求极值及解线性规划问题命令与2

求极值及解线性规划问题命令与例题 7.1求函数的局部极值Mathematica求函数局部极小值的一般形式为 :FindMinimum 目标函数 , 自变量名 1，初始值 1, 自变量名 2，初始值 2,具体的拟合命令有 :n 命令形式 1： FindMinimum fx, x, x0功能：以 x0为初值 , 求一元函数 f(x)在 x0附近的局部极小值。n 命令形式 2： FindMinimum fx, x, x0 , x1功能：以 x0和 x1为初值，求一元函数 f(x)在它们附近的局部极小值。这可以避免求导困难。n 命令形式 3： FindMinimum fx, x, x0 , xmin,xmax 功能：以 x0为初值 , 求一元函数 f(x)在 x0附近的局部极小值 , 如果中途计算超出自变量范围 xmin,xmax, 则终止计算。n 命令形式 4： FindMinimum fx,y,., x, x0,y, y0,功能：以点 (x0, y0,) 为初值 , 求多元函数 f(x,y,) 在 (x0, y0,) 附近的局部极小值 例 1: 求函数 y=3x4-5x2+x-1, 在 -2,2的极大值、极小值和最大值、最小值。解 : 先画出函数图形，再确定求极值的初值和命令。 Mathematica 命令为 : In1:= Plot3x4-5x2+x-1,x,-2,2 从图中看到函数在 -1和 1附近有两个极小值点，在 0附近有一个极大值点，用 Mathematica 命令求之：In2:=FindMinimum3x4-5x2+x-1,x,1Out2= -2.19701, x - 0.858028 In3:=FindMinimum3x4-5x2+x-1,x,-1Out3= -4.01997, x - -0.959273 In4:=FindMinimum- (3x4-5x2+x-1), x,0Out4= 0.949693, x - 0.101245 In5:= 3x4-5x2+x-1/.x-2 In6:= 3x4-5x2+x-1/.x-2 故所求函数在 -2,2的 x=2处取得最大值 29,在 x=-0.959273处取得最小值为 -4.01997 例 2: 求函数 z=(e2x)(x+y2+2y)，在区间 -1,1-2,1内的极值。解 : 本题限制了求极值的范围，为确定初值，借助等高线图本题限制了求极值的范围，为确定初值，借助等高线图Mathematica命令为命令为In7:= ContourPlot(画等高线 )Exp2x*(x+y2+2y),x,-1,1,y,-2,1, Contours-20, ContourShading（去掉图中的阴影） -False, PlotPoints-30从图中可知函数在（ 0.45,-1.2）可能有极值，取 x0=0.45， y0= -1.1, 再用求极值命令In8:= FindMinimumExp2x*(x+y2+2y), x, 0.45, y, -1.1Out8= -1.35914, x - 0.5, y - -1.求得函数在 x= 0.5, ， y= -1取得极小值 -1.35914。例 3:求函数 f(x,y,z)=x4+siny-cosz,在点（ 0， 5，4）附近的极小值 。解 :In9:= FindMinimumx4+SinyCosz,x,0,y,5,z,4Out9= -2., x - 0., y - 4.71239, z - 6.28319故函数在 （ 0, 4.71239, 6.28319）取得极小值 -2。Mathematica求函数局部极大值的一般形式为 :FindMaximum 目标函数 , 自变量名 1，初始值 1, 自变量名 2，初始值 2,具体的拟合命令与 FindMinimum函数类似。n 应当强调，当函数有多个极值点时，需要适当选择极值点。n FindMinimum(x-1)2 (x-2)2 (x-4)2, x, 0.2n FindMinimum(x-1)2 (x-2)2 (x-4)2, x, 1.6n FindMinimum(x-1)2 (x-2)2 (x-4)2, x, 5n FindMinimum(x-1)2 (x-2)2 (x-4)2, x, 3.6n 通过求导计算可知函数有 3个极小值点，分别是 1、 2、 4。不过由第 3个式子可以发现选择初始点为 5时并没有找到离它最近的极小值点 4。7.2 解线性规划问题线性规划是运筹学的一个重要分支，应用很广。线性规划问题可以描述为求一组非负变量，这些非负变量在满足一定线性约束的条件下，使一个线性目标函数取得极小（大）值的问题，线性规划的标准形式为：目标函数 ： min S= c 1x 1 + c 2x 2 + + c n x na11 x 1 + a12 x 2 +.+ a 1n x n = b 1a21 x 1 + a22 x 2 +. + a 2n x n = b2约束条件： . a m1x 1 + a m2x 2 +.+ a mn x n = b mx 1 ,x 2 , x n 0这里 x 1 ,x 2 , x n 是变量， c i, aij ,bi都是已知常数，且 bi 0，约束条件常用符号 :s.t.表示。 n 线性规划的一般形式为 ：目标函数 ： min S= c 1x 1 + c 2x 2 + + c n x na11 x 1 + a12 x 2 +.+ a 1n x n b 1a21 x 1 + a22 x 2 +. + a 2n x n b2约束条件： . a m1x 1 + a m2x 2 +.+ a mn x n b m n 式中符号 “”可以是关系符号： , 极小值点 1，自变量 2 - 极小值点 2， 。l 命令 2结果形式为： 极大值 , 自变量 1 - 极大值点 1，自变量 2 - 极大值点 2， 。l 上面命令中的 f为线性规划中的目标函数 ,它必须是变量x1,x2, 的线性函数。l 上面命令中的 inequalities为线性规划中的约束不等式组 ,每个关系式必须用逗号分隔。l 上面命令中的 x1,x2, 线性规划中的自变量名称 ,它们必须取非负值且可以用其它符号名。例 4: 求线性规划问题MaxS= 17x 1 -20 x 2 +18 x 3x 1 - x 2 +x 3 20, x1, x2, x3Out10= 160, x1 - 0, x2 - 10, x3 - 20计算结果可得所求目标函数极大值为 160，对应的极大值点为（ 0， 10， 20）。例 5: 求线性规划问题Min m= 13x -y +5zx +y =7,s.t. y + z 2,y0,z0 解 : Mathematica 命令为 : In11:= ConstrainedMin13x-y+5z, x+y=7, y+z2, y0, z0, x,y,z Out11= 16, x - 2, y - 10, z - 0计算结果可得所求目标函数极小值为 16，对应的极小值点为（ 0， 10， 0）。例 6: 现有三种食品 A1,A2,A3,各含有两种营养成分B1,B2, 每单位食物 Ai含有 Bj成分的数量及每种食物的单价如下表所示 :n 问应如何选购食物 ,才能既满足对营养成分 B1,B2的需要 ,又使费用最少？解 : 设购买食品 A1,A2,A3的数量分别为 x 1, x 2,x 3,花费的费用为S,则本问题可以用以下的数学模型来描述：Min S= 4x1 +2x2 +3x32x 1 + 4x 3 5s.t. 2x 1 + 3x 2 +x 3 4x 1 , x 2 , x 3 0种 类成分A1 A2 A3 营 养成分需要量B1 2 0 4 5B1 2 3 1 4单 价 4 2 3用 Mathematica 命令为 : In12:= ConstrainedMax4x1+2x2+3x3, 2x1+4x3=5, 2x1+3x2+x3=4,x1=0,x2=0,x3=0 , x1, x2, x3Out12=67/12, x1 - 0, x2 - 11/12, x3 - 5/4 计算结果显示购买 11/12数量的食品 A2, 5/4数量的食品 A3可以满足本问题的要求 ,此时的花费的费用为 67/12。-例 7: 求线性规划问题Min f = -x-3y-3z,3x+y+2z+ v =5s.t. x+ z+ 2v+w =2x+ 2z+u+2v =6x, y, z, u, v, w0解 : Mathematica 命令为 : In13:= ConstrainedMin-x-3y-3z,3x+y+2z+v=5, x+z+2v+w=2, x+2z+u+2v=6, x, y, z, u, v, w Out13= -15, x - 0, y - 5, z - 0, u - 6, v - 0, w - 2计算结果可得所求目标函数极小值为 -15，对应的极小值点为 (x, y, z, u, v, w)=(0,5,0,6,0,2）。更常见的函数 ： LinearProgramming 该函数的一般形式为：LinearProgrammingc,m,b,l 其中 b和 l都是表。如果 b是b1,s1, b2, s2, 表示矩阵 m的第 i行 mi满足条件：当si =