信号系统习题解答

信号与系统 （第 3 版） 习题解析 高等教育出版社 1 目 录 第 1 章习题解析 . 2 第 2 章习题解析 . 6 第 3 章习题 解析 . 16 第 4 章习题解析 . 23 第 5 章习题解析 . 31 第 6 章习题解析 . 41 第 7 章习题解析 . 49 第 8 章习题解析 . 55 2 第 1 章 习题解 析 1题 1些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？ (c) (d) 题 1解 (a)、 (c)、 (d)为连续信号； (b)为离散信号； (d)为周期信号；其余为非周期信号； (a)、(b)、 (c)为有始（因果）信号。 1给定题 1f( t )，试画出下列信号的波形。 提示： f( 2t )表示将 f( t )波形压缩， f(2t)表示将 f( t )波形展宽。 (a) 2 f( t 2 ) (b) f( 2t ) (c) f( 2t) (d) f( t +1 ) 题 1解 以上各函数的波形如图 3 图 如图 1R、 L、 压为响应的简单线性系统写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。 题 1解 各系统响应与输入的关系可分别表示为 )()( R t L d )(d)( t CC d)(1)( 1如 题 1分器和放大 量 为 统属于何种联接形式？ 试 写出该系统的微分方程。 L 4 题 1解 系统为反馈联接形式。 设 加法器的输出为 x( t )，由于 )()()()( 且 )()(,d)()( 故有 )()()( 即 )()()( 1已知某系统的输入 f( t )与输出 y( t )的关系为 y( t ) = | f( t )|， 试 判定该系统是否为线性时不变系统？ 解 设 可以表示为 )()()( 不失一般性，设 f( t ) = t ) + t )，则 )()()( 111 )()()( 222 故有 )()()()( 21 显然 )()()()( 2121 即不满足可加性，故为非线性时不变系统。 1判断下列方程所表示的系统的性质。 (1) t ft d)(d )(d)( (2) )()(3)()( 5 (3) )(3)()(2 (4) )()()( 2 解 (1)线性； (2)线性时不变； (3)线性时变； (4)非线性时不变。 1试证明方程 )()()( 所描述的系统为线性系统。 式中 证明 不失一般性，设输入有两个分量，且 )()()()( 2211 ， 则 有 )()()( 111 )()()( 222 相加 得 )()()()()()( 212211 即 )()()()()()(12121 可见 )()()()( 2121 即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。 1若有线性时不变系统的方程为 )()()( 若 在非 零 f( t )作用下其响应 ，试求方程 )()(2)()( 的响应。 解 因为 f( t ) ，由线性关系，则 )(2)(2 由线性系统的微分特性，有 e)()( 故响应 )()()(2 6 第 2 章 习题解 析 2 如图 2以 t )为输出列出其微分方程 。 题 2解 由 图示 ，有 又 t d)(1 故 (1 从而得 )(1)(1)(1)( 2设有二阶系统方程 0)(4)(4)( 在某起始状态下的 0+起始值为 2)0(,1)0( 试求零输入响应。 解 由特征方程 2 + 4 + 4 =0 得 1 = 2 = 2 则零输入响应形式为 21()( 7 由于 0+ ) = 1 2 2 所以 4 故有 0,)41()( 2 t 2设有如下函数 f( t )，试分别画出它们的波形 。 (a) f( t ) = 2( t 1 ) 2( t 2 ) (b) f( t ) = t( t ) ( t 6 ) 解 (a)和 (b)的波形如图 图 试用阶跃函数的组合表示题 2 题 2 8 解 (a) f( t ) = ( t ) 2( t 1 ) + ( t 2 ) (b) f( t ) = ( t ) + ( t T ) + ( t 2T ) 2试计算下列结果 。 (1) t( t 1 ) (2) d)1(3) 0 d)()3c o s ( (4) 00 3 d)(e 解 (1) t( t 1 ) = ( t 1 ) (2) 1d)1(d)1( (3) 21d)()3c d)()3c 00 (4) 1d)(d)(e 0000 300 3 2设有题 2f( t )，对 (a)写出 f ( t )的表达式，对 (b)写出 f ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。 题 2解 (a) 20,21 t f ( t ) = ( t 2 )， t = 2 2( t 4 )， t = 4 (b) f ( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) 2( t 3 ) + 2( t 4 ) 9 图 如 题 2一阶系统，对 (a)求冲激响应 i 和 对 (b)求冲激响应 画出它们的波形。 题 2解 由 图 (a)有 )( 即 )(1 当 t ) = ( t )，则冲激响应 )()( 则电压冲激响应 )(e)()( L 对于 图 (b)方程 10 即 1 当 ( t )时，则 )()( C 同时，电流 )(C 2设有一阶系统方程 )()()(3)( 试 求其冲激响应 h( t )和阶跃响应 s( t )。 解 因方程的特征根 = 3， 故有 )(e)( 31 t 当 h( t ) = ( t )时，则冲激响应 )()()()()( 31 t 阶跃响应 )()1d)()( 30 2试求下列卷积 。 (a) ( t ) * 2 (b) ( t + 3 ) * ( t 5 ) (c) tet( t ) * ( t ) 解 (a) 由 ( t )的特点，故 ( t ) * 2 = 2 (b) 按定义 ( t + 3 ) * ( t 5 ) = d)5()3( t 5时， ( t 5 ) = 0，故 ( t + 3 ) * ( t 5 ) = 2,2 也可以利用迟延性质计算该卷积。因为 11 ( t ) * ( t ) = t( t ) t * t = f( t 故对本题，有 ( t + 3 ) * ( t 5 ) = ( t + 3 5 )( t + 3 5 ) = ( t 2 )( t 2 ) 两种方法结果一致。 (c) tet( t ) * ( t ) = tet( t ) = ( et tet )( t ) 2对图示信号，求 t ) * t )。 题 2解 (a)先借用阶跃 信号表示 t )和 t )，即 t ) = 2( t ) 2( t 1 ) t ) = ( t ) ( t 2 ) 故 t ) * t ) = 2( t ) 2( t 1 ) * ( t ) ( t 2 ) 因为 ( t ) * ( t ) = t0 = t( t ) 故有 t ) * t ) = 2t( t ) 2( t 1 )( t 1 ) 2( t 2 )( t 2 ) + 2( t 3 )( t 3 ) 读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图 a)所示。 12 (b)根据 ( t )的特点，则 t ) * t ) = t ) * ( t ) + ( t 2 ) + ( t + 2 ) = t ) + t 2 ) + t + 2 ) 结果见图 b)所示。 图 试求下列卷积。 (a) )()()()2 (b) )(ee 3 解 (a)因为 )()()()( ，故 )()()()()()()222 (b)因为 )()(e ，故 )()(e)(ee 2设有二阶系统方程 )(4)(2)(3)( 试求零状态响应 解 因系统 的特征方程为 2 + 3 + 2 =0 解得特征根 1 = 1， 2 = 2 故特征函数 )()ee( 22 21 13 零状态响应 )()(4)()(4)( 22 = )()42 2如图系统，已知 )()(),1()( 21 试求系统的冲激响应 h( t )。 题 2解 由 图关系，有 )1()()1()()()()()()( 1 所以冲激响应 )1()()()1()()()()()( 2 即该系统输出一个方波。 2如图系统 ，已知 1， L = 1H， C = 1F。试求 冲激响应 t )。 题 2解 由 得电路方程为 )()(1)1()1(121 14 代入数据 得 )()(22 特征根 1,2 = 1 冲激响应 t )为 )()(*)( 11C )(s i )s i n( c o se V)( 2一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入 f( t ) = ( t )时，全响应 t ) = 3e3t( t )；当输入 f( t ) = ( t )时，全响应 t ) = e3t( t )，试求该系统的冲激响应 h( t )。 解 因为零状态响应 ( t ) s( t )， ( t ) s( t ) 故有 t ) = t ) + s( t ) = 3e3t( t ) t ) = t ) s( t ) = e3t( t ) 从而有 t ) t ) = 2s( t ) = 2e3t( t ) 即 s( t ) = e3t( t ) 故冲激响应 h( t ) = s ( t ) = ( t ) 3e3t( t ) 2若系统的零状态响应 y( t ) = f( t ) * h( t ) 试证明： (1) t ht d)(d )(d)()( (2) 利用 (1)的结果，证明阶跃响应 t d)()( 证 （ 1） 因为 y( t ) = f( t ) h( t ) 15 由微分性质，有 y ( t ) = f ( t ) h( t ) 再由积分性质，有 t d)()()( （ 2）因为 s( t ) = ( t ) h( t ) 由（ 1）的结果，得 t d)()()( t d)()( t h d)( 16 第 3 章 习题解 析 3求题 3 周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式 。 题 3解 对于周期锯齿波信号，在周期 ( 0， T )内可表示为 )( 系数 21 000 T TT 120 1n dc o o s)(2 0s i TT b 0 120 1n ds 2 c 所以三角级数为 1 1s n 3求周期冲激序列信号 n ()(T 的指数形式的傅里叶级数表示式，它是否具有收敛性？ 解 冲激串信号的复系数为 17 1 22 所以 n jT 因 无收敛性。 3设有周期方波信号 f( t )，其脉冲宽度 = 1该信号的频带宽度（带宽）为多少？若 压缩为 带宽又为多少？ 解 对方波信号，其带宽为1 当 1 = 1 111 f 当 2 = 0 00 0 0 122 f 3求题 3号的傅里叶变换 。 题 3解 (a)因为 t,0 为奇函数，故 f( t ) = 18 ds 0 c o s s )(c 或用微分定理求解亦可。 (b) f( t )为奇函数， 故 ds (2j)( 0 )2(s i c o 若用微分 先求出 f ( t )，即 f ( t ) = ( t + ) + ( t ) 2( t ) 所以 2c o j()( 又因为 0 ) = 0，故 )1( c o )(j 1)( 1 3试求 下列信号的频谱函数 。 (1) e)( (2) )(s 0 解 (1) 0 )( 244 (2) 0d)ee()( 00 0 )j(j)j(j 0 00 j)j(1j)j(1222022000 )j()j(3对于如题 3证明其频谱函数为 )2( 2 19 题 3证 因为 ( ,1( 0， | t | 则 0 dc o s)1(2)( )c o 2 A )2(2 A )2( A 3试求信号 f( t ) = 1 + 2 3 解 因为 1 2() 2 2( 1) + ( + 1) 3 3( 3) + ( + 3) 故有 F( ) = 2() + ( 1) + ( + 1) + 3( 3) + ( + 3) 3试利用傅里叶变换的性质，求题 3t )的频谱函数。 f( t ) = 20 题 3解 由于 t )的 A = 2， = 2，故其变换 )( 221 根据尺度特性，有 )2(2)2( 211 再由调制定理 得 )(c o s)2()( 212 )22(22(1)( 222 F )22(22(2 2222)()2(s ()2(s 3试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。 (1) f( t ) = 0t) ( t ) (2) f( t ) = 0t)( t ) 解 （ 1）因为 )()()c o s ( 000 )( j 1)()()()( 00 21 )()(j 00 A （ 2）因为 )()(j)s 000 )( 域卷积定理 )()(00 00 )()(2j3设有信号 t ) = t t,1 t,0 试求 t ) t )的频谱函数。 解 设 t ) )，由调制定理 )()4()4(214c 111 而 )(1 F 故 )4(4( F 3设有 如 下信号 f( t )，分别求其频谱函数 。 (1) )(e)( )4t (2) )2()()( 解 (1) 因 )4j(3 1j)41e )4 t ) = 22 (2) 因 2),1()()2()( jj e)( F 3设 信号 40,2 t 其他,0 试求 t ) = t )大致画出其幅度频谱。 解 因 e)2( F 故 )50()50(21)( 112 )50j 2()50j 2( e)50(S a 24e)50(S a 24 幅度频谱见图 图 t ) = 50 50 | ) | 23 第 4 章 习题解 析 4如 题 4 入为方波 t )，试用卷积定理求响应 t )。 题 4解 因为 1j 1)j( t ) = t ) * h( t ) 故由卷积定理，得 ) = ) * H( j ) 而已知 )e1( U，故 )e1(j 11j 1)( U 反变换得 )1()( )1(2 4一滤波器的频率特性如题图 4 当 输入为 所示的 f( t )信号时 ， 求相应的输出y( t )。 题 4 24 解 因为 输入 f( t )为周期冲激信号，故 22,11 1n 所以 f( t )的频谱 nn 2(2)(2)( 1n 当 n = 0， 1， 2时，对应 H( j )才有输出，故 Y( ) = F( ) H( j ) = 22() + ( 2) + ( + 2) 反变换得 y( t ) = 2( 1 + t ) 4设系统的频率特性为 2j 2)j( 解 冲激响应，故 )(j()( 21 t F 而阶跃响应频域函数应为 2j 2j 1)()j()()( 2j 2 2j 1 所以 阶跃响应 )()( 2 t 4如题图 4一个实际的信号加工系统 ， 试写出系统的频率特性 H( j )。 题 4 25 解 由图可知输出 t 0 d)()()( 取上式的傅氏变换，得 )e1(j )()( 0j 故频率特性 )e1(j 1)( )()j( 0j 4设信号 f( t )为包含 0 确定 f( 3t )的奈奎斯特采样频率。 解 由尺度特性，有 )3(31)3( 即 f( 3t )的带宽比 f( t )增加了 3倍，即 = 3m。从而最低的抽样频率 s = 6m 。故采样周期和采样频率分别为 1 4若电视信号占有的频带为 0 6视台每秒发送 25幅图像， 每幅图像又分为625条水平扫描线，问每条水平线至少要有多少个采样点？ 解 设采样点数为 x，则最低采样频率应为 625252 m 所以 7 6 86 2 525 10626 2 525 2 6m 4设 f( t )为调制信号，其频谱 F( )如题图 4 广播发射的调幅信号 x( t )可表示为 x( t ) = A 1 + m f( t ) t 式中， 试求 x( t )的频谱，并大致画出其图形。 26 题 4解 因为调幅信号 x( t ) = t + mA f( t )t 故其变换 )()(2)()()( 0000 式中， F( )为 f( t )的频谱。 x( t )的频谱图如图 图 题 4 所示 (a)和 (b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入 f(t)的频谱和频率特性 j )、 j )如图所示，试画出 x(t)和 y(t)的频谱图 。 题 4X() F() F() 27 题 4解 由 调制定理知 )()(21)(c )( 而 x(t)的频谱 )()()( 11 又因为 )()(21)(c o s)()( 所以 )()()( 22 它们的频谱变化分别如图 C 2。 图 如题 4输入信号 f(t)的频谱 F( )和 系统 特性 j )、 j )均) ) X() Y() 28 给定 ，试画出 y(t)的频谱。 题 4解 设 0)(1 ，故 由调制定理 ，得 )50()50(21)(1 从而 )()()()( 1122 它仅在 | | = ( 30 50 )内有值。再设 0co s)()( 23 则有 )30()30(21)( 223 即 )是 )的再频移。进而得响应的频谱为 )()()( 23 其结果仅截取 20 系统稳定。 6如题 6使其稳定，试确定 题 6 48 解 该系统的 H( s )为 3321)1(121)1()(23从必要条件考虑，应当 K 0，再由 虑，应满足 K 9，故当 0 K 9 时 系统稳定。 也可以从劳斯阵列判定。因为阵列： 0039331 为使第一列元素不变号，即应 0,039 即 0 K 9 时系统稳定。 49 第 7 章 习题解 析 7试画出下列离散信号的图形 。 (a) )()21()(1 n (b) )2()(2 (c) )2()(3 (d) )()(4 n 解 各信号的图形分别如图 图 试画出下列序列的图形。 (a) )6()2()(1 (b) )()2()(2 (c) )5()()()(3 (d) )4()3(2)2(2)1()()(4 解 各序列的图形分别如图 50 图 设有差分方程 )()2(2)1(3)( 起始状态45)2(,21)1( 求系统的零输入响应。 解 系统的特征方程为 2 + 3 + 2 = 0 其特征根为 1 = 1， 2 = 2 则零输入响应的形式为 211( K )2()1( 21 由起始状态 y(1)和 y(2)导出起始值 y(0)和 y(1) n = 0时， y(0) = 3y(1) 2y(2) = 1 n = 1时， y(1) = 3y(0) 2y(1) = 3 + 1 = 4 从而有 1)0( 21 42)1( 21 51 解得 2， 3 故 0,)2(3)1(2)( 7设有离散系统的差分方程为 )1()(4)2(3)1(4)( 试画出其时域模拟图。 解 原方程可以写为 )1()(4)2(3)1(4)( 从而可得时域模拟图 中 移）器。 图 如图所示为工程上常用的数字处理系统，是列出其差分方程。 题 7D D D D D D 52 解 由图可得差分方程 )3()2()1()()( 3210 7设有序列 n )和 n )，如图 7用二种方法求二者的卷积。 题 7解 方法一：用“乘法” 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 5 2 即有 2,)()(021 单位序列表示各函数后卷积。因为 )5(2)4()2()1(2)(1 )3()2()1()()(2 则 )8(2)7(5)3(2)()( 21 7设有一阶系统为 53 )()1( 试求单位响应 h( n )和阶跃响应 s( n )，并画出 s( n )的图形。 解 由方程知特征根 = )()( 阶跃响应为 )()()( 11 s( n )的图形如图 图 设离散系统的单位响应 )()31()( n ，输入信号 )( ，试求零状态响应 y( n )。 解 由给定的 f( n )和 h( n )，得 0 )()()()()( k 61(2)31(200 因为 1,11 10 故得 )()31(51)(256)( 7试证明 21111121 )()( 54 证明 nk 21120 121 )()( )(1)(1)(1211210 1212112111211112111 7已知系统的单位响应， )10()()( n 输入信号 )6()()( ，求系统的零状态响应。 解 )()6()()()()( n 因为 )(11)()( 10 利用时延性质， 则 )6(11)()6( 61 所以得 )6(11)(11)( 51 55 第 8 章 习题解 析 8求 下列离散信号的 注明收敛域 。 (a) ( n 2 ) (b) n ) (c) ( n 1 ) (d) ( ( n ) 解 (a) ,)( 2 (b) 00)()(111 ，(c) 111 )21(21211 d) zz zz z ， 8求下列 F( z )的反变换 f( n )。 (a) (b) 221)( 11 z c) )2)(1( 2)( zz d) )( 2(e) 2)1)(2()( 解 (a) 因为 56 )41)(21( 2故 4121)41)(21( 21解得 4， 3 进而 413214)(所以 )()41(3)21(4)( (b) )21(22)21(221221212)( 所以 )1()21()()21(21)( 1 (c) 由于 )2)(1( 2)( zz 21)2)(1( 2)( 21 z 2， 2 进而 2212)( z zz )()12(2)()2(2)(2)( (d) 由于 )( 2故 57 13)( 21 z zz zz 31,38 21 所以 )()1)8)( (e) 由于 2)1)(2()( 故 1)1(2)1)(2( 1)( 1221112 z 1， 1， 1 从而有 1)1(2)( 2 z zz zz )()12()( n 8