误差分析和数据处理

1第二章 误差分析和数据处理本章內容： 1. 测量误差基本概念2. 随机误差3. 系统误差和误差传递4. 测量不确定度5. 实验数据处理2.1 测量误差基本概念1. 测量比较（1）测量的方法： 直接测量：米尺量桌子，直接知道桌子长度。 间接测量：由直接测量的数据，通过一定的函数关系，计算求得被测量。测量桌子几何尺寸，根据材料密度，求出桌子重量。（2）测量量的时间特性 静态测量： 被测量在测量过程中的状态不随时间变化 动态测量： 被测量在测量过程中随时间变化（采样定理）2. 误差 真值：在一定时空条件下，某物理量的理想值，表达为 A。 （真值仅为理想概念。真值可以用修正过的测量值的算术平均值代替。 ） 误差的表达方法：绝对误差: 测量值与被测量物理量的真值的差， = x A, 绝对误差，残差： 测量值与其算术平均值的差，相对误差: 绝对误差与真值的百分比， /A 100% 或者： 绝对误差与测量值 x 的百分比, /x 100%【例 1】 仪表的精度。仪器示值误差示值对应输入量的真值示值相对误差: 示值误差/示值示值引用误差: 示值误差/ 满量程值 （表盘上的最大值）仪表精度仪器允许的最大引用误差的百分数的分子。0.5 级的电压表，满量程为 100V，最大示值误差为 0.5V。仪器工作在满度值 2/3 以上区域 。思考题 1：用万用表（1 级）测电池电压 1.5V，选 2V 档？ 200V 档？3. 误差分类 随机误差（Random Errors） 多次测量同一被测量量过程中，绝对值和符号以不可预知方式变化着的测量误差的分量。具有随机变量特点，一定条件下服从统计规率的误差。来源于测量中的随机因素：实验装置操作上的变动性、观测者本人的判断和估计读数上的变动性等。 系统误差（Bias Errors）多次测量同一被测量量过程中，误差的数值在一定条件下保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。i2来源于测量仪器本身精度、操作流程、操作方式、环境条件。 2.2 随机误差1随机误差的特点随机变量依赖随机因素，以一定概率取值的变量， 如：交通事故随机误差随机变量的一种具体形式，2. 随机误差的正态分布（1） 随机误差分布特点：等精度条件下，对一物理现象测量 N 次，得 x1xN 个值（i=1, N） 。把 xi 按大小顺序分q 组，每组宽度 。N 个测量值落在 xi + 区间的次数（频率）为 p*1p*q 增加组数，缩小了 ，直方图的顶点趋于一光滑曲线。纵坐标趋于概率密度 ，表示随机变量 x（测量值）的分布曲线； 如果用 = x - A 代替 x 值，则上述方法得到 p()，即随机误差 的分布曲线。此时原点挪至 A。 随机误差正态误差分布规律的四条公理：（）单峰性。绝对误差小出现机会多，绝对误差大出现机会少；（）对称性。N 足够大， 相等；（）有界性。绝对值极大的误差出现机会极少；（）抵偿性， N 趋于无穷，随机误差的算术平均值的极限趋于 0 (2) 高斯正态分布等精度条件下测量 N 次，x 1.xN，每次的绝对误差 1.N 测量误差的均方值： 测量误差的均方根值（标准差） 随机误差分布规律 f()若符合高斯分布为：1lim()0iN, 21i21Ni22()hfe12h()*jp3称精密度，越小则 h 越大，曲线越尖， 的离散性越小。落到 和 + 之间的随机误差的概率:（3）正态分布的应用 对服从正态分布的误差，误差介于的概率为： 误差介于 2和 3的概率为所以误差超出 3的概率仅为 2.7，一般不可能，极限误差。上述对误差分布规律进行讨论，还有一个问题是对真值 A 的研究。 3 标准误差定义：误差的均方根值(1) 贝塞尔公式法求 绝对误差： 残差: 真值 A 用算术平均值代替时的误差根据方差的基本运算法则因此，用残差 vi 代替绝对误差 时，标准误差 与 v 在 N 趋于无穷时才相等。还可以用最大残差法。(2) 最大残差法求 残差：用算术平均值代替真值 A 后的误 差由正态分布，如果已知 N 次测量中的最大、残差为 ，则任意一次测量的标准差为：|=|可查表（已知） ，由正态分布理论给出。因此只要计算测量值的算术平均值，求出最大残差值 ，查表后计算 。| ()pfd()0.6827pfd2.9543721Nvi=ix=ixA111NNNiiiii ix22i iv21Ni21vivix44 测量最佳值与算术平均值 测量值的算术平均值：最小二乘法指出：对等精度的多个测量值，最佳值（可信赖值）是使各测量值的误差的平方和为最小时所求的值。 绝对误差： 概率： =22误差同时出现的概率是各个概率的乘积：其中若 p 最大则 Q 最小， 求 Q 的导数， 可见足够次数的等精度测量的算术平均值是测量最佳值。5 算术平均值的标准偏差 s用算术平均值 x 代替真值 A 的误差是多少？推导：算术平均值的绝对误差： =算术平均值的标准偏差 s 与测量值的标准偏差 有如下关系：（方差的基本法则）=2=()2(1) = 2(1)多次测量的算术平均值的标准偏差 s 比测量值的标准偏差 小 倍。 N例如：N10，s/ =0.32。6 本节小结 随机误差特点（4 个） 标准误差及表示方法2.3 系统误差与误差传递1 系统误差与随机误差同时存在，但有一定规律。仪器误差、装置误差、操作误差、外界误差、方法误差(1) 发现和检验 实验测量值与理论估算值相差过大； 观察残差：发现测量中含有规律的系差：同号（累进性） 、交替（同时性） ； 对实验原理、方法、步骤、仪器一一分析。 阿贝判据、马列科夫判据（略）(2) 消除或减弱系统误差的方法 改进仪表的精度；Axii)1(Ni21.()ihNpe221()Niix1d()0iA1Nix1Nix5 改进测量方式： 实验进行的步骤、测量点的顺序2 误差传递直接测量不方便或不可能而用间接方法。例如测量桌子的重量。桌子几何尺寸用米尺直接测量，根据木料的密度，计算桌子重量，这中间用到密度参数。带入误差的机会：测尺寸，密度参数等。(1) 线性函数误差传递的一般法则 直接测量量： z1, , zm直接测量量的误差：间接测量量 y 为 z 的线性函数：y 的绝对误差： , 方差相对误差：标准误差 (2) 非线性函数误差传递间接测量量 y 为 z 的线性函数： 而且 z1, , zm 互相独立。将 y 在y 附近做 Taylor 展开，且取一次近似则绝对误差 , 方差相对误差标准误差其中 是直接测量误差的传递函数。3 本节小结 系统误差及来源，消除方法； 误差传递公式2.4 测量不确定度1. 测量不确定度的定义（ Uncertainty of measurement）（1）测量结果的不确定度定义： 与测量结果相联系的参数，表征合理地赋予被测量之值的分散性。 （2）与误差概念的区别, 0iiz1yia1miaz21miyaz21()miizya21yi1(,)mfz1Niifyz1miifyz 21()miifyz21()miiizfy2yiifvzizf6 误差与真值相联系。 测量误差是测量结果减去被测量的真值。由于真值不能确定，误差也无法准确地知道，因此误差概念是定性的。而不确定度不包含真值，因此可定量确定测量量与真值接近的程度。 测量误差是个差值，在数轴上表示为一个“点” 。而测量不确定度表示被测量之值的分散性，可能分布的范围，在数轴上表示为一个“区间” 。2. 测量不确定度的评定测量不确定度评定方法（1980 年国际计量局提出了实验不确定度表示建议书 INC-1)：A 类和 B 类不确定度测量值的分散性由许多成分组成，可以由测量列结果统计方法算出，由实验标准偏差 Si 表征，称为 A 类分量或 A 类不确定度评定。另一些成分不是用统计方法算出，而是基于经验或其它信息的概率分布估计的，也用假设存在的类似于标准偏差的量 Uj表征，称为 B类分量或 B 类不确定度评定。3.直接测量不确定度的估算（1）A 类分量 UA用标准偏差公式 si， 测量值的标准偏差 Baissel 公式: s(xix )2n1平均值的实验标准偏差 s(xix )2n1（2）B 类分量 UB用估计、借用等方法，转化为标准偏差 sj对于 B 类不确定度，不能采用统计计算方法，可以采用等价标准差计算 sj。首先估计一个“误差极限值 ”，然后确定误差的分布规律（状态分布、均匀分布等） ，利用关系式=可算出近似标准差。其中 C 为置信系数，正态分布时 C=3，均匀分布时 C= 3如何估计误差极限值 ？ 由仪器产生的不确定度：如果仪器直接标出准确度，则 。=如果仪器未注明精度，可连续读数的仪器取最小分度的 1/2 作为仪器误差，不可连续读数的仪器取最小分度作为仪器误差（数字式仪表等） 。或者根据实际情况估计误差极限值，如原点对准误差。（3）合成标准不确定度 u C将 A 类和 B 类不确定度按平方和开方的办法叠加获得， uCsi2sj2ji（4）总不确定度 U对于特殊用途，当需要将合成标准不确定度乘以包含因子 K 获得总不确定度时，必须说明此因子的数值， 。 UuCK xx KuCx U包含因子 与要求的置信概率 p 和自由度有关。置信概率 p 为所测量的值落 (p,)入分散性区间的概率；自由度 v=n-1，与测量次数 n 有关；7K=2,置信度为 95%，测量数据以 95%的可能在区间 内， x 2uCK=1,置信度为 68%，测量数据以 68%的可能在区间 内。 x uC本节小结1. A 类不确定度用统计学方法；B 类不确定度用分析等方法；2. A、B 两类不确定度与随机误差与系统误差的分类之间有联系但不存在简单的对应关系。随机误差与系统误差的合成是没有确定的原则可遵循的，造成对实验结果处理时的差异和混乱。而 A 类不确定度与 B 类不确定度在合成时均采用标准不确定度。3. 不确定度给出一个围绕估计值（算术平均值）的区间（范围） ，表明测量值的分散性4.间接测量不确定度的评定间接测量是通过直接测量进行的，每个直接测量的误差必然会带给间接测量。直接测量的不确定度如何传递给间接测量的不确定度？本节介绍不确定度的传递规律。假设待测物理量 与各直接测量量 有如下函数关系： =(1,2,)按照多元函数全微分，=11+22+=1如果函数关系为 =(1,2,)其全微分为=11+22+=1将微分式中的微分量看做不确定度，求平方，略高价小量，则不确定度传递公式为，=(1)221+(2)222+()22= 1()22或=(1)221+(2)222+()22=1()22其中函数的偏微分称为传导系数。公式的非对数形式适用于函数关系式为和差形式，而其对数形式适用于函数关系式为积商形式，相对不确定度的传导公式。间接测量不确定度评定方法：（1） 找出所有影响测量不确定度的影响量 Xi，建立满足测量不确定度评定所需的数学模型， 一般形式： yf(x1,2,.xN)8影响量 Xi 也称为输入量，有 N 个不同的直接测量量，被测量 Y 也称为输出量。Xi 之间不相关。（2）确定各输入量（直接测量的量）的标准不确定度 u(xi)和合成不确定度 uc(xi)，求 xi 的 A 类不确定度 si，xi 的 B 类不确定度 sj，合成不确定度 uC(xi)si2sj2ji（3）确定 y 的合成标准不确定度 uc(y)，用不确定度的传播公式：NiiCCxfyu12)()或 NiiCiC uy12(ln(（4）总不确定度 =其中 K 为被测量 Y 可能值分布的置信因子。正态分布下，K=1,2,3 的置信概率分别为：0.683，0.954 和 0.977；在不确定度分析时，取 K=1，最终测量结果的不确定度评价时取K=2。（5）给出测量结果及其不确定度: yy KuCy 2uC2.5 实验数据的处理1. 有效数字（1）定义：该数左起第一个非零数到最末一个数（包括零） 。0.0135 三位有效数字， 8700 四位有效数字（2）有效数字的确定 仪器可读准的数字+1 位欠准数字（可疑数字）= 有效数字【例 1】用米尺量桌子，mm 为欠准数字。写成 1.2340.001m，4 是估计值。 测量量的位数由不确定度位数决定。原则上不确定度只取一位有效数字，可以允许2 位。当测量不确定度已知时，测量结果的有效数字位数应与该不确定度位数一致。【例 2】 有效数字位数用钢尺： d=6.20.5 mm 用游标卡尺： d=6.360.02 mm用螺旋测微器： d=6.3470.004 mm 仪器仪表的精度【例 3】若压力表精度0.1%，量程 100Pa, 最大允许误差0.1Pa, 测量结果表达57.50.1Pa，5 是估计值 。仪表的最大允许误差表示仪器可能存在的误差的最大值，可作为评定 B 类不确定度的依据。（3）有效数字表示 普通记数法：637110km科学计数法 10n, 6371km - (6.370.01)103 km “科学修约”准则9当需要的有效数字位数确定后，多余有效数字一律舍弃。按“四舍六入五凑偶”：末位是 5，保留的尾数为奇数+1，偶数不变。【例 4】如果不确定度为 U=0.001，正确表示下列数字：3.14159 可写成 3.142, 1.73250 可写成 1.732， 4.71729 可写成 4.717（4）不确定度的位数在最后结果中，不确定度的有效数字位数为 1-2 位， “只进不舍”原则；不确定度数字与测量值有效数字可疑位应该具有相同数量级，对齐。2. 可疑数据的剔除可疑数据不能随意剔除,必须查明原因。查不出原因时应根据一定的法则来判断。还可以在同样条件下增加测量次数，减少其影响。（1）3 准则等精度测量列中绝对误差值超过 3 的概率极小。等精密度测量是指测量条件恒定，测量方法仪器外界条件测量人员都不变的情况下，测量值符合同一精密度指数下的正态分布 (|3)1.96X1 是异常数据应舍去。b.设 X10 为可疑数据，计算| X10- X0|/= 0.17/0.14 = 1.211.212.18 X1 是异常数据应舍去;选择危险率 = 1% 查表 T(10,)= 2.41,则可保留。无其他可疑数据。从此例可知格拉布斯准则比肖维纳准则不容易舍弃数据，3 准则更不容易舍弃数据。2. 测量结果的处理（1）按被测量的先后顺序排列数据（2）求 x 的算术平均值（3）不确定度评定 不含间接测量量计算残差 iivx1Ni11计算实验标准误差（用贝塞尔公式）或：平均值的实验标准差 s(x-)合成不确定度 uc(y) 含公式利用不确定度传播公式 uc(y)（4）扩展不确定度， U=K uc(y)（5）测量结果的表达式 yy KuCy 2uC【例 1】 有一组测量数据如下：X1 = 7.65 X2 = 7.84 X3= 7.89 X4 = 7.93 X5= 7.95X6= 7.99 X7 = 8.02 X8= 8.05 X9 = 8.08 X10 = 8.12，给出测量结果。解：第一步 计算算术平均值和标准误差 ：95.7nxi 14.012nVi第二步 检查有无异常数据：(1)3 准则 3= 0.42 7.95+0.42 = 8.37 7.95-0.42 = 7.53 测量数据中无大于等于 8.37 的数据也没有小于等于 7.53 的数据。因此无异常数据。（2）用肖维纳准则：（a）X1 为可疑数据，计算| X1- X0|/ = 0.30/0