《概率论与数理统计》习题册答案(西农版)

1 第一章 随机事件与概率 机试验 随机事件 一、 选择题 1. 设 B 表示事件“甲种产品畅销”， C 表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得 A= A B C 甲 产 品 滞 销 或 乙 产 品 畅 销，故选 D. 2. 由 A B B A B B A A B ，故选 二 写出下列随机试验的样本空间 1. 3, 4 20， ， 2 0,100 3. ,1,0,0,0|),( 分别表示折后三段长度。 三、（ 1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有 6 个不同的结果 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6i 出 点 点 ， ；则 2 4 6,A ， 36,B （ 2 ） 1 3 5,A ， 1 2 4 5,B ， 2 3 4 6, , , ， 6， 15, 四、（ 1） （ 2） （ 3）“ A B C、 、 不都发生”就是“ A B C、 、 都发生”的对立事件，所以应记为 （ 4） A B C ；（ 5）“ A B C 、 、 中最多有一事件发生”就是“ A B C、 、中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为： C 又这个事件也就是“ A B C、 、 中至少有二事件不发生”，即为三事件 C 、 的并，所以也可以记为C 机事件的概率 一、 填空题 1. 试验的样本空间包含样本点数为 10本书的全排列 10！，设 A 指 定 的 3 本 书 放 在 一 起，所以 A 中包含的样本点数为 8!3! ，即把指定的 3 本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的 3 本书再全排。故 8 ! 3 ! 1()1 0 ! 1 5。 2. 样本空间样本点 7! 5040n ，设事件 A 表示这 7 个字母恰好组成单词 因为 C 及 C, E 及 E 是两两相同的，所以 A 包含的样本点数是 2! 2! 4A ，故2 2 ! 2 ! 1() 7 ! 1 2 6 0 二、求解下列概率 1. (1) ; (2) 1 5 1 53 7 3 766885! 0 . 3 7 56!C C C 2. 41241 0 7 112A 3. 由 图 示，样本点为随机点 M 落在半圆 20 2 ( )y a x x a 为 正 常 数内，所以样本空间测度可以用半圆的面积 S 表示。设事件 A 表示远点 O 与随机点 M 的连线 x 轴的夹角小于4，则 A 的测度即为阴影部分面积 s ， 所以 2221142()22a 一 填空题 1 2. 1 p ; 3. 16; 4. 712二 选择题 1. C; 2. A; 3. D; 4. B; 5. B. 三 解答题 解：因为 ,A B A A B 所以由概率的性质可知： ( ) ( ) ( ) B P A P A B又因为 ( ) 0,P 所以可得 ( ) ( ) ( ) ,P A B P A P B于是我们就有 ()P ( ) ( )P A P A B ( ) ( )P A P B. 如果 ,则 , ( ) ( )P A B P A ； 如果 ,则 ,A B A 这时有 ( ) ( ) P A B 果 , 则 ( 0,P ） 这时有 ( ) ( ) ( ) B P A P B 件概率与事件的独立性 一 填空题 1. 23； 2. 3. 23； 4. 14； 5. 2； 5. 因为 B ，所以 ( ) ( ) , ( ) ( )A B A B A A B B A B A B A B A B ，则有,A B A B A B ，因为 ,A B A B 且 所以 A 与 B 是对立事件，即A B A B， 。所以， ( ) ( ) 1 ,P A B P A B于是 ( ) ( ) 2P A B P A B 二 选择题 1. D； 2. B； 3. A； 4. D； 5. B 1 已知 ( ) ( ) 1 ,P A B P A B又 ( ) ( ) 1 ,P A B P A B所以 ( ) ( ) ,P A B P A B 于是得 ( ) ( )( ) ( )P A B P A P B，注意到 ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 ( ) ,P A B P A P A B P B P B 代入上式并整理后可得 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 。由此可知，答案 D。 三 解答题 1. 3310 5，； 2. 2n 概率公式和逆概率（ 式 解答题 1. . （ 1） 2） .（ 1） （ 2） 努利 概型与二项概率公式 一 填空题 1. 11 (1 ) , (1 ) (1 )n n np p n p p ； 2. 23二 解答题 1. 4 2. 2 2 2( 0 . 9 4 ) ( 0 . 0 6 )， 11 ( 0 . 9 4 ) ( 0 . 0 6 ) ( 0 . 9 4 ) 3.（ 1） 2） 3） 节测验 一 填空题 1. 825； 2. 对立； 3. 4. 8421 7，二 选择题 三、解答题 1.（ 1） （ 2） 2232. 、证明题（略）。 随机变量 分布函数 一、填空题 1. )(1 ； )1()1( )( )()( bF ； 2. 1 ,12； 3. 121 e 二、选择题 1、 D； 2、 A； 三、计算题 题意知随机变量 X 的分布列（律）为 5 P 101103106所以得随机变量 X 的分布函数为 5,154,10443,1013,0)( 1）由条件知，当 1x 时， 0)( 5 由于811 811)1( 从而有 858141111111 由已知条件当 11 x 时，有 )1(111 而 11111 则21于 11 X 有 1111111,11 1(52 185 16 7516 )1(58111)( x 时， 1)( 从而 1,111,16751,0)(（ 2）略。 离散型与连续性随机变量的概率分布 一、填空题 13827； 二、选择题 、计算题 1.（ 1） 2,1 （ 2）2,121,12210,20,0)(22 3） 常用的几个随机变量的概率分布 一、填空题 6 2. 232 e； 3. 二、计算题 1、43； 2、 3、 4、（ 1） 9 2 7 ；（ 2） 29.3d 随机向量及其分布函数 边际分布 一、填空题 1、 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )F b b F a b F b a F a a； ( , ) ( , )F b b F a b ； 2、 0 ； 1 二、计算题 1、（ 1）2,2,1 2 2）161； （ 3） ),2a r c t a )( ， ),3a r c t a )( 2、（ 1） 0,00,1)( 2 0,00,1)( （ 2） 42 3、2,120),c o s )(，2,120),c o s )(二维离散型与连续性随机向量的概率分布 一、填空题 1、87； 2、 1j 1i 3、 41 ； 4、 41 二、计算题 1、 1c ； 0,00,)(0,00,)1( 1)( 2 1） 6 , ( , )( , )0,x y Df x y 其 它； （ 2） 26 ( ) , 0 1()0,Xx x 其 它； 6 ( ) , 0 1()0,Yy y 其 它7 3、 条件分布 随机变量的独立性 一、选择题 1、 B； 2、 A； 3、 D； 4、 C； 5、 D 二、计算题 1、 2、|2 , 0 1 2 , 0 1( | ) , ( | )0 , 0 ,X Y Y Xx x y yf x y f y x 其 它 其 它3、 （ 1） 8c ；（ 2）412 3）不独立。 4、 )1(11121 e随 机变量函数的概率分布 一、填空题 1、 2、 1 , 0 1()0, 其 它二、选择题 1、 B； 2、 D； 三、计算题 1、 10,1)( ； 2、1,)1(10,10,0)(Y 1 1 1 41211 0 410| 0 1 2 P Y 3 1 1 3 7 P 203204205204204Z 9 4 1 0 P 2032082052048 3、1,110,210,0)( ；1,21110,20,0)(第二章测验 一、填空题 1、41； 2、 34 ； 3、 0 ； 4、 二、选择题 1、 C； 2、 A； 3、 B 三、计算题 1、 (3, B ，则随机变量的概率函数为 其分布函数为： 3,132,1 2 51 1 721,1 2 58110,1 2 5270,0)( 1） 24A ； （ 2） 其它,010),1(12)( 2 其它,010),1(12)( 2 （ 3）不独立； （ 4） 其它其它 ,010,10,2)|(,010,10,)1( )1(2)|( 2|2| 3、（ 1） 0,00,)(（ 2）0,00,)1( 1)( 20 1 2 3 P 12527125541253612589 第三章 随机变量的数字特征 学期望 一 、填空题 1、 13， 23， 3524； 2、 21 ， 3、 2 ， 4796二、计算题 1. 解： 11211() ( 1 ) ( 1 ) 1a k ka a a 根据公式 12111 ( 1 )1 1x x xx x 得到 221()( 1 ) 11 aa 2 0 ； 3 :2 2/3， 4/3 ， ， 8/5 ； 5 4/5， 3/5， 1/2， 16/15 一、填空题 1. 2. 1/6 ； 3. 8/9 ； 4. 8 ， 、计算题 1.： 示： 设 0,1, 部 件 个 不 需 要 调 整部 件 个 需 要 调 整则1 2 3,X X 且1 2 3X X X X ，显然1 (1, 0 ,1, 0 , (1, 0 1/3， 1/3 ； 3： 16/3 ， 28 三、 证明题 提示： 22( ) ( ) )D X Y E X Y E X Y E X Y E X E Y 10 2)E X Y Y E X Y E X E X E Y 2( ) ( )E Y X E X E X Y E Y D X D Y 一、 选择题 1. A； 、 计算题 1. ( ) 0E X E Y， ( ) ( ) 0 . 7 5D X D Y， 0， ( ) 1 Y X 与 Y 不独立 2. 0 ， 0 提示： 221 2111 1 , 1 1()0x y 其 它1 211( ) 1 0E Y y y d y ( ) 同理可得 ( ) 0E X E Y， ( ) ( ) 0 . 2 5D X D Y 22 1( , ) ( ) 0o v X Y E X Y d x d y 3. ： 2222 1. 33 3 2 1 132v v v v 2.（ 1） （ 2） ；（ 3） 4） 0 0 0 0 第三章 测验 一、 填空题 1 2. 1 ， 3 11 二、 选择题 1 B ； 、 计算题 X 表示该学徒工加工的零件中报废的个数，又设 0,1, 第 个 零 件 未 报 废第 个 零 件 报 废则由题设知 01111iX 于是有 101 且 1( ) ( 1 , 2 , , 1 0 )1 从而 1 0 1 0 1 01 1 11 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 . 0 21 2 3 1 1i E X E X i 2.： 10 分 25 秒 提示：设乘客到达车站的时间为 X ，由题意可知 X 为 0,60 上的均匀分布，根据发车时间可以得到等候时间 Y ，且 Y 是关于 X 的函数 1 0 0 1 03 0 1 0 3 0()5 5 3 0 5 57 0 5 5 6 0g 3. 0,0 第四章习题 比雪夫不等式 随机变量序列的收敛性 1解：由切比雪夫不等式知， 2221( 3 7 ) ( | 5 | 2 ) 12221( | 5 | 8 )8 3 2P X P 2解： 设 X 为在 n 次试验中事件 A 出现的次数，则 ( , )X B n p ， 21 1 1 0 . 7 5 0 . 2 5( ) ( ) 0 . 7 5 0 . 7 5 , ( ) ( ) X n D D Xn n n n n n 由题意知 0 . 7 0 . 8 0 . 9 , 12 而由切比雪夫不等式有20 . 7 5 0 . 2 5 | 0 . 7 5 | 0 . 0 5 1 0 . 0 5X nP n 所以有20 . 7 5 0 . 2 51 0 . 90 . 0 5n，得 750n 数定理 1 证：有题设知 n=2， 3， ）的概率分布为： 2X 0 n kx故 012101 n 222 2 21 2 1( ) ( ) 0 1 2n n E X E X n nn n n 故 Nn 数学期望 01111 在利用车比雪夫不等式得 02 22 因此， ， 服从大数定理。 2证：由于 ， ()， () 令 n 11 则 11 1 1n n i E X E Xn n n 13 有限。 nn D X D 故由车比雪夫不等式知， 0 。 12 2 21 1 1 E X n 即 1111l i m | | 1 心极限定理 1解：设 X 为抽取的 100件中次品的件数，则 (1 0 0 , 0 ( ) 1 0 0 0 . 2 2 0 , ( ) 2 0 0 . 8 1 6E X D X 则1 8 2 0 2 0 2 5 2 0 1 2 0 5 1 8 2 5 4 4 4 2 4 4(1 . 2 5 ) ( 0 . 5 ) (1 . 2 5 ) ( 0 . 5 ) 1 0 . 8 9 4 4 0 . 6 9 1 5 1 0 . 5 8 59 P P 2解：（ 1） 设 年中死亡的人数，则 ( , )X B n p ，其中 n=10000， p=险公司亏本则必须 1000X120000，即 X120 P保险公司亏本 = 120= 120(1 ) (1 )X n p n p p n p p = 7 . 7 6 9 (1 )X n p p 1 ( 7 9 ) 0 （ 2） P保险公司获利不少于 40000元 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 0 8 0 80 ( 2 . 5 9 ) 0 . 9 9 5( 1 ) ( 1 )P X P XX n p n p p n p p 3解：设 每个加数的舍入误差 ，则 U( 0i 121i i = 1, 2, 故由独立同分布中心极限定理知 服从中心极限定理。 （ 1） 14 )21)1)12115000150015121150001500121150001500152） 1 | | 1 0 0 . 9n ，1 10| | 0 . 9111 2 1 2由中心极限定理 得， 1 0 1 02 ( ) 1 0 . 9 , ( ) 0 . 9 5111 2 1 2 ，所以 10 1 112n，解得 440n 第四章 测验 一、填空题 1 1/4；211 k 2 221 n 提示：利用切比雪夫不等式估计 3 1/12 4 0 5 6 ()x 二、选择题 1 A 2 C 3 D 三、应用题 15 1解：设 X 为 1000次中事件 (1 0 0 0 , 0 ( ) 5 0 0 , ( ) 5 0 0 0 . 5 2 5 0E X D X 2 5 0 3 9 4 0 0 6 0 0 | 5 0 0 | 1 0 0 1 0 . 9 7 51 0 0 0 0 4 0P X P X 2 解：设至少要掷 n 次，有题设条件知应有 其中 错误 !未找到引用源。 i=1， 2， 独立同分布，且 i i （ 1） 用 切 比雪夫不等式确定 2n 而 12212n 即要求 n 即 )次(50次才能满足要求。 （ 2）用中心极限定理确定 - 0 . 50 . 4 - 0 . 5 0 . 6 - 0 . 50 . 4 0 . 60 . 5 0 . 5 0 . 52 1 0 . 9 05 5 5 n n 得 1 0 . 9 0 0 . 9 552n 查标准正态分布表的 n ， 2 2 n 16 所以 n 即在这种情况下至少应掷 68次才能满足要求。 3解：设 则有 ( 1 2 0 0 0 , 0 . 0 8 ) , ( ) 1 2 0 0 0 0 . 0 8 9 6 0 , ( ) 9 6 0 0 . 9 2 8 8 3 E X D X （ 1） 8 8 0 1 8 8 0 9 6 0 8 8 0 9 6 01 8 8 3 . 2 8 8 3 . 21 ( 2 . 6 9 2 ) ( 2 . 6 9 2 ) 0 . 9 9 6P X P （ 2）设总座位数为 n 9 6 0 9 6 0 0 . 8 , 0 . 88 8 3 . 2 8 8 3 . 2 n P 由中心极限定理知， 960( ) 0 3 ，查表得 =986n ，所以应增添 98605 个座位。 4解：令 X 为在这段时间内购买该药的老人数 则由题意知 ( 2 0 0 0 , 0 ( ) 2 0 0 0 0 . 3 6 0 0 , ( ) 6 0 0 0 . 7E X D X 0 . 9 96 0 0 6 0 0 0 . 9 94 2 0 4 2 0P X 由中心极限定理知， 600( ) 0 . 9 9420n ，查表得 600 2 420n ，所以 648n 四、证明题 1证明：设 则有,11, ( ) ( ) (1 ) 4nn k k k k k E X p D X p p 17 11111( ) ( ) ( ) X E Xn n n n 12 2 21111 1 14( ) ( ) ( ) X D Xn n n n n 由切比雪夫不等式得， 1222()11 1 | | 4p p n n n ， 所以当 n 时 121 | | 1p p ，即 12 | | 1p p 2证：因为12, , , 以 21X ， 22X ， 2互独立且同分布，且有相同的数学期望与方差： 22 i ， 02242242 满足独立分布中心极限定理条件，所以 ni 似服从正太分布 22 , 即 ni 似服从 242)(, 第五章 数理统计的基本概念 总体 样本 统计量 一、选择题 1.(D) 2.(A) 99 2 222 119 2 8 5 9 2 57 . 59 1 9 1 8 X 3. (D) 二、应用题 1. 5， 2. 551 2 5 1 511()( , , . . . ) ( ) , , . . .0,x x x f x a x x b 其 它18 3. 0 , 11, 1 24()3, 2 341 , 3 样分布 一、选择题 1.(C) 注： 11 111 ( 1 )/X 才是正确的 . 2.(B) 根据 2 221 1nS n 得到 221( ) 1n n 3.(A) 解： 99211 ( 0 , 9 ) 9 0 , 1 X N， 9 2219 9由分布的定义有 t 919219981 二、应用题 1. ( 1,1) 2. (1) 3 (1 0 , )2) . 五章 测验 一、选择题 1. ( C ) 2.（ C） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数 3（ D） 对于答案 D,由于 ( 0 , 1 ) , 1 , 2 , , i n ，且相互独立，根据 2 分布的定义有 2212() ( ) 19 4.(C) 注： 1 (0, ) ( 1)X 才是正确的 5.(C) 1 2 3 4 5 m a x ( , , , , ) 1 5 P X X X X X 1 2 3 4 51 m a x ( , , , , ) 1 5 P X X X X X 151 1 5 , , 1 5P X X = 5)1 二、填空题 1. ， 2n2. 1 ， 2111 ， 211 1 ，11in ， 11 n 3. , 2 5 2( 1)n 三、应用题 1. ( 1 )21211( , , . . . ) ( )! !x x x e ek k2. 3. ( 1) 第六章 参数估计 数的点估计 一、选择题 、解答题 （ 1） 1111 1 1x x 1 用 X 代替 则得 p 的矩估计量 ni （ 2）分布参数 p 的似然函数 ni i 1 取对数 ni i 1 011 ni 得 p 的极大似然估计量 ni （ 1） 26; 320 用 ni 替总体均值 则得参数 的矩估计量为 （ 2） ni ni 2444 因为 2222 2; 0 223 3 2046 所以 20422 取 112121 , ni 由定义 112121 ,ni 1121ni 21 11 212 1 2ni 11 212 1 2ni 11212 1 2ni 11 222 1 2ni 211222 21 所以 12 1 数的区间估计 一、选择题 1. C 2. A 个总体均值的估计 由于 , 故 ,31, 查 t 分布表得 0 2 3 5 1,t 又%, 故得 的 99%的置信区间为 % % , 计算得样本均值 16,0 1 7 2 （ 1）0 . 120 . 1 0 , 1 . 6 4 5 , 0 . 0 1 ,u 总体均值 的 90%的置信区间为 22, 2 . 1 2 1 , 2 . 1 2 9x u x （ 2） n 查 t 分布表得 0 5 1 3t t ，总体均值 的 90%的置信区间为 221 , 1 2 . 1 1 7 , 2 . 1 3 3t n x t 3. 解： 计算得 26 5 , 3 0 0 0 , 0 . 0 5 ， ，查 t 分布表得 0 2 7 1 5t ， 计算得株高绝对降低值 的 95%的置信下限为 2 1 2 8 . 2 9 8sx t n n . 每 平均蓄积量为 315m ，以及全林地的总蓄积量 375000m ，估计精度为 22 5. 个总体方差与频率的估计 由样本资料计算得 x , s , 6202.0s ,又由于 ， ， ， 151n 查 2 分布表得临界值 ,5(2 0 2 ,5(2 从而 2 及 的置信概率为 %95 的置信区间分别为 2. 解 （ 1）由于 ,14n , 查 t 分布表得 0 2 1 3 2 ,t 又 故得总体均值 的 95%的置信的区间为 221 , 1 7 . 7 3 6 , 9 . 6 6 4t n x t （ 2 ） 由 于 , ， , ,131n 查 2 分 布 表 得 ， ，故得总体方差 2 的 90%的置信区间为 12212222 3. 解 ,41, n 查 2 分布表得 , ，又计算得 x ， s ，故得该地年平均气温方差 2 的 90%的置信区间为 12212222 4. 解 造林成活率的置信区间为 0 5 4 , 0 6 9 个总体均值差的估计 1. 解 由于 182,1 ，查 t 分布表得临界值 0 2 1 8 2 1 又,021 221 而求得 21 的置信概率为 95%的置信区间为 即以 95%的概率保证每块试验田甲稻种的平均产量比乙稻种的平均产量高 由样本值计算得 5,5,27,21 ， 82 B ， ， ,u 故 21 的 95%的置信区间为 23 2 2 2 21 2 1 21 2 1 222, 5 . 7 6 , 0 . 5 6A B A Bx y u x y un n n n 3. 解 由样本值计算得 2222 7 ,91 n ,82 n , 查 t 分布表得 0 2 1 5 2 1,t 故得 的 95%的置信区间为 4. 个总体方差比的估计 解 ,11 BA 分布表得 1,12 ,1,1 B故 2221 的 95%的置信区间为： 6 0 0 2 1 ,1,11222222第六章 测验 一、选择题 、填空题 1. 122. 212X 3. 4. 21;1 5. 0 21n 三、计算题 因为 X N ,4, 2 所以 ,949 2222 S 于是， 22 2 分布表得 ,a 所以 6a （ 1） 21 !;, xe 1 ； 22 121 2 1 1 2 212222 121 2 1 1 2 21222 1 1 ,22 1 1 5 . 5 8 , 1 6 . 7 1 y t n n n s n y t n n n s n 24 （ 2） n 1, 2 . 3. 解 因为 X N 22,30 ，于是 ,)21(,30)162(,30 22 N而 1,021 30 ，故 2/1 30312/1 302/1 30293129 02 （ 1） 1 7 8 3 2 0,3 1 4 0 22 ；（ 2） 19 813 322 s 设施肥与不施肥的收获量分别为总体 , X N ， 21 Y N )( 22 ， 计算可得 ,1 7 3 2 2 22221 ,62