有限元基础理论教程lecture05 ppt课件

2）体力的移置令单元所受的均匀分布体力为，(2-17)虚功相等，例题 2.4、设有均质等厚的三角形单元 ijm， 受到沿 y方向的均布载荷 qy的作用。求均布体力移置到各结点的载荷。三角形中的一点 P可以用子三角形面积定义的自然坐标来确定。面积坐标定义为，点 P表示为，3）分布面力的移置设在单元的边上分布有面力，虚功相等，面积坐标在三角形全面积上的积分为例题 2.5、在均质、等厚的三角形单元 ijm的 ij边上作用有沿 x方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。取局部坐标 s， 在 i点 s=0， 在 j点 s=l， L为 ij边的长度。在 ij边上，以局部坐标表示的插值函数为，载荷为设 ij边的长度为 L， 先把分布面力等效为作用在距 i结点 2/3L处 P点的集中力，再移置到结点上。2.4 单元刚度矩阵由几何方程可以得到单元的应变表达式，(2-19)记为B矩阵称为几何矩阵。B矩阵可以表示为分块矩阵的形式，(2-20)由物理方程，可以得到单元的应力表达式，D称为弹性矩阵，对于平面应力问题，应力矩阵应用虚功原理可以建立单元结点位移与结点力的关系矩阵，即单元刚度矩阵。虚功原理：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，则所有外力在虚位移上做的虚功等于内应力在虚应变上做的虚功。单元的结点力单元的虚应变单元结点力虚功单元的内力虚功用 结点位移表示应力单元刚度矩阵在 3结点等厚三角形单元中 B和 D的分量均为常量，则单元刚度矩阵可以表示为，（ 2-24）（ 2-25）单元刚度矩阵表示为分块矩阵：单元刚度矩阵的分块为例 2.6、属于平面应力问题的弹性体被划分成 3个单元、 5个结点。结点坐标如下： 1(0,2a)， 2(0,a)， 3(a,a)， 4(0,0)， 5(a,0)。单元结点的局部编号顺序如下，e1(1,2,3); e2(2,4,5); e3(2,5,3)试求单元 1的单元刚度矩阵。单元 1结点的局部编号如下，i - 1, j - 2, m - 3单元 1的单元刚度矩阵：2.5单元刚度矩阵的性质与物理意义假设单元的结点位移如下：得到结点力如下：表示 s结点在水平方向产生单位位移时，在结点 r的垂直方向上需要施加的结点力。表示 s结点在水平方向产生单位位移时，在结点 r的水平方向上需要施加的结点力。选择不同的单元结点位移，可以得到单元刚度矩阵中每个元素的物理含义：表示 s结点在垂直方向产生单位位移时，在结点 r的水平方向上需要施加的结点力。表示 s结点在垂直方向产生单位位移时，在结点 r的垂直方向上需要施加的结点力。单元刚度矩阵中每个元素都可以理解为刚度系数，即在结点发生单位位移时所需要施加的结点力。单元刚度矩阵的性质：1）对称性2）奇异性3）对角线上的主元恒正首先证明单元刚度矩阵的对称性，即假定单元产生了 x方向的单位位移的刚体移动，再证明单元刚度矩阵是奇异的，即对应的单元结点力为零，可以得到，在单元刚度矩阵中 1， 3， 5列中对应行的系数相加为零，由行列式的性质可知，单元刚度矩阵是奇异的。如何说明单元刚度矩阵对角线上的元素恒正？2.6整体分析整体分析包括以下 4个步骤：1）建立整体刚度矩阵，2）根据约束条件修改整体刚度矩阵，3）解方程组，求出结点的位移，4）根据结点位移，求出单元的应变和应力。建立整体刚度矩阵的基本方法是刚度集成法，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。刚度集成法的物理意义结构中的结点力是相关单元结点力的叠加，整体刚度矩阵的元素是相关单元的单元刚度矩阵元素的集成。刚度矩阵集成的规则：1）将单元刚度矩阵中的每个分块放到在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单元的扩大刚度矩阵。2）将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。单元刚度矩阵元素取决于单元结点的局部编号顺序，必须知道单元结点的局部编号与该结点在整体结构中的总体编号之间的关系。例 2.7、图示结构的单元结点的局部编号与整体的对应关系如下： 求 结构的整体刚度矩阵。单元（ 2）的单元扩大刚度矩阵的分块矩阵形式如下，只列出非零的分块：整体刚度矩阵编程实现整体刚度矩阵集成NEC(i,1)， 表示单元 (i)中 I结点的整体编号；NEC(i,2)， 表示单元 (i)中 J结点的整体编号；NEC(i,3)， 表示单元 (i)中 M结点的整体编号。分块矩阵 Krs中的系数按以下地址加入整体刚度矩阵：在编制有限元程序时，可以用一个二维数组来保存单元结点的局部编号与该结点在整体结构中的总体编号之间的关系。假定最大单元数目为NELEM， 用 Fortran语言可以定义以下数组，DIMENSION NEC(NELEM,3)数组的行与单元对应，数组的第 1列为单元中 I结点的整体编号，第 2列为单元中 J结点的整体编号，第一列为单元中 M结点的整体编号。例