四川省成都市2017届高三第二次诊断性检测数学理试题含答案

成都市 2014 级高中毕业班第二次诊断性检测 数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1,2A ， 2 , B y x x A，则 （ ） A 1,4 B 1,2 C 1,0 D 0,2 a i（ ），2 1，且12纯虚数，则 1z 在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 知3 6a ，3 5 7 78a a a ，则5a（ ） A 12 B 18 C 24 D 36 a ， b 夹角为3，且 1a ， 12b，则 2与 b 的夹角是（ ） A6B 56C4D 34x （ a 为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1( , )2 B 1 , )2 C (0, ) D 0, ) 2 010 ，且 的最大值为 5，则实数 m 的值为（ ） A 0 B C D ,是两个不同的平面，且 ,，有下列命题：若 /，则 /若 /，则 /m ；若 l ，且 ， ，则 ；若 l ，且 ， ，则 ，其中真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 ) xf x a （ 0, 1）的反函数的图象经过点 21( , )22，若函数 ()定义域为 R ，当 2, 2x 时，有 ( ) ( )g x f x ，且函数 ( 2)为偶函数，则下列结论正 确的是（ ） A ( ) ( 3 ) ( 2 )g g g B ( ) ( 2 ) ( 3 )g g g C ( 2 ) ( 3 ) ( )g g g D ( 2 ) ( ) ( 3 )g g g 输入的 ,， 2， 输出的结果为（ ） A B C D ) s i n ( 2 ) 2 s i n c o s ( )f x x x （ 0, R）在 3( , )2上单调递减，则 的取值范围是（ ） A (0,2 B 1(0, 2C 1 ,12D 15 , 2:1（ 0, 0）的左右焦点分别为12,12, ，若以1O 为坐标原点）为直径的圆与2双曲线 C 的离心率为（ ） A 2 B 3 6 24C 3 D 3 6 27 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形 M 叫做图形 M 在这个平面上的射影，如图，在三棱锥 A 中， D ， B ， C ，5B， 4，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为1 2 3 4, , ,S S S S，设面积为2 ，则面积为4 上的射影的面积是（ ） A 2 34 B 252C 10 D 30 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） ax x的展开式中，若常数项为 a 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字 1 未被污损，即 9， 10， 11， 1 ，那么这 组数据的方差 2 物线 2 4的一条弦 过焦点 F ，取线段 中点 D ，延长 ，使 C ，过点 C ， D 作 y 轴的垂线，垂足分别为 , 最小值为 1a， 212 1 （ 2n ， *），则数列2前 n 项和 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 如图， 在平面四边形 ，已知2A ， 23B ， 6，在 上取点 E ，使得 1，连接 ,D ，若 23， 7. （ 1）求 的值； （ 2）求 长 . 18. 某项科研活动共进行了 5 次试验，其数据如下表所示： 特征量 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 x 555 559 551 563 552 y 601 605 597 599 598 （ 1）从 5 次特征量 y 的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于 600 的概率； （ 2）求特征量 y 关于 x 的线性回归方程；并预测当特征量 x 为 570 时特征量 y 的值 . （附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121( ) ( )()x y ，a y ） 19. 如图，已知梯形 所在平面垂直， ,A D D E C D D E， / /D 28E， 3， 9， 12，连接 ,F . （ 1）若 G 为 上一点， 13A，求证： /面 （ 2）求二面角 E 的余弦值 . 20. 在平面直角坐标系 ，已知椭圆 22:1（ 0 ），圆 2 2 2:O x y r（ 0 ），若圆 O 的一条切线 :l y kx m与椭圆 E 相交于 , （ 1）当 12k， 1r 时，若点 ,椭圆 E 的方程； （ 2）若以 直径的圆经过坐标原点 O ，探究 ,间的等量关系，并说明理由 . 21. 已知函数 1( ) x a x ，其中 0a . （ 1）若 ()2, ) 上存在极值点，求 a 的取值范围； （ 2）设1 (0, 1)x ，2 (1, )x ，若21( ) ( )f x f x存在最大值，记为 ()当 1时， ()存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 2 co ，（ 为参数），直线 l 的参数方程为332132 （ t 为参数），在以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 中，过极点 O 的射线与曲线 C 相交于不同于极点的点 A ，且点 A 的极坐标为 (2 3, ) ，其中 ( , )2. （ 1）求 的值； （ 2）若射线 l 相交于点 B ，求 值 . 等式选讲 已知函数 ( ) 4 3f x x x . （ 1）求不等式 3( ) 02的解集； （ 2）若 , 1 1 1 432p q r ，求 32p q r的最小值 . 成都市 2014 级高中毕业班第二次诊断性检测 数学（理科）试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 14. 15. 4 16. 21、解答题 （ 1）在 中，据正弦定理，有s in s C E B. 23B ， 1， 7， s i n 2 2 1s i . （ 2）由平面几何知识，可知 D C E ，在 中，2A ， 5， 2 3 5 7c o s 1 s i n 12 8 1 4D E A D E A . 527c o s 5714 A . 在 中，据余弦定理，有 222 12 c o s 7 2 8 2 7 2 7 ( ) 4 92C D C E D E C E D E C E D 7 （ 1）记“至少有一个大于 600”为事件 A . 23257( ) 110 . （ 2） 5 5 5 5 5 9 5 5 1 5 6 3 5 5 2 5565x ， 600y . 2 2 2 2 21 1 3 5 ( 5 ) ( 3 ) 7 ( 1 ) ( 4 ) ( 2 ) 3 0 0 . 3( 1 ) 3 ( 5 ) 7 ( 4 ) 1 0 0b 6 0 0 0 . 3 5 5 6 4 3 3 . 2a y b x ， 线性回归方程为 0 3 3 . 当 570x 时， 0 . 3 5 7 0 4 3 3 . 2 6 0 4 . 2y 当 570x 时，特征量 y 的估计值为 （ 1）如图，作 /D ，交 点 M ，连接 作 /D ，交 N ，交 H . /D ， /F , 3B， 9. / / M D C， 23N M B M A B C A D . 6. 9G M G N N M . 四边形 平行四边形， /F . 又 平面 平面四边形， /面 （ 2）平面 平面 E ， 平面 平面 以 D 为坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ( 0 , 4 , 0 ) , ( 9 , 4 , 0 ) , (1 2 , 0 , 0 ) , ( 3 , 0 , 4 3 )E F C B. (9, 0, 0) ， (3 , 4 , 4 3 ) , 设平面 法向量1 1 1 1( , , )n x y z. 由 1100n B ，得 11 1 1903 4 4 3 0xx y z . 取1 3y ，得1 (0, 3,1)n . 同理， (3, 4, 0 ) ， ( 6 , 4 , 4 3 ) . 设平面 法向量2 2 2 2( , , )n x y z. 由 2200n B ，得 222 2 23 4 06 4 4 3 0y z . 取2 4x ，得2 (4, 3, 3 3 )n . 1212120 4 3 3 1 3 3 6 3 3 3 9c o s ,262 1 6 9 2 7 2 2 1 3 . 二面角 E 为钝二面角， 二面角 E 的余弦值为 3 3926. （ 1） 直线 l 与 O 相切，2 1m . 由 12k， 1r ，解得 52m . 点 , 15:22l y x . 切线 l 与坐标轴的交点为 5(0, )2， ( 5,0) . 5a ， 52b. 椭圆 E 的方程是 224 155. （ 2）设11( , )A x y，22( , )B x y以 直径的圆经过点 O ， 0B，即1 2 1 2 0x x y y. 点 ,l 上， 1122y kx my kx m. 221 2 1 2(1 ) ( ) 0k x x m k x x m （ *） 由2 2 2 2 2 2 0y k x mb x a y a b 消去 y ，得 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) 0b x a k x k m x m a b . 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0b a k x k m a x a m a b 显然 0 由一元二次方程根与系数的关系，得212 2 2 22 2 2 212 2 2 22 k m a ka m a a k 代入（ *）式，得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22a m a m k a b a b k k m a m b a k mb a k . 整理，得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 0m a b a b a b k . 又由（ 1），有 2 2 2(1 )m k r . 消去 2m ，得 2 2 2 2 2 2 2(1 ) ( ) (1 )k r a b a b k 2 2 21 1 1a b r ,足等量关系2 2 21 1 1a b r. （ 1） 2221 ( 1 )( ) 1a x a x x x ， (0, )x . 由题意，得 2 10x ，在 (2, )x 上有根（不为重根） . 即 1在 (2, )x 上有解 . 由 1在 (2, )x 上单调递增，得 15( , )2x x . 检验：当 52a时， ()2, )x 上存在极值点 . 5( , )2a . （ 2）若 02a ， 22( 1 )() x a x 在 (0, ) 上满足 ( ) 0， ()0, ) 上单调递减，21( ) ( ) 0f x f x. 21( ) ( )f x f x不存在最大值 . 则 2a . 方程 2 10x 有两个不相等的正实数根，令其为 ,不妨设 01 则1m n . ()0, )m 上单调递减，在 ( , )调递增，在 ( , )n 上单调递减， 对1 (0,1)x，有1( ) ( )f x f m；对2 (1, )x ，有2( ) ( )f x f n， 2 1 m a x ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f n f m . 11( ) ( ) ( ) ( l n ) ( l n )M a f n f m a n n a m 11l n ( ) ( )na m nm n m . 将 1a m n ， 1入上式，消去 ,21 1 1 1( ) ( ) l n 2 ( ) 2 ( ) l n ( ) M a n n n n n nn n n n 12 ， 11 ， 1n . 据 1在 (1, )x 上单调递增，得 (1, . 设 11( ) 2 ( ) l n 2 ( )h x x x ， (1, . 2 2 21 1 1 1 1( ) 2 ( 1 ) l n 2 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) l nh x x x xx x x x x ， (1, . ( ) 0，即 ()1, e 上单调递增 . m a x 1 1 4 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )h x h e e ee e e ()e. （ 1）曲线 C 的普通方程为 22( 2 ) 4 ， 曲线 C 的极坐标方程为 22( c o s ) ( s i n 2 ) 4 . 化 简，得 4 . 由 23 ，得 3 ( , )2， 23. （ 2）射线 3， 直线 l 的普通方程为 3 4 3 0 . 直线 l 的极坐标方程为 c o s 3 s i n 4 3 0 . 联立 2 3c o s 3 s i n 4 3 0 ，解得 43 . 4 3 2 3 2 3 . （ 1） 3 3 3( ) 4 02 2 2f x x x 根据绝对值的几何意义，得 3322 表示点 ( ,0)x 到 3( ,0)2A ， 3( ,0)2 接下来找出到 , 的点 . 将点 A 向左移动 12个单位到点1( 2,0)A ，这时有114A A A B； 同理，将点 B 向右移动 1