湖南省湘潭市2018届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案WORD版

.2018 届高三第三次模拟考试数学理科试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 的元素个数为（ |(3)0,|2,xAxZByAB） A B C D1242. 已知 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）2018()iizA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知 ，则 （ ）131342,log,l5abcA B C Dcbac4. 数的概念起源于大约 300 万年前的原始社会，如图 1 所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数” ，图 2 所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满 7 个的左边的绳子上打一个结，请根据图 2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）A B C D 360126510365. 已知实数 满足 ，则 的最小值是（ ）,xy360241yzxyA B C D 6450.6. 双曲线 的离心率为 ，其渐近线与圆 相切，2:1(0,)xyCab223()4xay则该双曲线的方程是（ ）A B C D213yx2139xy215xy214xy7.执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）aA B C D 45458. 若 ，则 的值为（ 8901(1)2,xaxaxR 291aa）A B C D 999399. 已知等比数列 的前 项积为 ，若 ，则当 取得最大值时， 的nanT1482,9anTn值为（ ）A B C D 234610. 某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为 4 的正三角形，俯视图是由边长为 4 的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A B C D4382383483.11. 已知函数 的最小正周期为 ，将函数 的图象向右平移21cos(0)fxwx2fx个单位后关于原点对称，则当 取得最小值时，函数 的(0)mmsin(2)1gm一个单调递增区间为（ ）A B C D ,625,43,2453,212. 已知函数 ，若函数 与 有相同的值域，则lnfxxayfx()yfx的取值范围是（ ）aA B C D1(,2(,13,)21,)第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设非零向量 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为 ,ab()2bab14.已知在 内任取一个实数 ，在 内任取一个实数 ，则点 位于01x0,y(,)xy上方的概率为 xye15.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，抛物线 有一点 ，过点 作2:()CypxFlCP，垂足为 ，若等边 的面积为 ，则 PMlPM43p16.已知三棱锥 满足 底面 是边长为 的等边三角形， 是线AB,ABC43D段 上一点，且 ，球 为三棱锥 的外接球，过点 作球 的截面，3DOO若所得截面圆的面积的最小值于最大值之和为 ，则球 的表面积 34O三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 中， .ABC3（1）若 ，求 的面积；8,12ABC.（2）若 ，求 的长.3,23ABMNCABMA18. 生蚝即牡蛎 是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养oyster殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了 40 只统计质量，得到结果如下表所示：（1）若购进这批生蚝 ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的50kg数量（所得结果保留整数） ；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个，记质量在 间的生蚝的5,2)个数为 ，求 的分布列及数学期望 .X19.已知直三棱柱 中，1ABC,点 在线段 上.1113,4,48CAEFBAGHEG（1）证明： ；EFH（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.1BC20. 已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 过点 ，过2:1(0)xyCab2C2(3,)点 做两条相互垂直的直线 分别与椭圆 交于 四点.(1,0)12,lC,PQMN（1）求椭圆 的标准方程；（2）若 ，探究：直线 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，,MSNPTQST请说明理由.21.已知关于 的方程 有两个不同的实数根 .x2(1)xea12,x（1）求实数 的取值范围；a（2）求证： .120请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 ，以坐标原21:Cxy2xy2C点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线 的极坐标方程为 .Ox 3Csin（1）求出曲线 的参数方程；23,（2）若 分别是曲线 上的动点，求 的最大值.,PQ23,CPQ23.已知函数 .5fx（1）解不等式： ；1（2）当 时，函数 的图象与 轴围成一个三角形，求实数 的1mgxfxmxm取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BBDCB 6-10: ADDCA 11、B 12：A二、填空题13. 14. 15. 16. 3442e210三、解答题17.解：由题意 ，22(83)1cos 43BCBC所以 ，所以 .22ACBABS（2）设 ，则Mx,23Nxx在 中， ，2(3)4()4cos解得 或 （舍去） ，所以 ，1x1BM在 中， .AB2cs318.解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为，(6021308450)28.4 g所以购进 ，生蚝的数列均为 （只） ；5kg174（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在 间的概率为 ，,)25P的可能取值为 ，则 ,X0,123441343826(0)(,()()5625PXXC,1 44 4691()(),),5PCC 所以 的分布列为所以 216916834525EX.19.解：（1）不妨设 ，则 ,2AB113,24GAEAF在 和 中， ，RtEC1tF11,2FE所以 ，所以 ，1ttE:1所以 ,所以 ，22AGAFGFG因为 ,4CBGBCA因为 为直三棱柱，所以 平面 ，所以 ，11BCE所以 平面 ，因为点 在线段 上，所以 . EFHEFH（2）由（1）知， 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系 ,C1ABGxyz不妨设 ，则 ,AB11(0,)(,0)(,)(,02)(,)(02)4CE所以 ，13(,242EF设平面 的法向量为 ，则 ，1C(,)mxyz10B即 ，取 ，则平面 的法向量为 ，0xyz1,0xC(1,0)m设平面 的法向量 ，则 ，CEF(,)nyznEF即 ，取 ，则平面 的法向量为 ，10234xyz25,4xyC(5,42)n10cos, 3245mn故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .1BCEF103.20.解：（1）由题意知 ，所以椭圆的方程为 .2231aabc 214xy（2）因为 ，所以 分别为 的中点，,MSNPTQ,ST,MNPQ当两直线的斜率存在且不为 0 时，设直线 的方程为 ，1l(1)ykx则直线 的方程为 ，2l 2341(),),(),)yxyxyk联立 ，得 ，4(1)xyk22 2()40160kk，所以 的中点 的坐标为 ，22121,kxxPQT2(,)1k同理， 中点 的坐标为 ，所以 ，MNS2(,)k23()STk所以直线 的方程为 ，T2223(1)1yxkk即 ，所以直线 过定点 ，23()1kyxST(,0当两直线的斜率分别为 0 和不存在时，则直线 的方程为 ，也过点 ，y2(,0)3综上所述，直线 过定点 .ST2(,)321.解：因为 ，所以 ，令 ，2(1)xea2(1)xea2(1)xef.则 ，22(3)(1)1xxxf ee令 ，解得 ，令 ，解得 ，0f0f则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，x(,)(,)max01ff又当 时， ，当 时， ，1f1xfx画出函数 的图象，x要使函数 的图象与 有两个不同的交点，则 ，即实数的取值范围为 .fya01a(0,1)（2）由（1）知， ，不妨设 ，则 ，12x12x12(,0)(,)x要证 ，只需证 ，20x因为 ，且函数 在 上单调递减，1(,)fx(0,)所以只需证 ，由 ，所以只需 ，21fxf21f11fxf即证 ，即证 对 恒成立，1122xe()()0xxe(,)令 ，则()(),0xxgxexge因为 ，所以 ，所以 恒成立，,0x则函数 在 的单调递减，所以 ，x(,)0综上所述 .1222.解：（1）曲线 经过伸缩变换 ，可得曲线 的方程为21:Cxy2xy2C.，214xy所以参数方程为 为参数）2cos(inx曲线 的极坐标方程为 ，即 ，3Ci2sin所以曲线 的直角坐标方程为 ，即 ，2xy22(1)xy所以其参数方程为 为参数）cos(1iny（2）设 ，则 到曲线 的圆心 的距离(s,i)PP3C(0,1)，222 2164coin1sini53(sin)3d因为 ，所以当 时， ，si,i3max4d所以 max41PQdr23.解：（1）由题