《误差理论与数据处理》部分课后作业参考答案

误差理论与数据处理部分课后作业参考答案 1据数据运算规则，分别计算下式结果： （ 1） （ 2） 【解】 （ 1） 原式 2) 原式 某时某地由气压表得到的读数（单位为 权各为 1， 3， 5， 7， 8， 6， 4， 2，试求加权算术平均值及其标准差。 【解】 （ 1） 加权算术平均值： = 100000+11+3+5+7+8+6+4+2 = 2） 标准差： (= 1（ +3（ +(1+3+5+7+8+6+4+2)（ 81） = 对某量进行 10 次测量，测得数据为 判断该测量列中是否存在系统误差。 【解】 对数据进行列表分析，如下： 序号 数据 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x = = + + 出残差与次数的关系图： 3 4 5 6 7 8 9 10 系列 1 （ 1） 线性系统误差：根据关系图利用残余误差观察法可知，不存在线性系统误差。 根据不同公式计算标准差比较法可得： 按贝塞尔公式： 按别捷尔斯公式： ( |u| = |211| = | = +=30， 判断两组数据可能存在系统误差。 2 等精度测得某一电压 10次，测得结果（单位为 V）为 量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了 10 次等精度测量，测得结果（单位为 V）为 用 =断两组测量值之间是否有系统误差。 【解】计算两组测量 结果的算术平均值： x = 110 = y = 110 = 2 = 110( )2 = 2 = 110( )2 = t = ( 1010(10+102)(10+10)(100= v=10+108， 取 = 因 |t|=它含有粗大误差，故将此测得值剔除。再根据剩下的 13 个测得值重新计算，无粗大误差。 2）格罗布斯准则 由表 1 计算得 x(平均值 )= 按测得值的大小，顺序排列得 ( 1 ) ( 1 5 )2 8 . 4 , 2 9 . 5 2今有两测得值(1) (15)怀疑 4 1g 则 ( 1 5 ) 03 . 5 6 4 8 (1 5 , 0 . 0 5 ) 2 . 4 1 故表 1 中第四个测得值(15)予以剔除。 剩下 14 个数据，再重复上述步骤，判别(1) 计算 2 8 2 8 6x ( 1 ) 2 8 . 4 2 8 . 5 0 2 8 6 3 . 1 7 4 60 . 0 3 2 4 0g 查表 2程用书 0 (1 4 , 0 . 0 5 ) 2 . 3 7g 故表 1 中第十四个测得值(1)予以剔除。 余下测得值也不含粗大误差。 3）狄克松准则 1 9 2 0 10 3 1 11 4 2 12 5 3 13 6 4 14 7 5 8 首先判断最大值(15)x。 因 15n ，故按式 （ 2课程用书 计算统计量22r( 1 5 ) ( 1 3 )22( 1 5 ) ( 3 )2 9 . 5 2 2 8 . 5 3 0 . 9 6 1 22 9 . 5 2 2 8 . 4 9 查表 2 0 (1 5 , 0 . 0 5 ) 0 . 5 2 5r 则 2 2 0 0 5故第四个测得值(15)予以剔除。剩下 14 个数据，再重复上述步骤。对(14)x，计算不含有粗大误差。 对(1)x，按式 （ 2计算22r( 1 ) ( 3 )22( 1 ) ( 1 2 ) 2 8 . 4 2 8 . 4 9 0 . 6 9 2 3 2 8 . 4 2 8 . 5 3 查表 2 0 (1 4 , 0 . 0 5 ) 0 . 5 4 6r 则 2 2 0 0 6故第十四个测得值(1)予以剔除。对剩下 13 个数据，再重复上述步骤，不含有粗大误差。 2某被测量 x 进行间接测量得： 2 ， 3 ， 4 ，其权分别为 5:1:1，试求 x 的测量结果及其标准差？ 【解】 1 1 . 4 4 2 0 . 7 2x 1 5p2 2 . 1 8 3 0 . 7 2x 2 1p 3 2 . 9 4 0 . 7 2 5x 3 1p _ 1 1 2 2 3 31 2 30 . 7 2 5 0 . 7 2 7 0 . 7 2 5 0 . 7 2 25 1 1x p x p x px p p p 322 2 21315 ( 0 . 7 2 2 0 . 7 2 ) ( 0 . 7 2 2 0 . 7 2 7 ) ( 0 . 7 2 2 0 . 7 2 5 ) 0 . 0 0 1 9 62 ( 5 1 1 )( 3 1 ) 3过电流表的电流 I 与指针偏转角 服从下列关系： 式中 C 为决定于仪表结构的常数， 75 1 1 0，两次测得1 6 1 7 1 、2 4 3 3 2 1 。试求两种情况下的1I、2分析最佳测量方案。 【解】 由于题中给出的是角度的极限误差，所以对计算函数要做如下变形， 因 t a n t a n /I C I C ,由三角函数随机误差（极限误差）计算公式 （ 3，有： 2 2 2 2c o s ( ) c o ， 2 2 2 2l i ml i m l i mc o s ( ) c o li m 2c o (1) 当1时，把1 6 17 代入关系式，有： 7811t a n 5 . 0 3 1 1 0 t a n ( 6 1 7 ) 5 . 5 4 1 0 ( )I C A 相应的极限误差为： 117l i m 10l i m 2215 . 0 3 1 1 0 1 / ( 1 8 0 6 0 ) 1 . 4 8 1 1 0 ( )c o s c o s 6 1 7 当2时，把2 43 32 代入关系式，有： 7722t a n 5 . 0 3 1 1 0 t a n ( 4 3 3 2 ) 4 . 7 8 0 1 0 ( )I C A 相应的极限误差为： 227l i m 10l i m 2225 . 0 3 1 1 0 1 / ( 1 8 0 6 0 ) 2 . 7 8 4 1 0 ( )c o s c o s 4 3 3 2 根据求得测量电流的误差传递式（ 1），欲使极限误差小 ,必须满足2最小，又因为 C 为常数，这意味着只能使 2 最大。又因为 电流表指针偏转角在 0 范围内变化，当 0 / 2 时， 2 单调递减，为使 2/ 趋小， 应该越小越好，则测得的电流误差小。与上诉计算结果验证一致。 3通过电流表的电流 I 与指针偏转角度 服从下列关系： 若测得 , 04031419 试求电流 I 的标准差。 【解】 由已知， 031419 40将 分别对 C 和 求导，得 2 o 31419( t a n)()( 所以有 3y 3定从支点到重心的长度为 L 的单摆振动周期为 T，重力加速度可由公式 2 中给出，若要求测量 g 的相对标准差 %1.0/g g，试问按等作用原则分配误差时，测量 的相对标准差应该是多少？ 【解】 由等作用分配原则， ,g 则有 22224241 23238281由相对标准差的定义，有 % %2282 其中，测量 g 的相对标准差 %1.0/g g。 3某一质量 进行 4次重复测量，测得数据（单位： g）为 知测量的已定系统误差 ，测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所列。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。 序号 极限误差 /g 误差传递系数 随机误差 未定系统误差 1 1 2 - 3 - 4 - 5 1 6 - - 【解】 80 11 4 2 8 . 7 7 540 4 2 8 . 7 7 5 2 . 6 4 3 1 . 3 7 5m m g 88220 111( ) ( ) 4 . 9i i j e a ( 4 2 6 . 2 4 . 9 ) 4某数字电压表说明书指出，该表在校准后的两年内，其 2V 量程的测量误差不超过 （ 14610 读数 + 61 10量程） V，相对标准差为 20%，若按均匀分布，求 1V 测量时电压表的标准不确定度。设该表校准一年后，对标称值为 16次重复测量，得观测值的平均值为 以平均值作为测量估计值，试分析影响测量不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量，说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。 【解】 （ 1） 电压表测量误差不超过 （ 14 610 读数 + 61 10量程） V，且电压服从均匀分布 标准 不确定度为 66 611 4 1 0 1 1 1 0 2 9 . 3 1 03 自由度为1 21 1 2 . 52 ( 2 0 % )v （ 2） 1 0 . 0 0 0 0 3 6 9 1 016 自由度：1 1 6 1 1 5v 6 6 62 1 4 1 0 0 . 9 2 8 7 5 1 1 0 2 8 . 7 1 0 自由度：2 21 1 2 . 52 ( 2 0 % )v 由于两种不确定度的传递系数为 1，且两者互不相关 合成不确定度为 2 2 612 1 2 . 5 1 0 U V 自由度为 444121227根据置信概率 95%P ，自由度 27v ，查 9 5 ( 2 7 ) 2 t 即包含因子 ，于是电压测量的展伸不确定度为 62 . 0 5 1 2 . 5 1 0 0 . 0 0 0 0 2 5 6 2 5cU k U V 依据“三分之一准则”对展伸不确定度进行修约，得展伸不确定度 最后不确定度的报告电压测量结果 ( 0 . 9 2 8 5 7 0 . 0 0 0 0 3 ) 说明：以上测量结果中 符号以后的数值是展伸不确定度 ，是由合成标准不确定度 61 2 0以及包含因子 确定的。对应的置信概率 95%P ，自由度 27v 。 4测长仪上对同一圆柱截面的直径进行了 9次重复测量，其单次测量标准差为 m ；已知测长仪的示值误差为 0.4 m ；仪器的分辨力为 0.1 m ，按均匀分布，相对标准差都为10%；测量时温度控制在 (20 C，对测量影响不超过 m （按 3 计算得到），其相对标准差为 20%。若用平均值作为直径测量结果的估计值，求直径测量合成标准不确定度及其自由度。 【解】 重复测量引起的标准不确定度为10 . 0 9 0 . 0 39 自由度1 9 1 8v 示值误差引起的标准不确定度（按均匀分布）20 . 4 0 . 2 3 0 9 43 自由度2 21 502 (1 0 % )v 仪器分辨力引起的标准不确定度（按均匀分布）30 . 1 0 . 0 5 7 7 43 自由度3 21 502 (1 0 % )v 温度变化引起的标准不确定度4 0 . 1 2 0 . 0 43自由度4 21 1 2 . 52 ( 2 0 % )v 由于四种不确定度的传递系数为 1 ，且互不相关合成不确定度为2 2 2 21 2 3 4 0 . 2 4 3 2 4 U U U m 自由度为 444 4 431 2 41 2 3 46 1 . 0U U Uv v v v4用漏电测量仪直接测量正常使用中微波炉的漏电电流， 5 次重复测量的平均值为 均值的标准差为 知漏点测量仪的示值误差范围为 5%，按均匀分布，取相对标准差为 10%；测量时环境温度和湿度的影响范围为 2%，按三角分布，其相对标准差为 25%；试给出漏电电流测量的不确定度报告（置信概率为 99%）。 【解】 A 类：41 0 . 0 0 1 4 . 4 7 1 05u m 1 14n B 类：32 5 % 0 . 3 2 9 . 2 4 1 03u m A 2 21 502 0 33 2 % 0 . 3 22 . 6 1 1 06u m A 3 21 82 0 2 2 2 31 2 3 9 . 6 1 1 0cu u u u m A 44315 6 . 30 . 9 9( 5 6 . 3 ) 2 . 6 70 . 0 2 5 6 5 8 7cU k u m A根据“三分之一”准则对展伸不确定度进行修约，则 故漏电电流为 ( 0 0 0 6 ) 。其展伸不确定度 是由合成标准不确定度39 . 6 1 1 0cu m A 及包含因子 确定的，对应的置信概率 99%P ， 。 5测力计示值与测量时的温度 t 的对应值独立测得如下表所示： t/ 15 18 21 24 27 30 F/N t 无误差， F 值随 t 的变化呈现性关系 F=k0+给出线性方程中系数 【解】 0F k 1 1 2 2l a x a x1 1a， 2102表如下： i 111 15 225 15 1 18 324 18 1 21 441 21 1 24 576 24 1 27 729 27 1 30 900 30 6 135 3195 135 126 1 3 5 2 6 2 . 1 5 121 3 5 3 1 9 5 5 9 0 0 . 1 9 0 4 3 . 4 3 2 4 0 . 0 1 1 5 又 ( 4 3 . 4 3 2 4 0 . 0 1 1 5 )i i 31 5 0 N 32 9 . 4 1 0 N 33 6 0 N 34 1 . 6 1 0N 35 2 0 N 36 2 0 N 6231 6 . 5 1 0 又 1 1 1 26 1 3 5 11 1 1 21 3 5 3 1 9 5 0 11 2 1 2 26 1 3 5 02 1 2 21 3 5 3 1 9 5 1 322 6 9 1 0d 0 211 1 . 2 1 0k 422 5 . 2 1 0k 6 4 种不同温度下观测某化学反应生成物含量的百分数，每种在同一温度下重复观测 3 次，数据如下 : 温度 x/ 150 200 250 300 生成物含量的百分数 y 解】 序号 x/ y/% 2/ 2 2/%2 % 1 150 2500 200 0000 6820 3 250 2500 300 0000 8539 900 15000 9291 =1= 900 = 225 2=1= 215000 2 ()=12/ = 202500 2 = 2=1()=12/ =12500 2 =1= = 2=1= ()=12/ = = 2=1()=12/ = = = 0 = = = N=4 = 79291=1 % (t=1)(t=1)/N =% = =1(t=1)(t=1)/N =% 现在进行方差分析。 U = = = = = ( )2=1=1= 源 平方和 自由度 方差 F 显著性 回归 失拟 误差 2 8 (1,8) (2,8) 计 1 F = = F(1,8) 1 = 1