等高图法在单纯形格子设计最优条件选择中的应用

山西医科大学本科生毕业论文基于单形格子混料设计的等高线寻优学生姓名 王晓荣学 号 20060494指导教师 仇丽霞 专 业 预防医学班 级 306032011年6月目录中文摘要1英文摘要2前言31原理与方法41.1 单纯形格子51.1.1单纯形格子的原理.61.1.2 单纯形格子的模型建立.71.2等高图法61.2.1等高图法的原理71.2.2 等高图法寻优的步骤72实例分析72.1实例基本介绍2.2实例结果2.2.1模型建立方法22.2等高图法搜索最优配方3讨论104结论11参考文献12致谢13等高图法在单纯形格子设计最优条件选择中的应用【摘要】目的 了解单纯形格子实验设计的原理、方法、模型建立；应用等高图法寻找单纯形格子试验设计的最优条件；探讨等高图法的不足之处。方法 认真阅读实验优化设计与分析，了解和掌握了单形格子实验设计的原理、方法以及模型建立，并通过查阅CNKI搜索有关单形格子实验设计的文章，例如冲积土区域绿竹氮磷钾施肥反应及其最优施肥参数的研究，并利用此文献中单形格子实验设计的数据，建立回归模型做为目标函数，用等高图法搜索最优试验条件。结果 山地绿竹配方施肥三分量二阶多项式回归模型有统计学意义，等高图法确定的最优试验条件：结论 以三分量二阶多项式回归模型为目标函数，利用等高图法确定的试验最优条件主观性强、准确度低，应用范围有限，只有当某一变量被选为固定值,才能做出其余两个变量与响应值的等高图,从而确定最优解, 由于重要变量被锁定，只选择了一些次要变量进行优化，认识只能在低水平上循环，难以有大的突破。当单纯形格子实验设计的影响因素在3个以上时应用等高图法将其统计模型优化分析却比较复杂，有待于进一步研究。【关键词】 等高图法；单纯形格子试验设计（Simplex-lattice design）； 最优试验条件Use of the contour plot in selecting the optimal condition for simplex-lattice design 【Abstract】 objective To explore the use of contour plot in selecting the optimal condition for simplex-lattice design.Methods Using data from the fertilizer experiments of N , P and K conducted for sinocalamue oldhami planted in alluvion soil area, optimal experimental condition was searched by the contour plot based on the quadratic regression model as a target function . Results The optimal conditions of extraction process were as follow : . Conclusions The optimal experimental condition searched by the contour plot was not more precise and objective. 【Key words】 The contour plot ; Simplex-lattice design; The best experimental condition 前 言混料问题是近三十年来新发展起来的十分活跃的统计学分支，自1955年Claringbold到目前为止，许多统计学家提出适合于不同数据结构或各种统计目的所需要的混料模型 【2】 。Scheffe1958年创造了单纯形格子混料设计，1963年提出单纯形重心设计等多项式混料模型。这两种试验设计有三个突出的优点：(1)试验处理少，属饱和最优设计；(2)统计方法特别简单由人工计算即可完成；(3)拟合精度高，理论值与实测值吻合得好由于这三个突出的优点，使得这两种试验设计方法在配方研究上非常实用Kenworthy和Snee等人使用了混料分量之比的一般多项式混料模型。为了研究当一个或多个分量的值趋于零(即趋于利益区域的边界)时，响应值产生的急剧变化，Draper和John在1977年首先在混料多项式(格子或中心多项式)中加入某些或全部分量的倒数项1/Xi(i1，2，q)，提出具有倒数项的多项式混料模型。1986年朱伟勇等人提出带有对数项的多项式混料模型。混料试验设计是各组分之和为1的特殊试验设计。它主要用于配方或用料配比的研究即研究各成分因子最佳含量的百分比混料设计的理论和它的应用都有发展，人们针对各种数学模型、试验区域与各种意义下的撟钣判詳提出了各种设计方法与分析计算法.本文主要介绍单纯形格子设计.单纯形格子设计是混料回归设计方案中最先出现的，也是最基本的设计方案，将试验点取在相应阶数的正规单纯形格子点上，这样的试验设计称为单纯形格子设计。 Scheffe于1958创造了单纯形格子点设计，其方法如下：先确定一个正整数m ，然后让每个原料取值例如当s=3，m=1时，只有3个试验点：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），当s=3，m=2时，有6个试验点：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1/2，1/2，0），（1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2），当s=3，m=3时，有10个试验点：（1，0，0，），（0，1，0），（0，0，1），（1/3，2/3，0），（1/3，0，2/3），（0，1/3，2/3），（2/3，1/3，0），（2/3，0，1/3），（0，2/3，1/3），（1/3，1/3，1/3），一般记为s，m设计，一个s，m设计有 个试验点。单纯形混料设计方法规范，试验点均匀、对称，适用于因素、水平不太多的混料场合，当因素或水平较多时，试验次数增加很快，此时应选择其它几种混料试验设计方法。对称单纯形设计的探索法用于解决3个自变量，出现摰憔奂瘮的试验设计场合效果很好，试验点比极端顶点设计还要少，而且均匀性很好。由于该法是使用探索法，在自变量多时，设计出适用的对称单纯形设计也不是一件易事。所以该法有很大的局限性。等高线图解分析法起源于1953 年 Loewe 提出的等效线图，但是一直没有引起关注，直到1970 年，G essner 等在研究水合氯醛和乙醇的合并应用时，发现不同水合氯醛和乙醇的比例产生不同的效应，有的具有相加作用，有的具有拮抗作用，有的具有协同作用，才引起人们的兴趣。但是这些数据虽然在药效图上具有明显的不同作用的分布，却没有显著的统计学差异，这些剂量,效应数据内在的误差意味着仅仅是“高于”或“低于”相加线是不够的，还缺少精确性。当等效线图加上统计分析时，被称为评价药物相互作用的“黄金标准”，1 原理及方法1.1 单纯形格子1.1.1单纯形格子的原理所谓单形格子设计，就是在给定的混料回归模型下，将试验点取在相应阶数的正单形格子点上的混料设计。单形是指顶点数与坐标空间维数相等的凸图形，如正三角形、正四面体等。 维单形即（ ）维单纯形。p1p在单形混料设计中，各分量 的变化范围可由高为1的 维正单形表示，顶点jxp代表单一成分组成的混料，棱上的点代表2种成分的混料，面上的点代表多于2种而少于 种成分组成的混料，而单形内的点则代表全部 种成分组成的混料。p对于 分量混料实验， 维正单形的 个顶点分别为： ,0 ,ppp(1,0A),0), (0,0, ,0,1)。设R ， 为单形的点，定义(0,1A2A ,(21x)p， 分别表示R点到 面的距离，R点到 面的距离。所xp2P1P以，满足混料条件的有序数组 ， ，总可以在单形上找到一点与之,(21x)p对应。反之，在单形上的任意一点R ， 都满足混料条件。x单形格子混料设计需满足： 。在单形格子设计中，)3,21(,0321jxj维 阶格子点集 ， 中有 个点，正好与所采用的 阶完全多项式pdpddpC d回归模型中待估计参数的个数相等，故单形格子设计是饱和设计，是在“实验次数最少”意义下的最优设计。1.1.2 单纯形格子的模型建立一般情况下，混料回归设计的 分量 次多项式回归方程常采用Scheffepd多项式形式，当试验设计为P，1单形格子设计时Scheffe多项式形式为线性规划问题；当试验设计为P因子2次以上单形格子时，模型(2)为非线性规划问题。如：4二次式（ =2） = (式2)dyjhjjpj xbx1不完全三次式（ =3） = + （式3）jhjjpj1 kjhkjxb完全三次式（ =3） = + + dyjhjjpj xbx1 )(jhjjhr kjhkjhxb（式4）对于Scheffe多项式回归模型，当采用单形格子设计时，每个回归系数的值只取决于按一定规律对应的一些格子点上的实验值，而与其它设计点上的实验值无关，各回归系数都可表示成相应设计点上的实验值的简单线性组合。1.2等高图法1.2.1等高图法的原理等高线是地面高程相等的相邻各点连成的闭合曲线。如图A-2所示，设想有一座高出水面的小岛，与某一静止水面相交形成的水涯线为闭合曲线，曲线形状由小岛与水面相交的位置确定，曲线上各点的高程相等。例如，当水面高为70m时，曲线上任一点的高程均为70m；若水位继续升高至80m、90m，则水涯线的高程分别为80m、90m。将不同高程的水涯线垂直投影到水平面H上，按一定比例尺缩绘在图纸上，就可将小岛用等高线表示在地形图上。这些等高线的形状和高程，客观地反映了小岛的空间形态。这便是等高线的绘制原理。图A-2 等高线的绘制原理1.2.2 等高图法寻优的步骤为了使系统达到最优的目标所提出的各种求解方法称为最优化方法。最优化方法解决问题一般可以分为以下几个步骤：（1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变量，列出目标函数和有关约束条件；（3）分析模型，选择合适的最优化方法；（4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上求得最通过上述五个相互独立和互相渗透的步骤优解；（5）最优解的验证和实施。，最终求得系统的最优解。2实例分析2.1实例基本介绍引用文献冲积土区域绿竹氮磷钾施肥反应及其最优施肥参数的研究 中实验设计数据进行分析。在冲积土区域绿竹氮磷钾施肥反应及其最优施肥参数的研究，绿竹的经济收益越高越好，每配方施肥经济收益按笋重（kg）*3.0元/kg+新竹重（kg）*0.12元/kg计。影响绿竹经济收益的因素主要有：专用复合肥配方中氮、磷、钾的含量，选择绿竹施肥3，2设计表进行单形格子混料设计，在每个实验条件下重复2次，施肥分3次进行，对照未施肥，其中，配方施肥平均笋重比对照提高42.1，但新竹重低于对照，这与挖笋数量有关，经济收益增至27.6。最佳方案笋重最高值比对照提高71.2，新竹重则提高20，故绿竹施肥可显著提高其产量和经济效益。表1： 绿竹施肥3，2设计表实验号 氮（ ）1x磷（ ）2x钾（ ）3x观测值1 1 0 0 Y12 0 1 0 Y23 0 0 1 Y34 1/2 1/2 0 Y45 1/2 0 1/2 Y56 0 1/2 1/2 Y6表2 实际成分设计试验 方案 氮（kg/株） 磷（kg/株） 钾（kg/株）配方试验 1 0.55/0.1563 0.10/0.0925 0.35/0.08462 0.25/0.0440 0.40/0.2363 0.35/0.05303 0.25/0.0735 0.10/0.0966 0.65/0.16334 0.40/0.0876 0.25/0.1803 0.35/0.06555 0.40/0.1155 0.10/0.0943 0.50/0.12356 0.25/0.0552 0.25/0.1830 0.50/0.0951对照实验 0/0 0/0 0/0 *为有效成分/实际用量表3 施肥效果指标 对照 配方施肥1 2 3 4 5 6重复 6.70 6.05 4.30 10.45 9.15 9.65 8.50重复 4.90 6.50 9.05 9.40 7.75 8.80 9.25笋重（kg/从） 平均 5.80 6.28 6.68 9.93 8.45 9.23 8.88重复 41.35 24.53 32.66 32.84 32.84 57.47 24.63重复 40.75 24.73 33.02 65.68 16.42 16.42 16.42新竹重（kg/从） 平均 41.05 24.63 32.84 49.26 24.63 36.95 20.53重复 25.03 21.11 16.84 35.29 31.39 35.85 28.46重复 19.63 22.46 31.09 36.08 25.22 28.37 29.72价值（元/从） 平均 22.33 21.79 23.97 35.69 28.31 32.11 29.09表4 施肥效果比较效果 配方施肥 对照 比较值/%平均值（x）最高值（xm）ck x/ck xm/ck笋重（kg/从）8.24 9.93 5.80 142.07 171.21新竹重（kg/从）31.47 49.26 41.05 76.66 120.00价值（元/从）28.49 35.69 22.33 127.59 159.832.2实例结果2.2.1模型建立方法：运用以上实验数据对配方施肥氮磷钾试验真正成分进行编码转换，即以编码值作为自变量按照单形格子设计建模方法建立各种评价指标冲积土区域绿竹氮磷钾施肥3，2反应模型为：6.28X1+1Y 32312132 0.5.48.79.68. XXX23.4 .8.6.4. 3231213213 96.579式中，Y1为笋重模型（kg/从），Y2为新竹重模型（kg/从），Y3为绿竹林经济价值模型（元/从）。2.2.2等高图法搜索最优配方：以绿竹经济价值模型为目标函数，利用Matlab7.0软件进行最优条件搜索。设置3个因素的取值范围分别为：0.25氮0.55，0.10磷0.40，0.35钾0.65。结果见表5、6、7、8、9、10。3讨论等高图法是一种局部最优搜索方法，主观性强，结果分析非常繁琐，有待于进一步研究完善。本文用等高图法搜索配方施肥的最优条件为：氮 磷 钾 经济收益可达到（元/从），氮磷钾配比合理，