然科学基金委员会制订的学科目录中,数学作为一个一级学科,下属 的 3 个二级学科为 0101 基础数学 , 0102 应用数学, 0103 计算数学与科学工程计算.他们又分别有 下属的 3 级学科,合计为:11+6+6=23 个 0101 基础数学 (他的 11 个 3 级学科开列如下,他的 81 个 4 级学科分布如 下) 010101 数论 又含 6 个四级学科 010102 代数学 14 010103 几何学 9 3 010104 拓扑学 6 010105 函数论 7 010106 泛函分析 6 010107 常微分方程 8 010108 偏微分方程 6 010109 数学物理 5 010110 概率论 9 010111 数理逻辑与数学基础 5 0102 应用数学 (他的 6 个 3 级学科开列如下,他的 46 个四级学科分布如下) 010201 数理统计 又含 11 个四级学科 010202 运筹学 11 010203 控制论 9 010204 若干交叉学科 5（信息论，经济数学，生物数学，不确定性理论，分形） 010205 计算机的数学基础 5（可解性与可计算性，机器证明，计算复杂性,VLSI 的数学基础， 计算机网络与并行计算） 010206 组合数学 6 0103 计算数学与科学工程计算(他的 6 个三级学科和 30 个四级学科分布如下) 010301 偏微分方程数值计算 又含 7 个四级学科 010302 常微分方程数值解法 4 010303 数值代数 5 010304 函数逼近 5 010305 计算几何 5 010306 新型算法 4 由上所列，可以说数学科学按科研分类，共有 3 个二级学科，23=11+6+6 个三级学 科，157=81+46+30 个四级学科（分支）. 1.2.2 与(中学)数学教育内容的联系 * 从数学的本质和发展的流变看数学分支. * 与数学教育的联系:小学的算术(数学)-中学的数学(三分)-大学的“旧三高”- 研究生的“新三高”-研究生的 5 专业和多方向。 1.2.3 分析学的一般定位. 经典微积分- - 以泛函分析为基础的交叉和渗透.多 分 支 的 形 成数 学 分 析 的 完 善 与 发 展 1.3 现代数学的特点与趋势 1.3.1 现代数学的特点 1 高度的抽象与统一是现代数学的显著特点. 4 数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的一门科学.在现代科学技术迅猛发 展的背景下，数学现代性的 3 个基本特征：概念的高度抽象性、论证（推理）的极端 严谨性和应用的极其广泛性日益突出.由于后两点较好理解，容易接受，主要核心是第 一特征：抽象，完整地说是高度的抽象与统一. A、 概念与方法的高度抽象，既受实际背景的支配，又决定了实际应用背景的广泛 性. 数,从自然数扩展到实数、复数、超复数，再抽象到“数量”：向量，张量，直至有代数结 构的抽象集合中的元素. 形,从有形的、平直的、1、2、3 维空间到无形的 n 维、无限维直至抽象空间，包括弯曲空 间.在 Riemann(18261866)以前，微分几何的对象是 3 维空间中的曲线和曲面，方法是向 量分析；黎曼以后的对象是 n 维微分流形的向量场，方法是张量分析（向量分析方法已无 能为力） ，还引进“联络”结构，与理论物理爱恩斯坦广义相对论的引力场建立起横 向联系，找到实际背景. B、 抽象与统一的辩证关系. *小学算术中的四则应用题统一为代数方法求解. *为了统一必须抽象，有了抽象就能统一（扩大对象范围，扩大了应用对象） 在弹性力学是描写振动方程式 同一个微分方程式 流体力学描写流体动态，声学家称为声学方程 电子学家称为电报方程 * 高度抽象的两个特点 1、速度快、程度高. 2、抽向到超前于应用，追求自身独立、完美. 2.交叉渗透性（不仅内部各分支相互交叉渗透，而且向多学科交叉渗透）. 现代理论物理中杨振宁-米尔斯规范场与现代整体微分几何中陈省身研究的纤维丛之间的那种 紧密联系，到了令人惊叹的程度：二者的主要术语可以一一对应- 规范形式-主纤维丛； 规范势-（主纤维丛上的）联络； 相因子 -平行移动； 电磁作用-U（1）丛上的连络。 “物理几何是一家，一同携手到天涯”(陈省身诗句) 3. 电子计算机正在改变着现代数学的面貌.数学与理论计算机科学的不可分割. 4. 数学哲学(数学基础)真理的积极探索.(正确对待所谓的第三次数学危机). 1.3.2 现代数学发展趋势展望(参见1、37和10的 181-). 1. 非线性问题的研究将有大的发展. 2. 离散数学的研究将有大的发展. 3. 概率论与数理统计的作用不断扩大. 4. 计算数学将有大的发展. 5. 数学对生物学、经济学、管理学等的渗透进一步加强. 数学除了在自然科学中的应用外,在社会科学中的应用,最突出要算经济学和管理学.时至今日,一位 不懂数学的人决不会成为杰出的经济学家.1969 年到 1981 年间颁发的 13 个诺贝尔经济学奖中,有 7 个获奖工作是相当数学化的.例如 5 1975 年， Kantorovich, 由于对物资最优调拨理论的贡献; 1980 年, Klein, 设计预测经济变动的计算模式 1981 年, Tobin 投资决策的数学模型. “人类的智力活动中,未受数学影响而大为改观的领域已寥寥无几了.” 1.4 近 30 年来现代数学发展的三方面突出表现 1 数学开始从科学技术的幕后走到了前台，从“语言与工具”升格为“方法与技术” 。 2 随着应用日益广泛，各门科学技术对数学依赖性日益增强。数学对社会经济发展的推动作用日益 显著。 3 数学本身的发展受益于现代科学技术（尤其计算机技术）的发展。 第二节 分析学的健全和发展 2.1 从微积分的创立-“人类精神的最高胜利”说起 2.1.1 牛顿和莱布尼兹共建了微积分方法. 17 世纪是数学史上的英雄世纪，它使初等数学（常量数学）步入了近代数学（变量数学）. 1637 年，笛卡尔以发表哲学论著的形式完成了解析几何学的创建. 微积分的概念和法则几乎是 16 世纪下半叶后与近代力学同时产生和发展起来的，经历了一百年 的孕育.例如，德国天文学家、数学家开普勒于 1615 年发表酒桶的新立体几何学 ，就有了化曲为直,通 过微小元求和来求曲面（曲边梯形）的面积和立体的体枳的思想；费尔马于 1636 年提出了一个相当近代 定积分的方法：分割（矩形）求和，取极限（几何级数）求和公式）来求曲边梯形面积；帕斯卡也有类似 工作.（但是，由于历史的局限，牛-莱以前的数学家关注的具体几何问题或力学问题特有的解答方法， 未能提炼、升华为统一方法而形成一门新学科） ，创立具有普遍意义的抽象概念，提炼出具有普遍意义的 符号、规则和运算方法的微积分学的最后一棒接力棒，是在牛莱中独立完成的.以至于有过牛与莱在微 积分的功劳簿中孰为优先的争议. 2.1.2 微积分基础的理论缺陷导致了“第二次数学危机” 由于没有严格的逻辑基础，微积分理论的一些最基本的概念,含糊不清,导致了相当长的一段时 期的矛盾状况:一方面,人们因为微积分的运算的结果(结论)经得起实践的检验而不得不接受它(象小孩看 魔术表演一样);另一方面,人们又以理性思辩对它的混乱推证逻辑进行无情的揭露和批判. 混乱程度举例:根本不考虑是否可导(可微)性的可积性,也不考虑无穷级数的敛散性,就滥用运 算法则- 莱布尼兹:因为 =1-x+x -x +x -x +x -,故当以 x=1 代入时,就得 =1-1+1-x123456 21 1+1- 18 世纪最伟大的数学家欧拉: 0=1 -2 + 3 - 4 +(-1) n +121 拉格朗日(1797)在专著解析函数中确认连续函数一定可微,并一定可表成幂级数. 马克思的批判:略去高阶无穷小是 “暴力镇压” ， “肯定是通过不正确的数学途径得出了正确 的结果.” 18 世纪形成的微分方程、 解析力学 、变分法、 微分几何等新分支 ,都是建立在不严格的基 础理论上的.它妨碍了数学分析的进一步发展. 6 2.2 奠定分析学现代基础理论的先驱柯西(法 A.L.Cauchy 17891851) 数学史家多认为,19 世纪数学的特色为:近代数学成熟期和现代数学的孕育期. 柯西的三大著作: (1821) (1823)和 (18261828) 集数学分析之大成 ,奠定了以极限理论为基础理论的现代分析体系,在数学分析的发展史上 建树了一座有创时代意义的里程碑. 柯西描述的几个概念:极限 、无穷小、 函数的连续性、 导数、 微分和积分. 柯西的不足:虽然偶尔也用 - 方法作推证,但没有将它作为根本方法来定义数学分析的一系列 重要概念.另外,他和他同时代的数学家们对一致连续,一致收敛等观念淡薄.他断言: 如果 u (x) 连续,且 （x）=F(x) 收敛,则n 1nu F(x)也连续,且可逐项积分: = badF)(dxunba)(1 阿贝尔(挪威)于 1826 年举反例指出 “连续函数级数之和并不一定连续”: sinx - +2sinx - + 3sinx4i 2.3 分析严格化运动的主将，现代分析之父魏尔斯特拉斯 （德. Weirstrass 1815-1897 ） 其传奇经历-半路出家,大器晚成.一个中学数学教师的成才之路.桃李满天下的数学教育家。 * 其主要思想方法-用 - 方法,完全不承认数学分析的几何直观,一心把 “分析算术化”, 通过对常量的否定之否定,使数学分析又从动态化过渡到静态化,病态函数的构造大师,给出了最 著名的处处连续却处处不可微的函数反例. * 德国的黎曼和法国的达布,严格地建立了黎曼积分概念. * 实数理论和集合论最终完善了经典分析. 2.4 现代数学划时代的标志-康托尔(德 Cantor 1845-1918) 和他创立的集合论. * 康的成功与不幸. * 康在实数理论完善中的功勋:用有理 “基本序列”等价类定义无理数,证明实数系的完备性. * 自 17 世纪到 19 世纪近三百年的数学发展史,几乎就是分析学基础和数学哲学的历史,而康托创造 的集合论不仅为数学分析基础精确化这一宏伟工程划上了句号,而且给数学的统一提供了一个新的基 础-现代数学的公理化集合论方法 (见13康托尔传中希尔伯特、罗素和科尔莫戈洛夫等对康托尔 7 工作的评价). 2.5 分析学的多学科发展和世纪之交的三巨人:庞加莱( 法 H.Poincare 18541912),克莱因(美 F.Klein 18491925)和希 尔伯特 (德. D. Hilbert 18621943) 2.5.1 复分析和它的主要创立者柯西,黎曼和魏尔斯特拉斯. 2.5.2 分析方法的应用于-解析数论的形成. 2.5.3 数学物理方程与微分方程. 第三节 二十世纪分析学的成就 3.1 希尔伯特的 23 个数学问题拉开了新世纪的序幕 希尔伯特和哥廷根学派(见7 的 216218 和13 的 11991222 ) 3.2 经典分析与现代分析的分水岭-实变函论与它的创立者勒 贝格(法 H. Lebesgue 18751941) (见13的 1300-1306 和 6 的 276278) 3.3 巴拿赫(波兰 S. Banach 18921945)和现代分析的一大支 柱-泛函分析 * 泛函分析的形成(变分法 、微分方程、希尔伯特空间) * 巴拿赫的两部著作. 波兰独树一帜,异军突起. 里沃夫学派浪漫而富传奇色彩的讨论班-苏格兰 咖啡馆. (见 13 的 1455-1463, 30 的 400406) *泛函分析的创立期(基本思想和方法,几个著名的基本问题) *盖尔范德(苏联学派,及其对中国泛函授分析的影响). *泛函分析的基本概念，基本思想，基本方法。 3.4 高尔斯(英 W.T.Gowers 1963-)和菲尔兹奖. 3.5 非线性泛函分析的发展 第四节 分析学在交叉渗透中异彩缤纷 4.1 分与合的辩证统一 从分析学角度既可以看数学各分支界限的模糊化,又可以看数学美学的统一与和谐性(本节内容 见 6 的 11.3.数学的统一化,292-298) 微分拓朴与代数拓朴，从奇点理论到突变理论。 8 整体微分几何，从嘉当，陈省身到突变理论. 费尔马大定理的解决是对代数几何的一大考验和检阅. 华罗庚和中国数学家们在多复变函数理论研究方面的特色。 动力系统中的莫尔斯理论。 偏微分方程与泛函分析。 随机分析的方兴未艾。 数学的有机统一，是这门科学的特点，按照希尔伯特的观点， “数学理论越是向前发展， 它的结构就变得越加调和一致，并且这门科学一向相互隔绝的分支之间也显露出原先意 想不到的关系.因此随着数学的发展，它的有机的特性不会丧失，只会更清楚地呈现出来.” 20 世纪数学的发展，证实了希尔伯特的看法.尽管现代数学知识千差万别，在作为整体 的数学中，使用着相同的工具与算法，存在着概念的亲缘关系，数学内部的这种统一性， 也正是它能够作为科学的普遍语言的根源所在，必然对它所应用的科学技术领域带来深 远影响.正因为如此，数学家对联系数学中不同领域与部门追求统一的工作，总是给予高 度评价，数学科学的统一趋势将保持下去，并继续成为 21 世纪的数学特征。 4.2 数学与哲学,如何看待所谓数学的第三次危机. 集合论悖论. 三大学派: 逻辑主义,直觉主义和形式主义 数理逻辑的四大分支: 公理化集合论,证明论,模型论和递归论. 从绝对真理与相对真理的关系,任何一门科学在前进中都会遇难到新问题的观点 坦然地淡化危机. 4.3 关于非标准分析 20 世纪 60 年代开创的三个新的数学分支:非标准分析,突变理论和模糊数学. 对包括非标准分析在内的三个新分支的态度. 4.4 关于中国数学赶超世界水平 漫谈数学教师和数学家,数学学派和世界数学中心. 从陆家羲现象谈起,2002 年世界数学家大会前后对中国数学的展望,关于学有渊源和学无常师 的辩证统一,关于奥赛和数学第二课堂,关于数学教师晋升高级的必要条件,关于高中数学教师 的合格考试-数学高考合格.关于中学数学与高等数学的衔接.中学数学新课改的争鸣与忧思。 陈省身先生身前身后的声音。关于陶哲轩现象的反思。 ( 初稿于 01 年 7 月 22 日,8 稿于 2009-3-8) 9 思 考 题 1 结合实例说明近 30 年来现代数学发展的三方面突出表现。 2 请你谈谈黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别（可以从各自产生的背景，从被积函数 -对象，从求积分值的手段-思想方