有理数的综合复习知识点总结

有理数的综合复习一、知识点总结： 1什么叫做有理数?答：“整数和分数统称为有理数”为了进一步理解有理数概念的内涵，有理数是形如 的数，其中m，n 都是整数且 n02数轴的三要素是什么?如何利用数轴上的点表示有理数?3什么叫做相反数?互为相反数的两个数有什么特征?4什么叫做一个数的绝对值?有理数的绝对值有什么性质?5如何比较两个有理数的大小?6有理数的加法、减法、乘法、除法的运算法则是什么?7乘方的意义和运算法则分别是什么?8如何正确进行有理数的混合运算?(用笔算和用计算器算)9什么叫做近似数和有效数字?如何用科学记数法表示数?10你能举出有理数在实际应用中的 2 至 3 个实例吗?11有理数集有哪些性质?答：有理数集具有以下的性质：(1)四则运算的封闭性在有理数的集合里，任何两个有理数的加、减、乘、除四种运算(除数不是零)总可以进行(2)有理数集的顺序性有理数集合是一个有序体，任何两个有理数总可以比较大小(3)有理数集的稠密性不论 a，b 是怎样两个相异的有理数(ab)，在 a，b 之间总存在无数多个有理数.12在本章的学习过程中，运用了哪些数学思想?答：在有理数这一章的学习过程中，主要运用了以下三种数学思想(1)数形结合的思想用数轴上的点来表示有理数，利用数与点的对应，有利于把抽象的数的概念、性质及数量关系用几何图形直观地表示，反过来，数轴上点与点之间的位置关系又对应着有理数的概念和运算利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简(2)转化的思想在有理数一章的学习中，处处体现将所要研究和解决的问题变为已经学过的问题来处理特别是有理数的减法法则，除法法则集中体现这个思想(3)分类讨论的思想无论是有理数的绝对值、有理数的大小比较还是有理数四则运算法则都要将研究对象所有的各种情况分别研究，得出相应的结论在给出分类的标准下，能将研究的对象不重不漏地加以分析、研究，对提高我们的思维能力是十分重要的二、有理数的加减运算重点、难点提示：1注意掌握有理数的加法法则，会使用运算律简算，并能解决简单的实际问题。2注意掌握有理数的减法法则，认识减法与加法的内在联系，合理运算。3进一步巩固有理数加、减法法则的运算，能熟练地将加减混合运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题。三、核心内容及例题选讲：(一)、有理数的加法1有理数加法法则有三条： (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得 0。(3)一个数同 0 相加，仍得这个数。例 1计算下列各题(1)(+2)+(+7)= +( 2+7)=+9；(即 2+7=9) (-2)+(-7)= -(2+7)=-9(2)(-4)+(+7)= +(7-4)=+3；(+4)+(-7)= -(7-4)=-3； (-4)+(+4)= 0(3)5+0=5； -5+0=-5； 0+0=02注意事项： (1)有理数加法法则是进行有理数加法的根本依据，它也是人为规定的。不过这个规定不仅符合实际，并回答了过去用算术计算方法不能解决的某些问题，而且这个规定(有理数加法法则)与算术里的加法法则不矛盾。(2)由于任何一个有理数都是由它的符号和绝对值两部分组成的，因此有理数加法法则的叙述中，都是强调先确定和的符号，再计算和的绝对值。这样在进行加法运算时，必须先判断两个加数的符号，是同号?是异号?或是有一个加数为零，从而来确定用哪一条法则进行计算。(3)在算式中一定要分清表示数的正、负的性质符号和表示加法运算的运算符号，并用括号分开。如：(-2)+(+5)、(+2)+(-5)、(-2)+(-5)等。(4)可以证明，加法的交换律，加法的结合律在有理数范围内仍然成立，因此，利用有理数加法的运算律，有时可使计算简化。例 2计算下列各题。(1) ；(2) ；(3) ；(4)分析：计算有理数的加法时，要仔细弄清各个加数的特征，依据法则，先确定和的符号，再求出和的绝对值。解：(1) .还可以这样算：.(2) .(3) .(4) .例 3计算(1)(2)解：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)=(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(-0.7)+(+3.1)+(+0.8)=-(2.4+4.2+3.8+0.7)+(3.1+0.8)=(-11.1)+(+3.9)=-(11.1-3.9)=-7.2.还可以这样算：(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(3.1)+(0.8)+(-0.7)=(-2.4)+(+3.1)+(-0.7)+(-3.8)+(0.8)+(-4.2)=0+(-3)+(-4.2)=-7.2.(2).小结：利用有理数的加法运算律，可使计算简化，一般可考虑以下几点：把相加得零的数结合；把相加得整数的数结合；分数相加时，同分母分数结合；把符号相同的数结合。(二)、有理数的减法1已知两个有理数的和及其中一个加数，求另一个加数的运算叫做有理数的减法由于有理数的减法是加法的逆运算，因此，求两个有理数的差，依据定义可转化为有理数的加法例如计算(-2)-(-7)解：设(-2)-(-7)=x，则 x+(-7)=-2(想一想：什么数加上(-7)等于-2 呢?) (+5)+(-7)=-2， x=5 即(-2)-(-7)=5虽然利用有理数的减法是加法的逆运算的关系，可以求出给定的两个有理数的差，但是计算的过程比较复杂，能不能想一个办法使计算过程简化呢?在算式(-2)-(-7)中，我们注意到-(-7)又表示为-7 的相反数+7，而(-2)与(+7)的和恰好为+5，因此有(-2)-(-7)=(-2)+(+7)=+52有理数减法的运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数例 1计算：(1)(+5)-(+9) (2)(+5)-(-9)(3)(-5)-(+9) (4)(-5)-(-9)(5)0-9 (6)9-0分析：应依据有理数减法的运算法则进行计算解：(1)(+5)-(+9)=(+5)+(-9)=-4；(2)(+5)-(-9)=(+5)+(+9)=+14；(3)(-5)-(+9)=(-5)+(-9)=-14；(4)(-5)-(-9)=(-5)+(+9)=+4；(5)0-9=O+(-9)=-9；(6)9-0=9+0=9注意：(1)依据有理数减法法则进行减法运算的关键是如何正确地根据法则将减法转变为加法，再按有理数的加法法则计算，特别是这里有两个符号的变化，即将运算符号“-”(减号)变为“+”(加号)的同时，改变减数的性质符号(使减数变成它的相反数)(2)虽然有理数减法的意义与算术中减法的意义相同，但它们的性质却截然不同例 2计算：(-72)-19-65解法 1：(-72)-19-65=(-72)+(-19)-65=(-91)-65=(-91)+(-65)=-156解法 2：(-72)-19-65=(-72)-(19+65)=(-72)-84=(-72)+(-84)=-156解法 3：(-72)-19-65=(-72)+(-19)+(-65)=-(72+19+65)=-156注意：(1)在进行计算的过程中，一定要分清“+”、“-”号在每个式子中是表示运算的加、减符号，还是表示数的正、负的性质符号(2)请比较本题三种解法，选出最好的一种例 3分别求数轴上 A、B 两点间的距离 AB(1)(2)分析：求数轴上两点间的距离就是求这两点所表示的有理数之差的绝对值解：(1)AB=|3.2-(-4.6)|=|3.2+4.6|=|7.8|=7.8；(2)小结：一般地，若数轴上 A、B 两点分别表示的数为 a，b，则 A、B 两点的距离 AB=|b-a|例 4若|x-3|=2，求 x解法 1：|x-3|=2， x-3=2 或 x-3=-2 x=2+3，或 x=-2+3 x=5，或 x=1答：x=5 或 x=1解法 2：设在数轴上，A 点表示 3，B 点表示 x，则|x-3|=2 表示 B 点到 A 点的距离是 2可是在数轴表示数 x 的点 B 到表示数 3 的点 A 距离为 2 的点有两个，它们分别是 1 和 5 对应的点 、 ， x=1 或 x=5(三)、有理数加减法的实际问题例 1某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自 A 地出发到收工时所走路线(单位：千米)为：+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，+5。(1)问收工时距 A 地多远?(2)若每千米路程耗油 0.2 升，问从 A 地出发到收工时共耗油多少升?分析：(1)求收工时距 A 地多远，应求出己知 10 个有理数的和，若和为正数，则此和是在 A 地前面距A 地的路程；若和为负数，则此和的绝对值是在 A 地后面距 A 地的路程。(2)要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以 0.2 升即可。解：(1)(+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(-8)+(+13)+(-2)+(+12)+(+8)+(+5)=+2+(2)+(-8)+(+8)+(+10+4+13+12+5)+(-3)=0+0+44+(-3)=41(千米)；(2)(|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|-8|+|+13|+|-21|+|+12|+|+8|+|+5|)0.2=670.2=13.4(升)答：收工时在 A 地前面 41 千米，从 A 地出发到收工时共耗油 13.4 升。例 2股民老王上星期五买进某公司股票 1000 股，每股 27 元，下表为本周内每天该股票的涨跌情况(单位：元)星期 一 二 三 四 五每星期涨跌 +3 +5.5 -1 -3.5 -5(1)星期三收盘时，每股是多少元?(2)本周内最高价是每股多少元?最低价是每股多少元?(3)已知老王买进股票时付了 1.5的手续费，卖出时需付成交额 1.5的手续费和 1的交易税，如果老王在星期五收益时将全部股票卖出，他的收益情况如何?解：（1）27+(+3)+(5.5)+(-1)=34.5（元）答：星期三收盘时，每股是 34.5 元（2）本周内最高股价为：27+(+3)+(+5.5)=35.5 （元）最低股价为：27+(+3)+(+5.5)+(-1)+(-3.5)+(-5)=26 （元）答：本周内最高价是每股为：35.5 元，最低价每股 26 元（3）周五的股价是：27+(+3)+(+5.5)+(-1)+(-3.5)+(-5)=26 （元）老王上周五买进股票时共付金额：271000+2710001.5=27040.5（元）本周五收盘时老王拥有金额：261000-261000(1.5+1)=2600-2600=26000-65=25935(元) 老王的收益：25935-27040.5=-1105.5（元）答： 如果老王在星期五收盘时把全部股票卖出，他将亏损 1105.5 元。(四)、有理数的加减运算练习： 1、选择题：（1）下列各式：(+8)+(-10)=-2， ，(-6)+(-2)=-8， (-6)+(+5)=-11，其中正确的个数是( )。A、1 B、2 C、3 D、4（2）下列计算中，结果等于 3 的是( )。A、|-8|+|+5| B、(-8)+(+5) C、|-7|+(-4) D、(-7)+|-4|（3）要使两个有理数的和小于每一个加数，只要( )。A、这两个加数一正一负，且负数的绝对值大。B、这两个加数都是负数C、这两个加数中，至少有一个数是负数D、这两个加数中，有一个是零（4）若|m|+m=0，则( )。A、m0 B、m0 C、m0 D、m02、计算下列各题(1)(2)(3)(4)3、10 箱苹果，如果每箱以 20 千米为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。称量的记录如下：+2，+1，0，-1，-1.5，-2，+1，-1，-1，-0.5这 10 箱苹果的总质量是多少千克?参考答案：1、C （，正确） ；C ； B； C2、(1)0 (2) (3) (4)3、解：2010+2+1+0+(-1)+(-1.5)+(-2)+1+(-1)+(-1)+(-0.5)=197( 千克)答：这十箱苹果的总质量是 197 千克。四、科学记数法和近似数掌握科学记数法的形式和要点，能按照要求使用科学记数法，理解有效数字，近似数的意义，能按照要求进行近似计算。(一)、情境创设的引入_ _观察 的特点，你发现了什么规律： 的特点是 1 后面有 n 个 0，共有 n+1 位。“先见闪电，后闻雷声” ，这个现象的解释是：光的传播速度大约为 300000000m/s，而声音在常温下的传播速度大约为 340m/s。可见光的速度大大快于声音的速度。(二)、探索知识日常生活中我们还会遇到一些特别大的数，如有人体中大约有 25000000000000 个红细胞。全世界人口大约是 6100000000 人地球的陆地面积约为 149000000 千米 2地球的海洋面积约为 361000000 千米 2算一算 50000005000000可以发现一些足够大的数在读、写、算都不方便，根据 的特点，我们可以这样来表示这些较大的数。300000000=3 100000000=325000000000000=2.510000000000000=2.5一般地，一个大于 10 的数可以写成 的形式，其中 1a10，n 是正整数，这种记数方法称为科学记数法。(scientific notation) 例 1、1972 年 3 月发射的“先驱者 10 号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器，至 2003 年2 月人们最后一次收到它发回的信号时，它已飞离地球 12200000000km，用科学记数法表示。解答：例 2、用科学记数法表示下列各数：(1)400320 (2)1000000 (3)-726.4 (4) 解答：(1) (2) (3) (4)例 3