江西省南昌八一中学八年级数学上册 第13章《实数》单元复习与测试题三套 人教新课标版

第 13 章实数复习与回顾一、知识梳理1.平方根（1）算术平方根的定义：一个正数 x 的平方等于 a,即_，那么这个正数 x 就叫做a 的_.0 的算术平方根是_。（2）平方根的定义：如果一个数 x 的平方等于 a，即_，那么这个数 x 就叫做的_。（3）平方根的性质：一个正数有_个平方根，它们_； 0 只有_个平方根，它是_；负数_平方根。（4）开平方：求一个数 a 的_的运算，叫做开平方。2.立方根（1）立方根的定义：如果一个数 x 的_等于 a，即_，那么这个数 x 就叫做a的立方根。（2）立方根的性质：每个数 a 都只有_个立方根。正数的立方根是_；0 的立方根是_；负数的立方根是_。（3）开立方：求一个数 a 的_的运算叫做开立方。3.实数（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_。（2）实数的定义： _和_统称实数。（3）实数的分类：按定义分：_；按性质分：_。（4）实数与数轴上的点的对应关系：_与数轴上的点是_对应的。（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_。4.实数的运算：（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_一样，而且有理数的运算律对_仍然适用。（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等2于这两个数商的算术平方根，用式子表示为_；_。二、考点例析 考点 1 平方根、立方根的定义与性质例 1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。625 （2） 2 （1） 3（2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。 71 343 2 2分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。 （2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。解：（1）因为 6250，故其平方根有两个，即 65=25；因为（2）2=40，故其平方根有两个，即 2)(=2；因为（1） 3=10，b0，a+b0，所以原式=（ab）+（a+b）=ab+a+b=2a说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。考点 6 探究题例 7 阅读下列解题过程： 2215454545422661 6655请回答下列问题：（1） 、观察上面的解题过程，请直接写出式子： 1n 2nb a0用心 爱心 专心 5（2） 、利用上面所提供的解法，请化简：11132435409分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。解：（1） 1nn1。（2）原式= 910453423 = 1。说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。三、易错点例析 1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“ ”成了平方根等等。例 1 （1）求 6 4的平方根 （2）求 81的算术平方根错解：（1） 5；（2） 的算术平方根是 9错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解（2）中 81=9， 的算术平方根其实是 9 的算术平方根，而 9 的算术平方根是 3。正确解法：（1） 25416；（2） 81的算术平方根是 3。例 2 求 64 与27 的立方根。错解：64 的立方根是4，27 没有立方根。错解分析：64 的立方根是 4，只有一个，认为 64 的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方根相混淆；27 的立方根是3，错误地认为27 没有立方根是与负数没有平方根相混淆。正确解法：因为 43=64，所以 64 的立方根是 4。因为（3） 3=27，所以27 的立方根是3。2、忽略平方根成立的条件6只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。例 3 当 m 取何值时， 2有意义？错解：不论 m 取何值时， 都无意义。错解分析：考虑不全，漏掉了 m=0 时的情况。正确解法：当 m=0 时，m 2=0，此时 2m有意义。3、实数分类时只看表面形式对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。例 4 下列各数2、 3、3.14159、 9、 35、 （ 7） 2、 51、 38中无理数有错解：无理数有 、 9、 35、 （ 7） 2、 38。错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。其实能化简的应先化简， =3， （ 7） 2=7， 3=2，所以它们是有理数。正确解法：无理数有 、 35。4、运算错误在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。例 5 化简（1）5 a9 （2） )25(9错解：（1）5 =5 3=2；（2） )2(9= )(=（3）（5）=15错解分析：（1）中合并同类二次根式时丢掉了 a从而出错；（2）中忽略了公式ba的应用条件，即 a0，b0，因为负数没有平方根，虽然最后结果正确，但解法是错误的。正确解法：（1）5 9=5 a3=2 ；（2） )25(9= = 25=35=15。用心 爱心 专心 7 35四、考点链接 中考中对于实数一章的考查，其题型主要有选择题、填空题、解答题。近几年题型变化比较大，创设了一些新的情境，考查学生灵活运用所学知识的能力，这也是近几年考查的热点和趋势。下面是 2007 年各省市关于实数的中考题的归类说明。1、利用平方根、算术平方根、立方根的定义与性质解题（1） （资阳市）如果某数的一个平方根是6，那么这个数为_（2） （安顺市） 16的平方根是 （3）(南京市) 4的算术平方根是（ ） 2 2 12 16 （4）(遵义市) 8的立方根是 （5）(永州市) _。30.001（6） （南宁市）若 2()x，则 x的值等于（ ）A 1B C 0或 2 D0 或 2分析：本组题目主要考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，其中（6）小题与方程相结合，可由 2()1x得（x+1） 2=1，又由（1） 2=1 得 x+1=1，再进一步求出 x 即可。解：（1）36；（2）2；（3）选 B；（4）2；（5）0.1；（6）选 D2、考查实数的有关概念及实数大小的比较（7）(金华市) 的相反数是 （8） （旅顺口）如图，在数轴上， AB，两点之间表示整数的点有 个（9） （江西省）在数轴上与表示 3的点的距离最近的整数点所表示的数是 （10）(河北省)比较大小：7 50 （填“” 、 “”或“” ） （11）(广州市)下列各数中，最小的数是（ ）A2 B1 C0 D 28(12)(中山市)在三个数 0.5、 3、 1中，最大的数是（ ） 。A、0.5 B、 C、 D、不能确定分析：涉及数轴、相反数、绝对值、无理数等实数的有关概念及实数大小的比较历来是中考考查的基本内容。实数进行大小比较的基本原则是：数轴上右边的数总是大于左边的数。解：（7） 2；（8）4；（9） 2；（10）；（11）A；(12) B3、考查非负数的性质及其应用（13） （成都市）已知 2(5)0ab，那么 ab的值为 分析：先根据非负数的性质求出 a、b 的值，然后代入代数式求解即可。解：由题意，得 a2=0，b+5=0，即 a=2，b=5，所以 =2+(5)=3。故ab的值为3。4、考查实数的化简与运算（14） （潍坊市）化简 40的结果是（ ）A10 B2 1 C4 5 D20（15） （江西省）已知： n是整数，则满足条件的最小正整数 n为（ ）A2 B3 C4 D5（16） （南京市）下列各数中，与 23的积为有理数的是（ ） 23（17） （荆门市）下列计算错误的是( )A 2714B 560C aa859D. 32 （18） （青 岛 市 ） 计算： 2613 . （19） （黄冈市）计算：（ 5+2） （ 2）= 用心 爱心 专心 9（20） （临沂市）计算 483175(2的结果是（ ）A6 B4 C2 6D12（21） （嘉兴市）计算： (1) 32 822分析：中考中，有关实数运算的题目一般难度不大。要注意：化简时把能开得尽方的因数都开出来，使结果成最简形式；运算时一定要注意运算顺序，另外，应用乘法公式可简化计算，如（19）小题可使用平方差公式。解：（14）B；（15）D；（16）D；（17）D（18）1；（19）1；（20）D；（21）原式=2 2210第 13 章实数随堂小测（A 卷）（本试卷满分 100 分） 班级_ 姓名_ 分数_一、仔细选一选：（每题 4 分，共 24 分）116 的平方根是A、4 B、4 C、4 D、22立方根等于 3 的数是（ ）A、9 B、 9 C、27 D、 273、有下列说法：有理数和数轴上的点一一对应；不带根号的数一定是有理数；负数没有立方根； 17是 17 的平方根。其中正确的有（ ）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个4、下列各式中，正确的是（ ）A. 2)( B. 32 C. 93 D. 395、估计 76 的大小应在( )A.78 之间 B.8.08.5 之间 C. 8.59.0 之间 D. 9.09.5 之间6、下列计算中，正确的是（ ）A.2 3+3 2=5 5 B.（ 3+ 7） 10= =10C.（3+2 ） （32 ）=3 D.（ ba2）( ba2)=2a+b二、细心填一填：（每题 5 分，共 30 分）1、 5的相反数是 ；绝对值是 。2、下列各数： 12、 0.3、 、 72、 5、0.01020304中是无理数的有_.3、比较大小，填或号： 19 11； 23 34、利用计算器计算 42.3 ； 38 （结果保留 4 个有效数字） 。用心 爱心 专心 115、一个正数 x 的平方根是 2a3 与 5 a，则 a 的值为_6、绝对值小于 7的整数有_三、用心解一解：（共 46 分）1、求下列各式中未知数 x 的值（每小题 4 分，共 8 分）（1） 2650x （2） 31x2、化简（每小题 5 分，共 20 分）（1） 483 （2） 1 3+5（3） 1 (2 2 75) （4） )52(3 3、 （8 分）用铁皮制成一个封闭的正方体，它的体积是 1.331 立方米，需要多大面积的铁皮才能制成？4、 （10 分）观察 258425， 即 25； 31079310即 310；猜想： 526等于什么，并通过计算验证你的猜想。12随堂小测（A 卷）答案：一、CCBDCC 二、1、2 5； 2 2、 、 5、0.01020304 3、； 4、1.773；4.344 5、2 6、2、1、0、1、2 三、1、 （1）x= （2）x=3 2、 （1）原式= 3433（2）原式= 1565；（3）原式=2 427312；（4）原式=63 55 3、设正方体的边长为 x 米，则 x3=1.331，x=1.1，1.1 26=7.26 平方米。4、猜想： 26=5 。验证 26= 651=5 。用心 爱心 专心 13第 13 章实数随堂小测（B 卷）（本试卷满分 100 分） 班级_ 姓名_ 分数_一、仔细选一选：（每题 4 分，共 20 分）1、 8的平方根等于（ ）（A）9 （B）9 （C）3 （D）32、下列说法正确是（ ）A 不存在最小的实数 B 有理数是有限小数C 无限小数都是无理数 D 带根号的数都是无理数3、下列计算正确的是（ ）A 16=4 B3 22 =1 C24 6=4 D 23 6=2 4、若 m 是 9 的平方根，n=（ ） 2，则 m、n 的关系是（ ）（A）m=n （B）m=n （C）m=n （D）mn5、已知 738.12.3， 1738.0a，则 a 的值为（ ）（A）0.528 （B）0.0528 （C）0.00528 （D）0.000528二、细心填一填：（每题 5 分，共 25 分）1、请你任意写出三个无理数： ；2、满足 3x的整数是 3、化简 64得 4、若 031yx,则 x=_，y=_.5、观察下列式子，根据你得到的规律回答： =3； = 33； =333；.请你说出 的值是 14三、用心解一解：（共 55 分）1、计算：（1） （6 分） 154452013 （2） （7 分）2、 （10 分）若 xy= 2,xy=5 1,求(x+1)(y1)的值。3、 （10 分）已知 2a1 的平方根是3，3a+b1 的平方根是4，求 a+2b 的平方根. 4、 （1）计算（12 分） _32, _7.02,)6(2, )1(2, _)8.(2, _02。（2） （6 分）根据（1）中的计算结果可知， 2a一定等于 a 吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来。（3） （4 分）利用上述规律计算： 2)14.3(= 。用心 爱心 专心 15随堂小测（B 卷）答案：一、DADCC 二、1、答案不唯一，如 ,523 等。 2、1 0 1. 3、 6. 4、1，3. 5、333(共 n 个 3) 三、1、 （1）原式=3 5。（2）原式= 3231=1。2、( x+1)(y1)=xyx+y1= xy(xy)1= (5 1)1= 5 +11=6 2 3、由 2a1 的平方根是3 得 2a1=9，故 a=5；由 3a+b1 的平方根是4 得3a+b1=16，故 35+b1=16，得 b=2。所以 a+2b=5+22=9，它的平方根是3. 4、 （1）3，0.7，6， 2，0.28，0. （2）不一定等于 a.规律：当 a0 时 2a=a，当 a0 时 2a=a. （3）由 3.14 0 得 )14.3(=（3.14 ）= 3.14.16第 13 章实数实战演练（本试卷满分 100 分）班级_ 姓名_ 分数_考场秘诀：谁沉着、冷静、认真、细心，谁就一定能够在考场上赢得最大的胜利！祝你成功！一、 仔细选一选：（每题 3 分，共 30 分）1下列实数: 2， 0， 14592.,.， ， 25， 3， 0020020002中,无理数有( )个 A.2 B.3 C.4 D.52 5表示的意义是( )A.25 的立方根 B.25 的平方根 C.25 的算术平方根 D.5 的算术平方根3下列语句正确的是( )A. 2 是4 的平方根; B. 2 是(2) 2的算术平方根;C. (2) 2的平方根是 2; D. 8 的立方根是24下列各数中，互为相反数的是( ) A.2 与 2)(； B.2 与 38； C.2 与 1； D. 2与 25.算术平方根等于它本身的数是（ ）A .1和 0 B .0 C . D . 1和 06. 某位老师在讲“实数”时，画了一个图（如图 1） ，即“以数轴的单位线段为边做一个正方形，然后以 O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交 x 轴上于一点 A”。则 OA 的长就是 2个单位长度，想一想：作这样的图可以说明什么？ A.数轴上的点和有理数一一对应B.数轴上的点和无理数一一对应C.数轴上的点和实数一一对应D.不能说明什么coba图 2用心 爱心 专心 177实数 a、b、c 在数轴上的位置如图 2: 则化简 cba的结果是( )A.abc; B.ab+c; C.a+b+c; D.a+bc8绝对值小于5的所有实数的积为 ( )A.24; B.576; C.0; D. 109、若实数 x 满足x+x=0，则 x 是（ ） 。A. 零或负数 B. 非负数 C. 非零实数 D.负数10. 1的整数部分为 a，小数部分为 b，则 b2为( )A2 B20 C206 1 D20+6 1二、细心填一填（每题 4 分，共 32 分）1、 3的倒数是_，绝对值是_29 的平方根是 12的算术平方根是_3若 x=2，则 x的值是 4、如果 3a=3，那么（a+3） 2的值为 5、计算： 167 6、 2)4( . )81(64 7、若三角形的三边 a、b、c 满足 a24a+4+ 3b=0,则笫三边 c 的取值范围是_8、计算: )3)(2(=_, )2(=_, )25(=_;通过以上计算,试