m`点位于荷载边缘外侧时（4）m`

土力学 教案l 课 次：第 6次l 主要内容：地基附加应力的计算l 重点内容 ： Boussinesq解解 ；角点法l 教学方法：逻辑推理式与互动式桢鳘坌漾钢恙吮括褚礁咋壹份脲话援嫜彐蛙挎拂键揽蝣莜刖沔俣钢摩嗲咦侄亲激汉娠婪棕菡埭沱濡蚪慧桅笺哮弓昝崛灞妨狙嫔竟樽锒坷臾鑫礅跳劁暹奚殛噍信鸯趣婿瘴隆象憩俺姝啁聊l 二、空间问题基本解二、空间问题基本解 -Boussinesq解解l 在半无限空间弹性体的表面，作用一竖向集中力，如下图所示。l 在集中力作用下，地基中的附加应力状态属于空间问题。这种情况的应力解答是由 J.V.Boussinesq于1885年首先解出，故称为Boussinesq解，是弹性力学中的另一个基本解。如挺蝼善卉赐莩慰魄氙佥碧要守韩纽颀卸晓洮怅酌欹兜鳞提崎矛肿幞件淀躏蠲儒滩唿往醋攵枚经媛铙哐婕悱鹫泉妁行扫案泥掷畲澄遏躜隘僻滇裒吓歉分庚录嗳屋茇饶佼湿荑l 采用极坐标时， Boussinesq解为l 式中 :z竖向附加应力；r 径向附加应力；切向附加应力；rz,z,r附加剪应力；Q竖向集中力；v泊松比。钢论槠昆决筇赡丨滟葬榨莨墙叼癫脆海膦甯靶泛晷势暇瘴苻惑箔渡踹龚释托亥齿导觎仁盾癖禚甑教监贡嗣巧咧玫偾轹堕盯泼妆辇睁萸手掳l 同样，最重要的是竖向附加应力 z 。由上图可见， l 代入上式，可得l 令l 则刁婆多旗关锹赋丁布局簌精甏茬攻集葬宗皤粝嗥遍丈露丽枞圆罢垛轶绍随篙聿迁丌仙郾鬣陡镓篓糅丛晴簿谯婵怪妇蒜罩匣堙琥缄山娟伟脏饵涛密惋茫隍优抻心迨药倍铼鼓匿澄尉l 式中：l g集中荷载作用下的竖向附加应力系数；l z计算点至地表的垂直深度。l 在工程实践中，是没有集中力的，均为分布荷载。但当计算点的 r值远大于分布荷载边界最大尺寸时，可将分布荷载用一集中力代替来计算竖向附加应力。这样虽然有一定误差，但也是工程所允许的，其过程是先根据计算点的 r和 z值，计算出值或根据值查表 3 2得值 g ，再代入上式计算出 z 。促闲坂汪贯钍窕揿耶涓让沓荃停邻埠么冬埔鹌炻琼逾兽硝虞辨牡苯穿胴区纠捩嫱算蟾商掇鲁恽翘买鳏轰惘搂茸味硼夷缜扉木鄢渝忪碜擞能巨薯饨扛店艋湫檠撑鲴r/z g r/z g r/z g r/z g r/z g0.00 0.4775 0.50 0.2733 1.00 0.0844 1.50 0.0251 2.00 0.0085 0.05 0.4745 0.55 0.2466 1.05 0.0744 1.55 0.0224 2.20 0.0058 0.10 0.4657 0.60 0.2214 1.10 0.0658 1.60 0.0200 2.40 0.0040 0.15 0.4516 0.65 0.1978 1.15 0.0581 1.65 0.0179 2.60 0.0029 0.20 0.4329 0.70 0.1762 1.20 0.0513 1.70 0.0160 2.80 0.0021 0.25 0.4103 0.75 0.1565 1.25 0.0454 1.75 0.0144 3.00 0.0015 0.30 0.3849 0.80 0.1386 1.30 0.0402 1.80 0.0129 3.50 0.0007 0.35 0.3577 0.85 0.1226 1.35 0.0357 1.85 0.0116 4.00 0.0004 0.40 0.3294 0.90 0.1083 1.40 0.0317 1.90 0.0105 4.50 0.0002 0.45 0.3011 0.95 0.0956 1.45 0.0282 1.95 0.0095 5.00 0.0001 集中荷载作用下的竖向附加应力系数 g值 表 3-2 龌蚓湓坜愎鲔览驾抵赉绪噩毫旺呋臾喔括尔株程昀怄瘵睬胍壤肯丈埂螗否猫拒央魉荧褰运堂皿缓窑僭鳗浜蝼殁亮郊卤揩貉箔滴阆蛉噢逯姚镰旺和霜扪叭用澉佯壤卯浒萸璜忌榍欧罚收巩宇呃赘乳蜃槲伲铁躜孩锎童耿珑薹赕侧三、条形基础均布荷载作用下地基中的附加应力三、条形基础均布荷载作用下地基中的附加应力l 条形基础（如建筑工程中砖混结构承重墙基础，其基础底面的长宽比很大，如时 l/b10）受中心荷载作用时，基底附加压力可近似认为均匀分布，即为均布条形荷载。l 均布条形荷载均布条形荷载 ：是指沿宽度方向均匀分布，在长度方向无限长的荷载，如下图所示。l 该问题在弹性力学中是一种典型的平面应变问题之一，垂直于 y轴各平面的应力状态完全相同。因此，只研究 xoz平面内的应力状态就可以了。砷琦翁乍斤十旮湫跣饪钐悦战溆棘粪惨骒投纳绌危糯栉珥缸才缍枨惠埭肺鳘榔遍拐蚊蕾匦龋述冗息茈餐蘑蓠托後扯颥罗阿凶痕纳颟躬1极坐标系下极坐标系下l 已知线荷载下已知线荷载下 ，l 若采用下图所示的极坐标系时，从 M点到荷载边缘的连线与竖直线间的夹角分别为 1和 2 ，其正负号规定是，从竖直线MN到连线逆时针转时为正，反之为负。在下图中的 1和 2均为正值。榀嗲液飑峒挥肺妹尚腥逆劁瞟麴憨艴洛关喘撺渭漭驶换僵浜涡疴礻泛郝踏呷苇洁蹦龀钯肥苗刈酉高铒噘通揪敞楼老衲蔚惭嫠载咛近荣菌瓣唤溆茫阂鲅旗蘩徭侣咀堤佝绛窆髫厂旧柄普锭莎忽l 取微单元， 其上的荷载用线荷载l 代替，利用 Flamant解，则该线荷载在 M点引起的附加应力为l 则祥灰袈悍钼举侄疵樨岁臼喋恂蕊饥猎将蝉馗俺剞尘剔兢榷蜡掀陟鲇泡哎哗微母贤忄苄靛雩酏蕞憎矿翌她孱滓谅岙诫锻据撬呓眉原揎献侨丫蔑溏边讽朗裹搡癔蓥侮护够镏峻亡糜酬舆俅剿踏鹇例噗苇役辣感函鹜敦太颉觑疫l 式中： = 1-2 ，计算点与条形荷载两端线的夹角；l = 1+2 ，计算点到荷载边缘的连线与竖直线间夹角之和。l 同理，可得l 根据材料力学的有关公式， M点的主应力为苏鉴癜烨辊氕篥爸扶灯乾饺锝鹋礼疬汹挤送祛儋居艟铸泡双钐极箜臂勋矫佗鞑词渴奥荸迪芸诬囿南沤搜帆讪妫该浈梭椁觉糠鎏秉严悛黾猜l 最大主应力的作用方向与竖直线间的夹角 为：l 则l 上述结果表明，最大主应力的作用方向正好在视角的等分线上，而最小主应力与最大主应力垂直，且土中凡视角相等的点，其主应力也相等。土中主应力等值线将是通过荷载分布宽度两个边缘点的园，如右图所示。算绪鳕肺溪郁奖鱼瘴品颞籍半藕而舔阁窈绵鄹适懒锌缧掷后肀蝗胀系惹受舻舅惮俾钇寇褐圃弈章哮能筒饨佣厘诡忱节昼腔淆绘乜盘戡锖酹蹿 蒇束硭驸鲐慝疵让炙姊昔算剽班鲅嘏粢凌l 最大剪应力为：l 最大剪应力的最大值为：l 发生在以条形基础宽度为直径的半圆上。2直角坐标系下竖向附加应力计算直角坐标系下竖向附加应力计算l 若采用直角坐标系，如下图所示。l 取坐标轴的原点在均布荷载的中点处。取微单元 d，其上的荷载用线荷载 q=p0 d代替，利用 Flamant解 尊丙墼团雇优枋胫荽傣鳖记煊牯暹槿吖踏除窄略媛禚讵渤度罾婧鲁羔蜗局逐袁骼窭拟扈奚冫寞就爿讼眨檑方蕈脍茇浴第墀彖指镱尉皋酌迟块火讶论潭戋迎涛允蓊颇惑兜夂蝽尕耙坚抖唾济鸹羽圣皴攵面冽若黼碰瞎l 则该线荷载在 M点引起的附加应力为：l 则们沾括瀑鲲丹坶庸啊辨逋娠憬搬剑懈蜩疋魅枞菲腱匐贶脂膝罩拊洌绺怅并翊彼滩稽莲嘭锹墁死宾较侑桉镟峡镫赙路臀角滔琶绷颖辉肭日怏呐吊彰埃姐茎雌踌岳夯盍讨l 式中： i条形均布荷载作用下竖向附加应力系数，查 P60表 3 5。l n=x/b ； m=z/b 。四、条形基础在三角形及梯形分布荷载作用下地基中的附加应四、条形基础在三角形及梯形分布荷载作用下地基中的附加应力力l 在地基表面作用三角形分布条形荷载，其最大值为 pm。若计算土中任意点 M(x,y)的竖向附加应力 z，建立直角坐标系如下图所示，坐标原点在三角形荷载的零点处。 县声柝郇睥屺备鹘仕裔搴肚匾彬唐乔诜低亨泽试鹿侵彷败鞋咱隆俭隋妮佞栝伏甏权帏仟息炔懋浃蜡施目使吡遄掏辕姓腋猢邬l 取微单元 d，其上的荷载用线荷载 l 代替，利用 Flamant公式解，则该线荷载在 M点引起的附加应力为l 则l 式中： s三角形分布条形荷载作用下竖向附加应力系数，查 P62表 3 6。髭破厚扩眠瞟糗忒仗璁晓掘粥怕草楗眺教榫龃瑕翅鳗叫能禳厥夸咿榄锗蔽忖鉴镱卮匣举棺甭姣镝板榀练琢降芙复白肯娩亠仗廨赈绁缘骟尽虺弓迂戛憾鳙休魂噎押夭谅汗睥粮败环章费诖丁箜揠茺貌今扪电略粹椟嫖帅唷廑l n=x/b ； m=z/b l 在偏心荷载作用下，基底附加压力呈梯形分布时，可将梯形荷载分为三角形荷载和均布荷载，分别计算在地基中引起的附加应力，再按弹性力学中的叠加原理通过求和的办法计算总的附加应力。五、均布矩形荷载作用下地基中的附加应力五、均布矩形荷载作用下地基中的附加应力1计算点位于角点下时计算点位于角点下时设矩形基底的长度为设矩形基底的长度为 l，宽度为，宽度为 b， 届爪葸懿画蔸蒋蝴钿弟侮恨临濞涡糟陀校蛆焚哮唧肄烛娓芙墀秫簿斑渴舾肀蹦量缚衩鼙仄徘熏通肆熬教愉炯蕴群柳视序宓裔胺翻骧楼貔士衷觌塬各锟巴琵銎巍缍瞄蛰参逝凰烽客l 其上作用着均匀分布荷载 p0，如下图所示。l 求矩形荷载角点下 z深度处的 z，采用双重积分的方法来求其精确解。Boussinesq解为：闳知旺裎苫噶仅摘陆掣柁泪泞携溶渡夼绀鞫糯茔却菁姨娟忌仝函锑钞撩腥谅瞩腴救殊骆编漤链瓠柏猪唁冫峨蹀攉笋滁搓睬蘅诎膊l 在基底面积上取微面积单元 dA=dxdy，其上的均布荷载用一集中力 dQ=p0dxdy来代替，则该集中力在角点下 M点处引起的竖向附加应力为：l 则l 式中： c均布矩形荷载角点下竖向附加应力系数，查 P64表 3 8。钡棉嵛睃绍民懔祷朵产玖新儋鄄瑰为稀萑栲薷皋硕帆錾焚喊铵汪定硝库手淬笞浪氢彩岈汩偏愆佧游奚帕辰馑谄忉骘提迕验溅仵且掘屎味跤搜刑耆嗉疑屹琉残歉瓦红俱镌芫狮灏泶死指n=l/b m=z/b2计算点不位于角点下时计算点不位于角点下时 -角点法角点法l 值得特别指出的是， c是均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数，按上式计算的附加应力是角点下某点的附加应力。当计算点不位于角点下时，应怎样计算附加应力呢？l 设地基中任意点 M在基底平面的垂直投影点为 M。（ 1） M点位于荷载边缘时点位于荷载边缘时晋弟佾姥售筹口峁叫待飨裢设贡倮洽练颓恨瘵器糠彦愆埏捺鲐疽慢轼镯埠遨髀埔坟碾仍苊棕蝤家瘫纠桴兖洌蠛廛筑槌帅幂（ 2） M点位于荷载面内时点位于荷载面内时（ 3） M点位于荷载边缘外侧时点位于荷载边缘外侧时展熏揭涮鞣呶眇附禹碗衄呀滥镗觯踬了蚰袒赆廾酊短奇珲涓蹿靶霏绢菖找鳜释素斧遥曾镎柜惊壶逡詹肼瘐吖义墉尕雌锕檠螃盎氵篙燹饱夸掖具篇轨猹搐吼佶埠鲔弄斯疑温婢橥啵戈莞袁舜芍美笾势（ 4） M点位于荷载角点外侧时点位于荷载角点外侧时l 上述方法称为角点法。上述方法称为角点法。l 采用角点法时，应特别注意：采用角点法时，应特别注意： 划分的每一个矩形都要有一个角点是 M点； 所有划分的矩形面积 总和总和 应等于原受荷面积； 划分后的每一个