高一数学必修一知识点总结

高一数学必修一知识点总结 高一数学必修一知识点有哪些，以下是小编精心整理 的相关内容，希望对大家有所帮助！ 高一数学必修一知识点总结 集合 集合具有某种特定性质的事物的总体。 这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。 例如： 1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧 急。 2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有 理数的。 3、口号等等。 集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现 代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康 托(Cantor, ,1845 年1918 年，德国数学家先驱，是集合 论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学 的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。 什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义 的概念。 集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义” 。 集合 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区 分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)， 这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合 的元素(或简称为元)。 元素与集合的关系 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 集合符号 ，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限 集，空集是不含任何元素的集，记做 。 空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。 任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递 性。 说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是 集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ? B。 若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，一般写作 A ? B。 中学教材课本里将 ? 符号下加了一个 符号(如右 图)， 不要混淆，考试时还是要以课本为准。 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。 集合的几种运算法则 并集：以属于 A 或属于 B 的元素为元素的集合称为 A 与 B 的并(集)，记作 AB(或 BA)，读作“A 并 B”(或 “B 并 A”)，即 AB=x|xA,或 xB 交集： 以属 于 A 且属于 B 的元 差集表示 素为元素的集合称为 A 与 B 的交(集)，记作 AB(或 BA)，读作“A 交 B”(或“B 交 A”)，即 AB=x|xA, 且 xB 例如，全集 U=1，2，3，4，5 A=1，3，5 B=1，2，5 。那么因为 A 和 B 中都有 1,5，所以 AB=1，5 。再来看看，他们两个中含有 1,2,3,5 这些 个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说 AB=1，2，3，5。 图中的阴影部分就是 AB。 有趣的 是;例如在 1 到 105 中不是 3，5，7 的整倍数的数有多少个。 结果是 3，5，7 每项减 集合 1 再相乘。48 个。 对称差集： 设 A,B 为集 合，A 与 B 的对称差集 AB 定义为： AB=(A-B)(B-A) 例如：A=a,b,c,B=b,d,则 AB=a,c,d 对称差运 算的另一种定义是: AB=(AB)-(AB) 无限集： 定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 有 限集：令 N*是正整数的全体，且 N_n=1，2，3，n,如 果存在一个正整数 n，使得集合 A 与 N_n 一一对应，那么 A 叫做有限集合。 差：以属于 A 而不属于 B 的元素为元 素的集合称为 A 与 B 的差(集)。记作：AB=xxA,x 不属 于 B。 注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属 于任何集合”. 补集：是从差集中引出的概念，指属于全 集 U 不属于集合 A 的元素组成的集合称为集合 A 的补集， 记作 CuA，即 CuA=x|xU,且 x 不属于 A 空集也被认 为是有限集合。 例如，全集 U=1，2，3，4，5 而 A=1，2，5 那么全集有而 A 中没有的 3，4 就是 CuA，是 A 的补集。CuA=3，4。 在信息技术当中，常常把 CuA 写成A。 集合元素的性质 1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元 素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学” “很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一 个集合是否能形成集合。 2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必 须为自然数。 3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如 写成1，1，2，等同于1，2。互异性使集合中的元素是 没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作 这个集合的一个元素。 4.无序性：a,b,cc,b,a是 同一个集合。 5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例 子来表示。集合 A=x|x 集合有以下性质 若 A 包含于 B，则 AB=A，AB=B 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C而对于 集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a,b,c拉 丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。 将 拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如： A=的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号 括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。 1.列举法常用于表 示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来写在大 括号内这种表示集合的方法叫做列举法。 1，2，3， 2.描述法常用于表示无限集合， 把集合中元素的公共属性用文字符号或式子等描述出来 写在大括号内这种表示集合的方法叫做描述法。x|P (x 为该集合的元素的一般形式，P 为这个集合的元素的共 同属性)如：小于 的正实数组成的集合表示为：x|0 4.自然语言 常用数集的符号： (1)全体非负 整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作 N;不 包括 0 的自然数集合，记作 N* (2)非负整数集内排除 0 的集，也称正整数集，记作 Z+;负整数集内也排除 0 的集， 称负整数集，记作 Z- (3)全体整数的集合通常称作整 数集，记作 Z (4)全体有理数的集合通常简称有理数集， 记作 Q。Q=p/q|pZ，qN,且 p,q 互质(正负有理数集合 分别记作 Q+Q-) (5)全体实数的集合通常简称实数集， 记作 R(正实数集合记作 R+;负实数记作 R-) (6)复数集 合计作 C 集合的运算： 集合交换律 AB=BA AB=BA 集合结合律 (AB) C=A(BC) (AB)C=A(BC) 集合分配 律 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB) (AC) 集合德.摩根律 集合 Cu(AB)=CuACuB Cu(AB)=CuACuB 集 合“容斥原理” 在研究集合时，会遇到有关集合中的 元素个数问题，我们把有限集合 A 的元素个数记为 card(A)。 例如 A=a,b,c，则 card(A)=3 card(AB)=card(A) +card(B)-card(AB) card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)- card(BC)-card(CA)+card(ABC) 1885 年德国 数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描 述法是表示集合的常用方式。 集合吸收律 A(AB)=A A(AB)=A 集合求补律 ACuA=U ACuA= 设 A 为集合，把 A 的全部子 集构成的集合叫做 A 的幂集 德摩根律 A-(BUC)=(A-B) (A-C) A-(BC)=(A-B)U(A-C) (BUC)=BC (BC)=BUC =E E= 特殊集合的表示 复数集 C 实数集 R 正实数集 R+ 负实数集 R- 整数集 Z 正整数集 Z+ 负整数集 Z- 有理数集 Q 正有理数集 Q+ 负有理数集 Q- 不含 0 的有理数集 Q* 自然数集 N 不含 0 自然数 集 N* 高一数学必修一知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个 集合,其中每一个对象叫元素. 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定 的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素. (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的 对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素. (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两 个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查 排列顺序是否一样. (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整 体性. 3、集合的表示： 如我校的篮球队员,太平 洋,大西洋,印度洋,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员, B=1,2,3,4,5 2.集合的表示方法：列举法与描述法. 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 aA ,相反,a 不属于集 合 A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大 括号括上. 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大 括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属 于这个集合的方法. 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是x?R| x-32或x| x-32 4、集合的分类： 1.有限集 含有有限个元素的集合 2.无限集 含有无限个元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=-5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意： 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是 同一集合. 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B 或 B A 2.“相等”关系(55,且 55,则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同” 结论：对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元 素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集 合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即：A=B 任何一个集合是它本身的子集.AA 真子集:如果 AB,且 A1 B 那就说集合 A 是集合 B 的 真子集,记作 A B(或 B A) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合 的真子集. 三、集合的运算 1.交集的定义：一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素 所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 AB(读作”A 交 B”),即 AB=x|xA,且 xB. 2、并集的定义：一般地,由所有属于集合 A 或属于集 合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作：AB(读 作”A 并 B”),即 AB=x|xA,或 xB. 3、交集与并集的性质：AA = A, A=, AB = BA,AA = A, A= A ,AB = BA. 4、全集与补集 (1)补集：设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ), 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的 补集(或余集) 记作： CSA 即 CSA =x | x?S 且 x?A S CsA A (2)全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的 全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用 U 来表示. (3)性质：CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA) A=U 二、函数的有关概念 1.函数的概念：设 A、B 是非空的数集,如果按照某个 确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f：AB 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作： y=f(x),xA.其中, x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫 做函数的值域. 注意：2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定 义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的 集合;3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分 母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数 式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且 不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结 合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值 组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中 的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和 值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两 个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等 (或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和 对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关. 相同函数的判断方法：表达式相同;定义域一致 (两点 必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取 什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉 掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数 的值域,它是求解复杂函数值域的基础. 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集 合 C,叫做函数 y=f(x),(x A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过 来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x,y),均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) |y= f(x) , xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能 是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条 曲线或离散点组成. (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一 些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变 换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分 析解题的思路.提高解题的速度. 发现解题中的错误. 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2) 无穷区间;(3)区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定 的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作“f：A B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应, 集合 A、B 及对应法则 f 是确定的;对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关 系一般是不同的;对于映射 f：AB 来说,则应满足：()集 合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; ()集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一 个;()不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象. 常用的函数表示法及各自的优点： 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、 离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法：必须注明函数的定义域;3 图象法：描点法作图要 注意：确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的 特征;4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义 域的特征. 注意啊：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出 函数值.图象法：便于量出函数值 补充一：分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.在 不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式. 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值 几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各 部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把 它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域 的并集,值域是各段值域的并集. 补充二：复合函数 如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=f=F(x), (xA) 称为 f、g 的复合函数. 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 7.函数单调性 (1).增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某 个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1 高一数学必修一知识点总结 学习任何一门知识点都要 学会对该知识点进行总结，这样检查学生对知识的真正掌 握程度以及方便学生日后的复习。只有对一门知识有了较 全面的把握才能做出对一份知识比价全面的总结。下面小 编为大家提供高一数学必修 1 知识点总结，供大家参考。 一丶函数的有关概念 1.函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个 确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集 合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作： y=f(x)， xA.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定 义域;与