重庆市沙坪坝区2017届九年级上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 30 页） 2016年重庆市沙坪坝区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分） 1 的相反数是（ ） A B C 3 D 3 2下列运算正确的是（ ） A a2= 53a C（ a） 2a3= 5a+2b=7如图， ， B=40，过点 C 作 5，则 度数为（ ） A 105 B 95 C 85 D 75 4下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 5下列调查中，适合用普查 方式的是（ ） A了解重庆火锅的麻辣程度 B了解湖南电视台我是歌手在全国的收视率 C了解长江中鱼的种类分布 D了解初三 7 班学生某次语文测验的成绩 6某居民小区开展节约用电活动，有关部门对该小区 100 户家庭的节电量情况进行了统计， 4 月份与 3 月份相比，节电量情况如下表： 节电量（千瓦时） 20 30 40 50 户 数 10 40 30 20 则 4 月份这 100 户家庭节电量的中位数、众数分别是（ ） A 35、 30 B 30、 20 C 30、 35 D 30、 30 第 2 页（共 30 页） 7 “十一 ”节期间 ，某商品按成本价提高 30%后标价，再打 8 折（标价的 80%）销售，售价为 240 元设该商品的成本价为 x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A x30%80%=240 B x（ 1+30%） 80%=240 C x（ 1+30%） （ 1 80%） =240 D x30%=24080% 8抛物线 y= 3（ x+2） 2 1 的顶点坐标是（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 2， 1） D（ 2， 1） 9在 ， C=90， ，则 ） A B C D 10某星期六上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会儿打车回家图中折线表 示小明离开家的路程 y（米）和所用时间 x（分）之间的函数关系，则下列说法中错误的是（ ） A小明在公园休息了 5 分钟 B小明乘出租车用了 17 分 C小明跑步的速度为 180 米 /分 D出租车的平均速度是 900 米 /分 11下列图形都是用同样大小的 按一定规律组成的，则第（ 8）个图形中共有 （ ） A 80 个 B 73 个 C 64 个 D 72 个 12如图，在 ， 0，且 A 在反比例函数 y= 的第 3 页（共 30 页） 图象上，点 B 比在反比例函数 y= 的图象上，则 m 的值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 8 二、填空题：（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13 2014 年重庆市共有 334000 名考生报名参加中考，那么 334000 这个数用科学记数法表示为 14如图，在 ， D 为 上一点， 点 E若 = ， ，则 长为 15计算（ 1） 2015 | 2|+（ ） 1 2值为 16从 2、 1、 3、 6 中随机抽取一个数记为 a，再从剩下的三个数中任取一个记为 b，则点（ a， b）恰好在反比例函数 y= 的图象上的概率是 17把函数 y= 2图象向左平移 1 个单位，再向上平移 6 个单位，所得的抛物线的函数关系式 18如图，矩形 ， E 为 上一点，且 线段 A 点逆时针旋转 90，得到线段 接 点 M，连接 ， ，则点 M 到 距离为 第 4 页（共 30 页） 三、解答题（本大题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分） 19如图，在平行四边形 ， E、 F 分别为边 中点，连接 F 求证： 20 2015 年 10 月，重庆一中隆重举行了 “力帆情系一中、足球放飞梦想 ”校园足球班级联赛开幕式暨力帆集团捐赠仪式重庆一中校友尹明善怀着对母校的眷恋和感恩，率重庆力帆全体球员，再次走进一中，为母校校园足球的发展捐款 40万元、 100 多个足球和 600 多套球服，配齐一中每个班级足球队的准备，并为 “重庆力帆足球俱乐部重庆一中青训基地 ”授牌王明同学为了解全校学生对足球的喜爱程度，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查问卷将喜爱程 度分为 A（非常喜欢）、 B（喜欢）、 C（不太喜欢）、 D（很不喜欢）四种类型，根据调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请结合统计图信息解答下列问题： （ 1）这次调查中，一共调查了 名学生，图 1 中 C 类所对应的圆心角度数为 ； （ 2）请补全条形统计图； （ 3）在非常喜欢足球的同学中，有四名来自初一，其中两名为男生；另外四名来自初二，其中一名为女生现从非常喜欢足球的同学中，分别抽取初一、初二各一名同学，作为小记者对孙继海进行采访交流，请用列表法或画树状图 求出恰好抽到一名男生和一名女生做小记者的概率 第 5 页（共 30 页） 四、解答题：（本大题 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分） 21化简下列各式： （ 1）（ 2a+1）（ 2a+1） 2a（ 1 2a）； （ 2） 22为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室经预算，一共需要筹资 30000 元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊 （ 1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的 3 倍，问最多用 多少资金购买书桌、书架等设施？ （ 2）经初步统计，有 200 户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资 150 元镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资 20000元经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在 200 户的基础上增加了 a%（其中a 0）则每户平均集资的资金在 150 元的基础上减少了 a%，求 a 的值 23重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门 A 处，有一斜坡 度为 13 米，在坡顶 B 处看教学楼 楼顶 C 的仰角 3，离 B 点 4 米远的E 处有一花台，在 E 处仰望 C 的仰角 延长线交校门处的水平面于 D 点， 米 （ 1）求斜坡 坡度 i （ 2）求 长 （参考数据： ， 2） 24在平面直角坐标系中，过一点分別作 x 轴、 y 轴的垂线，若与两坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点例如，图 1 中过点 A（ 4， 4）第 6 页（共 30 页） 分別作 x 轴， y 轴的垂线，垂足 为 B、 C，矩形 周长为 16，面积也为 16，则点 A 是和谐点请根据以上材料回答下列问题： （ 1）若点（ 5， a）是和谐点，则 a= ； （ 2）若第一象限内的点 M（ m， n）与点 N（ 4m， n）均为和谐点，求 的值； （ 3）如图 2，若点 P 为和谐点，且在直线 y=x+3 上，求所有满足条件的 P 点坐标 五 大题 2 个小题， 25 题 12 分， 26 题 12 分，共 24 分） 25如图，已知 底边作等腰 使 接 （ 1）如图 1，若 0， 0， ，求 长； （ 2）如图 1，若 0，证明： C= （ 3）如图 2，若 0，探究 间的数量关系并证明 26如图，抛物线 y= x2+mx+n 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（ 1， 0）， C（ 0， 2） （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）点 E 是线段 的一个动点（不与 B、 C 重合），过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 面积最大？求出四第 7 页（共 30 页） 边形 最大面积及此时 E 点的坐标 （ 3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 以 腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由 第 8 页（共 30 页） 2016年重庆市沙坪坝区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分） 1 的相反数是（ ） A B C 3 D 3 【考点】 相反数 【分析】 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案 【解答】 解： 的相反数是 故选： B 2下列运算正确的是（ ） A a2= 53a C（ a） 2a3= 5a+2b=7考点】 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【分析】 根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的定义，进行逐项分析解答，用排除法找到正确的答案 【解答】 解： A、原式 =2=本选项错误， B、原式 =（ 5 3） 本选项 错误， C、原式 =a2a3=本选项正确， D、原式中的两项不是同类项，不能进行合并，故本选项错误， 故选 C 3如图， ， B=40，过点 C 作 5，则 度数为（ ） 第 9 页（共 30 页） A 105 B 95 C 85 D 75 【考点】 三角形内角和定理；平行线的性质 【分析】 根据平行线的性质求出 40，计算即可 【解答】 解： B=180，又 B=40， 40， 5， 故选： D 4下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】 解： A、不 是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误 故选 C 5下列调查中，适合用普查方式的是（ ） A了解重庆火锅的麻辣程度 B了解湖南电视台我是歌手在全国的收视率 C了解长江中鱼的种类分布 D了解初三 7 班学生某次语文测验的成绩 【考点】 全面调查与抽样调查 第 10 页（共 30 页） 【分析】 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多 ，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可 【解答】 解： A、了解重庆火锅的麻辣程度无法普查，适合抽样调查，故 A 不符合题意； B、了解湖南电视台我是歌手在全国的收视率，调查范围广适合抽样调查，故 B 不符合题意； C、了解长江中鱼的种类分布，无法普查，适合抽样调查，故 C 不符合题意； D、了解初三 7 班学生某次语文测验的成绩，适合普查，故 D 符合题意； 故选： D 6某居民小区开展节约用电活动，有关部门对该小区 100 户家庭的节电量情况进行了统计， 4 月份与 3 月份相比，节电量情况如下表： 节电量（千瓦时） 20 30 40 50 户 数 10 40 30 20 则 4 月份这 100 户家庭节电量的中位数、众数分别是（ ） A 35、 30 B 30、 20 C 30、 35 D 30、 30 【考点】 众数；中位数 【分析】 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个 【解答】 解：中位数 =（ 40+30） 2=35； 数据 30 出现了 40 次，次数最多，所以众数是 30 故选 A 7 “十一 ”节期间，某商品按成本价提高 30%后标价，再打 8 折（标价的 80%）销售，售价为 240 元设该商品的成本价为 x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A x30%80%=240 B x（ 1+30%） 80%=240 第 11 页（共 30 页） C x（ 1+30%） （ 1 80%） =240 D x30%=24080% 【考点】 由实际问题抽象出一元一次方程 【分析】 首先理解题意找出题中存在的等量关系：成本价 （ 1+30%） 80%=售价 240 元，根据此列方程即可 【解答】 解：设这件商品的成本价为 x 元，成本价提高 30%后的标价为 x（ 1+30%），再打 8 折的售价表示为 x（ 1+30%） 80%，又因售价为 240 元， 列方程为： x（ 1+30%） 80%=240 故选 B 8抛物线 y= 3（ x+2） 2 1 的顶点坐标是（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 2， 1） D（ 2， 1） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标 【解答】 解： 抛物线的解析式为： y= 3（ x+2） 2 1， 其顶点坐标为（ 2， 1） 故选 C 9在 ， C=90， ，则 ） A B C D 【考点】 互余两角三角函数的关系 【分析】 根据题意和正切的概念设出 b、 a，根据勾股定理求出 c，根据余弦的概念计算即可 【解答】 解：设 b=5x， ， a=3x， 由勾股定理得， c= = x， 则 = = ， 故选： D 第 12 页（共 30 页） 10某星期六上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会儿打车回家图中折线表 示小明离开家的路程 y（米）和所用时间 x（分）之间的函数关系，则下列说法 中错误的是（ ） A小明在公园休息了 5 分钟 B小明乘出租车用了 17 分 C小明跑步的速度为 180 米 /分 D出租车的平均速度是 900 米 /分 【考点】 函数的图象 【分析】 根据情境的叙述，结合图象，逐一分析得出答案即可 【解答】 解： A、在公园停留的时间为 15 10=5 分钟，也就是在公园休息了 5分钟，此选项正确，不合题意； B、小明乘出租车的时间是 17 15=2 分钟，此选项错误，符合题意； C、小明 1800 米用了 10 分钟，跑步的速度为 180 米 /分 ，此选项正确，不合题意； D、出租车 1800 米用了 2 分钟，速度为 900 米 /分，此选项正确，不合题意 故选： B 11下列图形都是用同样大小的 按一定规律组成的，则第（ 8）个图形中共有 （ ） A 80 个 B 73 个 C 64 个 D 72 个 【考点】 规律型：图形的变化类 第 13 页（共 30 页） 【分析】 仔细观察图形，发现 n 个图形有（ n+1）（ n+1） 1=n 个 ，代入 n=8即可求得答案 【解答】 解：第 1 个图形有 2 2 1=3 个 ， 第 2 个图形有 3 3 1=8 个 ， 第 3 个图形有 4 4 1=15 个 ， 第 n 个图形有（ n+1）（ n+1） 1=n 个 ， 当 n=8 时， n=82+2 8=80， 故选 A 12如图，在 ， 0，且 A 在反比例函数 y= 的图象上，点 B 比在反比例函数 y= 的图象上，则 m 的值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 8 【考点】 相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 要求函数的解析式只要求出点 B 的坐标就可以，过点 A， B 作 x 轴，x 轴，分别于 C， D根据条件得到 到 = = = 求出b， 2a， 得到 B（ 2b， 2a），问题即可得解 【解 答】 解：设点 A 的坐标是（ a， b）， 因为点 A 在函数 y= 的图象上，则 2， 则 ， a， 0， 0， 第 14 页（共 30 页） = = = b， 2a， B（ 2b， 2a）， 点 B 比在反比例函数 y= 的图象上， 2b（ 2a） =m， m=8 二、填空题：（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13 2014 年重庆市共有 334000 名考生报名参加中考，那么 334000 这个数用科学记数法表示为 105 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其 中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， 【解答】 解：将 334000 用科学记数法表示为 105 故答案为： 105 14如图，在 ， D 为 上一点， 点 E若 = ， ，则 长为 15 第 15 页（共 30 页） 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 根据相似三角形的判定和性质得到比例式，代入数据即可得到结论 【解答】 解： = ， = ， = ， ， 5， 故答案为： 15 15计算（ 1） 2015 | 2|+（ ） 1 2值为 6 【考点】 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】 根据绝对值，负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可 【解答】 解：原式 = 1+ 2 3 2 = 6； 故答案为 6 16从 2、 1、 3、 6 中随机抽取一个数记为 a，再从剩下的三个数中任取一个记为 b，则点（ a， b）恰好在反比例函数 y= 的图象上的概率是 【考点】 列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（ a，b）恰好在反比例函数 y= 的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案 第 16 页（共 30 页） 【解答】 解：画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，点（ a， b）恰好在反比例函数 y= 的图象上的有：（ 2， 3），（ 1， 6），（ 3， 2），（ 6， 1）， 点（ a， b）恰好在反比例函数 y= 的图象上的概率是： = 故答案为： 17把函数 y= 2图象向左平移 1 个单位，再向上平移 6 个单位，所得的抛物线的函数关系式 y= 2（ x+1） 2+6 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 根据图形平移的规律 “左加右减，上加下减 ”，即可得出平移后的函数关系式 【解答】 解：把函数 y= 2图象向左平移 1 个单位得到的抛物线的函数关系式为 y= 2（ x+1） 2， 将函数 y= 2（ x+1） 2向上平移 6 个单位得到的抛物线的函数关系式为 y= 2（ x+1）2+6 故答案为： y= 2（ x+1） 2+6 18如图，矩形 ， E 为 上一点，且 线段 A 点逆时针旋转 90，得到线段 接 点 M，连接 ， ，则点 M 到 距离为 【考点】 旋转的性质 第 17 页（共 30 页） 【分析】 首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质求得 用勾股定理放得出 得 出 一步得出 由 用平行线分线段成比例求得 点 F 作 M 作 出 得 用三角形 面积建立方程求得答案即可 【解答】 解：如图， 将线段 A 点逆时针旋转 90，得到线段 F， 0， ， F= ， ， ， 0， 0， 又 B= C， = ， = ， ，则 ， 0， = = ， ， 过点 F 作 M 作 第 18 页（共 30 页） 在 ， ， E=1， B=3，则 ， =5 ， N= H， 即 1= 5 ， 点 M 到 距离为 故答案为： 三、解答题（本大题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分） 19如图，在平行四边形 ， E、 F 分别为边 中点，连接 F 求证： 【考点】 平行四边形的性质；全等三角形的判定 【分析】 根据平行四边形的性质可得 A= C， C， B，进而可得 E，然后利用 理判定 【解答】 证明： 四边形 平行四边形， A= C， C， B， E、 F 分别为 边 中点， F， 第 19 页（共 30 页） 在 ， ， 20 2015 年 10 月，重庆一中隆重举行了 “力帆情系一中、足球放飞梦想 ”校园足球班级联赛开幕式暨力帆集团捐赠仪式重庆一中校友尹明善怀着对母校的眷恋和感恩，率重庆力帆全体球员，再次走进一中，为母校校园足球的发展捐款 40万元、 100 多个足球和 600 多套球服，配齐一中每个班级足球队的准备，并为 “重庆力帆足球俱乐部重庆一中青训基地 ”授牌王明同学为了解全校 学生对足球的喜爱程度，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查问卷将喜爱程度分为 A（非常喜欢）、 B（喜欢）、 C（不太喜欢）、 D（很不喜欢）四种类型，根据调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请结合统计图信息解答下列问题： （ 1）这次调查中，一共调查了 40 名学生，图 1 中 C 类所对应的圆心角度数为 54 ； （ 2）请补全条形统计图； （ 3）在非常喜欢足球的同学中，有四名来自初一，其中两名为男生；另外四名来自初二，其中一名为女生现从非常喜欢足球的同学中 ，分别抽取初一、初二各一名同学，作为小记者对孙继海进行采访交流，请用列表法或画树状图求出恰好抽到一名男生和一名女生做小记者的概率 【考点】 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图 【分析】 （ 1）由 D 的人数除以占的百分比得出调查学生的总数即可；求出 C 的人数占的百分比，乘以 360 即可得到结果； （ 2）求出 C 的人数，补全条形统计图即可； 第 20 页（共 30 页） （ 3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可确定出所求概率 【解答】 解：（ 1）根据题意得： 4 10%=40（名）； C 的人数为 40（ 8+22+4）=6，占的 角度为 6 40 100% 360=54 故答案为： 40； 54； （ 2）补全条形统计图，如图所示： （ 3）设初一两名男生为 名女士为 二男生为 生为 2 2 （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 所有等可能的情况有 16 种情况，其中一男一女的情况有 8 种， 则 P（一男一女） = = 四、解答题：（本大题 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分） 21化简下列各式： （ 1）（ 2a+1）（ 2a+1） 2a（ 1 2a）； （ 2） 【考点】 分式的混合运算；整式的混合运算 【分析】 （ 1）首先计算多项式的乘法以及单项式与多项式的乘法，然后去括号、合并同类项即可； 第 21 页（共 30 页） （ 2）首先计算括号内的分式，然后把除法转化为乘法，然后进行化简即可 【解答】 解：（ 1）原式 =（ 1 4（ 2a 4=1 42a+4 2a； （ 2）原式 = = = = 22为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室经预算，一共需要筹资 30000 元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊 （ 1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的 3 倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？ （ 2）经初步统计，有 200 户居民自愿参与集资，那 么平均每户需集资 150 元镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资 20000元经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在 200 户的基础上增加了 a%（其中a 0）则每户平均集资的资金在 150 元的基础上减少了 a%，求 a 的值 【考点】 一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用 【分析】 （ 1）设用于购买书桌、书架等设施的为 x 元，则购买书籍的有元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的 3 倍 ”，列出不等式求解即可； （ 2） 根据 “自愿参与的户数在 200 户的基础上增加了 a%（其中 a 0）则每户平均集资的资金在 150 元的基础上减少了 a%，且总集资额为 20000 元 ”列出方程求解即可 【解答】 解：（ 1）设用于购买书桌、书架等设施的为 x 元，则购买书籍的有元， 根据题意得： 30000 x 3x， 解得： x 7500 答：最多用 7500 元购买书桌、书架等设施； 第 22 页（共 30 页） （ 2）根据题意得： 200（ 1+a%） 150（ 1 a%） =20000 整理得： 0a 3000=0， 解得： a=50 或 a= 60（舍去）， 所以 a 的值是 50 23重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门 A 处，有一斜坡 度为 13 米，在坡顶 B 处看教学楼 楼顶 C 的仰角 3，离 B 点 4 米远的E 处有一花台，在 E 处仰望 C 的仰角 延长线交校门处的水平面于 D 点， 米 （ 1）求斜坡 坡度 i （ 2）求 长 （参考数据： ， 2） 【考点】 解直角三角形的应用仰角俯角问题；解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】 （ 1）过 B 作 G，则四边形 矩形，求得 F=5 米，然后根据勾股定理求得 可求得斜坡 坡度 i （ 2）在 ， = ，在 ， = ，得到方程 =4，解得 6，即可求得求 1 【解答】 解：（ 1）过 B 作 G， 则四边形 矩形， F=5 米， 第 23 页（共 30 页） 3 米， =12 米， 坡度 i= =1： （ 2） 在 ， = ， 在 ， = ， 米， =4， 解得： 6 F+6+5=21 米 24在平面直角坐标系中，过一点分別作 x 轴、 y 轴的垂线，若与两坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点例如，图 1 中过点 A（ 4， 4）分別作 x 轴， y 轴的垂线，垂足为 B、 C，矩形 周长为 16，面积也为 16，则点 A 是和谐点请根据以上材料回答下列问题： （ 1）若点（ 5， a）是和谐点，则 a= ； （ 2）若第一象限内的点 M（ m， n）与点 N（ 4m， n）均为和谐点，求 的值； （ 3）如图 2，若点 P 为和谐点，且在直线 y=x+3 上，求所有满足条件的 P 点坐标 第 24 页（共 30 页） 【考点】 一次函数综合题 【分析】 （ 1）根据题意列出方程，求出方程的解得到 a 的值即可； （ 2）利用和谐点定义列出方程组，求出方程组的解，得出所求式子的值即可； （ 3）设 P（ x， x+3），利用和谐点定义列出方程，分类讨论 x 的范围求出 x 的值，即可确定出 P 坐标 【解答】 解：（ 1）根据题 意得： 2（ |a|+5） =5|a|， 解得： a= ； 故答案为： ； （ 2）根据题意得： ， 解得： = ； （ 3）设 P（ x， x+3），则 2（ |x|+|x+3|） =|x（ x+3） |， 当 x 3 时，化简得： x+6=0，解得： x= 6 或 x= 1（舍去）； 当 3 x 0 时，化简得： x+6=0，无解； 当 x 0 时，化简得： x 6=0，解得： x=3 或 x= 2（舍去）， 综上， P 的坐标为（ 6， 3）或（ 3， 6） 五 大题 2 个小题， 25 题 12 分， 26 题 12 分，共 24 分） 25如图，已知 底边作等腰 使 接 （ 1）如图 1，若 0， 0， ，求 长； （ 2）如图 1，若 0，证明： C= （ 3）如图 2，若 0，探究 间的数量关系并证明 第 25 页（共 30 页） 【考点】 四边形综合题 【分析】 （ 1）根据等腰直角三角形的性质和已知求出 长； （ 2）作 E， 延长线于 F，证明 到F， F，根据正方形的性质证明结论； （ 3）延长 G，使 B，证明 到 等边三角形，得到答案 【解答】 解：（ 1） 0， C， 5， 0，又 0， ， C ； （ 2）作 E， 延长线于 F， 0， C， 5， 0， 四边形 矩形， 0， 80， 在 ， ， 第 26 页（共 30