第1章建立数学模型

第 1 章 建立数学模型 R; C1 u4 D“ s0 p1 d) 9 d/ x关键词：数学模型 意义 特点第 1 章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。- S0 P! V) d6 ) l“ , X6 s椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这 3 个熟悉的例子，用简单的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最好的诠释：用数学语言描述事物、现象 往往增添了说服力。6 ?7 m9 q) h: o5 n0 e2 L6 V+ y. U, ) R: q4 i5 R! O* ; X1 X, D- D- / k- u第 2 章 初等模型“ m4 q* a l/ 9 u6 B! B如何把问题做恰当的简化，到简单的数学工具能够表示、求解的程度，本章做出了很好的例子，同时分析也很精彩。2.1 节公平席位分配，通过定义不公平程度等衡量标准，确立目标，提出Q 值法。有意思的是，在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时，根据所提出的 4 个（毋庸置疑的）公理，得出的结论却是：不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。 这给我们什么启示呢？有些问题和工作，比如公平席位的分配，日常中是一定要做的，就算不能达到绝对公平也要分配，但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时，我们还有分配的意义吗？答案不一；在这个例子中，固然是有意义的，我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通过删改公理来取得更公平方案。录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型，均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析，这里每个例子中的分析，求解后的解释很重要 它们是整个模型的关键，阐述现象。) b0 7 P( z- C8 s2 r2.7 实物交换 是后面经济学模型的雏形，无差别曲线的图形方法，确定这种曲线实际中要收集大量的数据；核军备竞赛一节，也是一个动态的变化过程，基本全是用曲线进行分析的 这里给我们一个思想，得出表达式后，许多时候我们只关注曲线的形状、趋势，因此作图分析是很好的方法，图中可以给我们很多信息（交点，截距，极限值），而这些信息都一一对应着它们的实际意义；有些即使没有明显的含义，但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。2.10 量纲分析与无量纲化 是另一种重要的求解方法，大致来说思想就是：仅知道变量之间的制约关系（正/负相关），系数、阶数均未知，即只能得出表达式的“形式”，要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲的一致）来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法，这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。 关键：恰当地选择特征尺度，不仅可以减少独立参数的个数，还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。第 2 章小结：) S4 G1 Y- X+ T8 5 i本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”，10 节涉及了不同类型的问题、数学方法，很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。- ?% e9 Z% , a8 |; k8 p9 R* U) q“ i1 L. d3 t, t s9 m第 3 章 简单的优化模型) y9 n( c/ s5 v S$ A# q7 L$ 关键词：简单优化 微分法 建模思想本章与第 4 章连续两章都是优化、规划的问题，可以看成一类问题 内容上也是由简单到复杂。在第 3 章中，主要是几个简单的优化模型，可以归结到函数极值问题来求解，直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒，但是还是那句 建模，求解之后结果分析、结果解释的思想，是我们要学习和引入脑中的。# ?3 o M N4 A( O+ j% t. s3.2 生猪出售时机关键点在于敏感性分析和强健性分析 这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。8 u1 c9 5 x% k1 3.3 森林救火亮点是对火势蔓延程度 dB/dt 的形式作出的数条假设，以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说，就是一个好的对实际问题的简化。3.4 最优价格% E1 8 M3 e1 f主要是引出边际收入、编辑支出，以及经济学一条著名定律 最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。( n, S, w4 ?) I0 x D9 M3.6 消费者的选择一个消费者买两种产品时，钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡，而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数 U(q1,q1)。3.7 冰山运输) E4 w“ a 6 C+ x: l3 d也是很有趣的问题，考虑各种因素，基于一些假设，这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式，二是假设冰山为球形，简化了融化规律等的计算。$ G# R0 N! x# e/ U( v6 b, G+ l) ?这一章内容不少，但都是一类问题，主要点有几个：1. lingo、lindo 求解的使用 运行结果中还有一些平时未留意的信息，可以作为结果分析来用，前两节叙述较多；: T6 o. V/ N3 Q4 z“ n$ 4 Z; w2. 一些细节之处：把一句话用数学公式表达，它往往作为约束条件，如 p102的式（19）；3. 多目标规划的处理，p109 的“选课策略” 基本思想是通过加权组合形成一个新的目标，从而化为单目标规划；4. 同前面章节一样地，对一个问题解出结果后，问题虽然解决了，但分析并没有结束 我们要学习这种 further discussion 的精神，发现这个结果“恰与相同”之类的，不妨多问自己一句：“这是偶然的吗？”然后继续分析，得出一般的结论，这样往往能看到更多的风景，得出的结论更有含金量/启发性，而不是仅仅是解决了该个问题而已。如 p109 选课策略。5. 减少变量个数，简化模型、式子（简化起见，同时 lingo 对变量个数有限制），p115 销售的例子。$ A4 t k$ e; e, K6. 求最优解时，为了减少搜索范围，加快速度，可以先去一个特殊情况求出一个可行解，然后让最优解至少优于它。) f W- f# q/ X8 W第 5 章 微分方程模型- * k Z8 N! f9 ; Q3 f) e关键词：动态模型 合理假设 分析预测 控制这一章是非常经典的一章，对微分方程模型作了很好的诠释、介绍，每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态，当我们要 1）分析变化规律；2）预测；3）研究如何控制它的时候，就要建立相应的微分方程模型。自然地，这样的模型功能非常强大，也具有一般性，也自然地需要在简化假设上动脑筋 如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程，有时就表示着一件事，这件事有可能还持续几十年 多么有趣而强大。, ?) C9 X“ ; H, 0 B+ F5 g- H9 8 q6 G! M5.1 传染病模型本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例，模型分三部分层层递进：SI（只分为易感染着、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新变为易感染者），SIR（治愈后具免疫力，即增加了“移出者”）。可以说从基础模型到一步步递进，是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法，是很有力的工具，后面多次用到，这一节有很详细的介绍。模型改进、建模目的性、方法三者配合，是本节亮点。5 h“ q9 c# 0 ! O C- ! O v T* V! E6.1 捕鱼业的持续收获 5 y) h+ N V% y研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题，如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了，但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论，如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。6.2 军备竞赛$ E# m. u* X“ 3 e3 % o这个问题在第二章初等模型中就出现过，这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说，军备竞赛因素很多，无法圆满描述，只是想告诉我们：一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度，得到的结果又怎样解释实际现象。6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型这三节作为一个系列，用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中，相轨线分析法再次成为主角，它的意义在于：从图中曲线上直观地看出发展趋势，且特殊点对应的意义作出解释。! T9 w6 T ) K. y) Q# j, 第 7 章 差分方程模型; o1 D: O0 X9 关键词：差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌将时间离散化后，就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第 8 章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续，又可以用离散，要看目的而定。离散的一个优势在于，便于计算机求解。7.5 差分方程简介：介绍差分方程稳定性的知识，判别稳定的条件。本章要用到的知识。7.1 市场经济中的蛛网模型先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”，给出趋于稳定的条件，再用差分方程建模，解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典，可作为建模论文写作的参考。3 N. u. t. p: e8 S! / g本节最后对结果的解释也非常值得学习：启示我们，一些数学结果如参数前后的变大/变小，可能意味着什么，我们不要轻易放过，而是要时刻不忘解释相对应的原因。 ?( Z; g# 8 P关键词：层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策（本章是确定性离散模型的应用、方法）. N6 f( f s, h$ F* c/ i8.1 层次分析模型社会经济系统分析工具。排名、评分评价，排等级都可以用层次分析模型解决，数学知识虽然不深，但是思想十分巧妙且合理，可扩展性也很好。关键在于 1）“成对比较矩阵”的确定及修正，2）特征根法求权向量的原理（重要），3）1-9 比较尺度（Satty 等人提出），4）一致性检验。7 q8 f5 i4 ; T$ V8.2 循环比赛的名次这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法：邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量 s、A 最大特征根 t/ q对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据，或实际意义，是此思想的关键，我觉得可以接受，看上去很有道理，但未想出具体的解释，这里欢迎指教、讨论。（p246）8.3 社会经济系统的冲量过程 2 A! “ 5 8 n2 Y+ o4 A3 区别于机理分析、统计分析，冲量过程与层次分析属于“系统分析”，是近 20 年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。! j1 d2 D! K( _+ w _9 Q6 m Y关键点有：1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题，做好定义是开始工作的根本。* b a C a a! h2 G$ j# A“ s2. 随机概率模型一般从离散角度（一个个时段）下手，但求解中为了需要可能会转化为连续（如 p274 的求和转化为积分）。3. 要灵活根据实际问题，决定哪些参数应设为定值，哪些参数会变（如 9.4 轧钢问题，重量服从正态分布中，均方差应认为是已知的定值，而均值是可以调整的）。/ |8 s“ j; j4 ; l0 m3 s4. 一般的“生灭过程”参考 9.5 的随机人口模型 相比之前的人口模型，这个更加一般，考虑的因素更多，更接近实际。5. 有些模型无法解析求解，然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要（9.6 预订票策略）。1 K1 |, a! B P2 A# o9 7 0 f对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题，我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据，用统计方法建立模型 统计回归模型。5 a8 t“ P3 c8 K: n关键点有：1. 做散点图，大致判断函数趋势（比如有明显的线性增长），确定方程形式，待定系数。7 c3 F8 o # L# ; U; v$ R“ I2. 用 MATLAB 统计工具箱 regress 拟合，得出结果；重点：如何由MATLAB 输出结果下结论（如置信区间不要包含零点， R2、F）。+ H# v( J0 R _5 ) p第 11 章 马氏链模型 1 s% F* E8 c. Q关键词：离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取6 e$ n+ U3 A7 y1 J7 基本概念( v/ Q; + j$ P1 v8 H% 这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具 马氏链模型，及若干个应用。总体从浅到深，阐述了马氏链的主要思想。- a“ X1 W2 v9 z. F b $ Q! u6 g本章介绍动态优化，优化目标，虽然优化目标仍然是数值，但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题（几个模型中一直体现），方法有古典变分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的，而离散过程则用动态规划求解。第一节先用“速降线”和“短程线”两个 17 世纪末的物理模型引出变分法基本概念，和后面要用的结果；同时介绍泛函、泛函极值概念。% L6 x