中原工学院 数学建模国家二等奖

1眼 科 病 床 的 安 排 模 型摘 要本 文 针 对 眼 科 医 院 病 床 安 排 问 题 ， 首 先 确 立 了 基 于 病 人 满 意 度 的 评 价 指 标 体 系 ， 并运 用 这 个 评 价 体 系 对 问 题 中 的 FCFS（ First Come,First Server） 规 则 进 行 了 合 理 评 价 。之 后 运 用 了 排 队 论 中 的 马 尔 科 夫 性 生 灭 过 程 建 立 模 型 ， 找 出 了 影 响 病 床 安 排 的 因 素 ， 结合 这 些 因 素 与 每 类 病 人 住 院 的 优 先 权 得 出 了 病 床 的 合 理 安 排 方 案 ， 并 运 用 建 立 的 指 标 评价 体 系 对 确 定 的 SJF(Shortest Job First)规 则 进 行 了 评 价 与 预 测 ， 补 充 了 题 目 中 不 完整 的 数 据 ， 再 根 据 数 据 统 计 情 况 即 可 在 病 人 门 诊 时 就 告 知 其 大 致 入 住 时 间 区 间 。 最 后 建立 了 M/M/s等 待 制 排 队 模 型 ， 得 出 了 基 于 平 均 逗 留 时 间 最 短 的 病 床 分 配 比 例 。针 对 问 题 （ 一 ） ， 给 出 了 病 人 平 均 满 意 度 、 时 间 利 用 率 和 病 床 闲 置 率 的 定 义 ， 并 分别 对 影 响 满 意 度 的 两 个 因 素 即 病 人 的 时 间 利 用 率 和 病 床 的 闲 置 率 赋 予 合 理 的 权 重 ， 建 立满 意 度 评 价 体 系 。 并 对 原 始 规 则 下 的 病 床 安 排 模 型 进 行 了 评 价 ， 得 出 病 人 的 满 意 度 为0.526。针 对 问 题 （ 二 ） ， 在 对 原 始 数 据 的 统 计 基 础 之 上 ， 我 们 分 析 制 定 出 了 新 的 模 型 规 则即 白 内 障 患 者 手 术 时 间 为 周 一 、 周 三 、 周 五 ， 在 进 行 病 床 分 配 时 遵 循 最 短 优 先 服 务 （ SJF）原 则 。 然 后 运 用 马 尔 科 夫 生 灭 过 程 模 型 找 出 了 影 响 病 床 安 排 的 因 素 ， 结 合 这 些 因 素 与 每类 病 人 住 院 的 优 先 权 得 出 了 病 床 的 合 理 安 排 方 案 ， 并 补 充 了 题 目 中 不 完 整 的 数 据 。针 对 问 题 （ 三 ） ， 通 过 对 各 类 病 人 的 门 诊 时 间 、 入 院 时 间 、 手 术 时 间 、 出 院 时 间 的统 计 ， 计 算 出 各 项 时 间 的 平 均 值 。 根 据 平 均 值 估 计 出 数 据 中 各 类 不 完 整 的 时 间 （ 时 间 可能 会 在 估 计 值 左 右 出 现 波 动 ） ， 从 而 在 病 人 门 诊 时 即 告 知 其 大 致 入 住 时 间 区 间 。针 对 问 题 （ 四 ） ， 先 根 据 SJF 规 则 统 计 出 一 段 时 间 内 入 院 及 手 术 安 排 顺 序 情 况 ， 然后 考 虑 周 六 、 周 日 不 安 排 手 术 对 病 人 造 成 的 影 响 （ 特 别 对 于 急 症 患 者 ） ， 以 此 对 医 院 的手 术 时 间 安 排 进 行 调 整 。针 对 问 题 （ 五 ） ， 我 们 建 立 了 M/M/s 等 待 制 排 队 模 型 。 由 数 据 得 出 每 类 病 人 所 占 床位 的 大 致 比 例 为 9： 18： 26： 13： 34， 所 以 我 们 可 以 得 出 每 类 疾 病 床 位 的 分 配 值 。 通 过解 的 最 优 性 检 验 ， 得 到 最 优 的 分 配 比 例 7： 15： 20： 10： 27， 即 外 伤 、 白 内 障 （ 单 眼 ） 、白 内 障 （ 双 眼 ） 、 青 光 眼 、 视 网 膜 疾 病 分 配 的 病 床 数 占 病 床 总 数 的 比 例 分 别 为 ： 8.8%，18.99%， 25.31%， 12.65%， 34.25%时 ,所 有 病 人 在 系 统 内 的 平 均 逗 留 时 间 最 短 。关 键 词 FCFS SJF 马 尔 科 夫 排 队 论2一 、 问 题 的 重 述某 眼 科 医 院 主 要 做 四 类 眼 科 手 术 ： 白 内 障 、 视 网 膜 疾 病 、 青 光 眼 和 外 伤 ， 该 眼 科 门诊 全 天 开 诊 。 其 住 院 部 共 有 病 床 79 张 ， 住 院 部 对 全 体 非 急 症 病 人 是 按 照 FCFS（ Firstcome,Firstserve） 规 则 安 排 住 院 ， 但 是 一 段 时 间 后 发 现 等 待 住 院 病 人 队 列 越 来 越 长 ， 为此 我 们 要 通 过 数 学 建 模 来 帮 助 解 决 院 部 的 病 床 合 理 安 排 问 题 ， 从 而 提 高 对 医 院 资 源 的 有效 利 用 。白 内 障 手 术 简 单 ， 没 有 急 症 ， 病 人 手 术 前 准 备 时 间 只 需 一 到 两 天 ， 并 且 该 医 院 是 每周 一 、 三 做 白 内 障 手 术 。 做 两 只 眼 手 术 的 病 人 比 做 一 只 眼 的 要 多 一 些 ， 大 约 占 到 60%。如 果 要 做 双 眼 是 周 一 先 做 一 只 ， 周 三 再 做 另 一 只 。外 伤 疾 病 通 常 属 于 急 症 ， 病 床 有 空 位 时 立 即 安 排 住 院 ， 住 院 后 第 二 天 便 会 安 排 手 术 。青 光 眼 与 视 网 膜 疾 病 比 较 复 杂 ， 但 是 大 致 住 院 以 后 两 到 三 天 内 就 可 以 安 排 手 术 ， 主要 是 术 后 的 观 察 时 间 较 长 。 此 类 疾 病 手 术 时 间 可 根 据 需 要 安 排 ， 一 般 不 安 排 在 周 一 和 周三 。 已 知 2008年 7月 13日 至 2008年 9月 11日 这 段 时 间 里 各 类 病 人 的 情 况 。医 院 眼 科 手 术 条 件 比 较 充 分 ， 病 床 安 排 不 受 手 术 条 件 限 制 ， 但 受 手 术 医 生 安 排 的 制约 ， 通 常 情 况 下 白 内 障 手 术 与 其 他 眼 科 手 术 （ 急 症 除 外 ） 不 安 排 在 同 一 天 做 。 有 以 上 条件 ， 我 们 要 解 决 的 问 题 是 ：（ 1） 分 析 确 定 合 理 的 评 价 指 标 体 系 ， 用 以 评 价 该 问 题 的 病 床 安 排 模 型 的 优 劣 。（ 2） 就 该 住 院 部 当 前 的 情 况 ， 建 立 合 理 的 病 床 安 排 模 型 ， 以 根 据 已 知 的 第 二 天 拟出 院 病 人 数 来 确 定 第 二 天 应 该 安 排 哪 些 病 人 住 院 。 并 对 模 型 利 用 问 题 一 中 的 指 标 体 系 作出 评 价 。（ 3） 对 于 病 人 ， 自 然 希 望 尽 早 知 道 自 己 大 约 何 时 能 住 院 。 根 据 当 时 住 院 病 人 及 等待 住 院 病 人 的 统 计 情 况 ， 在 病 人 门 诊 时 告 知 其 大 致 入 住 时 间 区 间 。（ 4） 若 该 住 院 部 周 六 、 周 日 不 安 排 手 术 ， 重 新 回 答 问 题 （ 2） ， 医 院 的 手 术 时 间 安排 是 否 应 作 出 相 应 调 整 ?（ 5） 从 便 于 管 理 的 角 度 提 出 建 议 ， 在 一 般 情 形 下 ， 医 院 病 床 安 排 可 采 取 使 各 类 病人 占 用 病 床 的 比 例 大 致 固 定 的 方 案 ， 试 就 此 方 案 ， 建 立 使 得 所 有 病 人 在 系 统 内 的 平 均 逗留 时 间 （ 含 等 待 入 院 及 住 院 时 间 ） 最 短 的 病 床 比 例 分 配 模 型 。二 、 问 题 的 分 析2.1 问 题 一 的 分 析本 问 题 的 目 标 是 建 立 合 理 的 评 价 体 系 ， 用 来 评 价 病 床 安 排 模 型 的 优 劣 。 题 中 给 出 了该 医 院 对 病 人 采 用 先 来 先 服 务 的 排 队 规 则 进 行 安 排 病 床 ， 为 了 判 断 该 规 则 的 合 理 性 ， 我们 给 出 了 病 人 时 间 使 用 率 及 病 床 闲 置 率 的 定 义 ， 并 分 别 对 两 者 赋 予 了 权 重 ， 建 立 基 于 病人 满 意 度 的 评 价 指 标 体 系 。3病 人 时 间 使 用 率 与 病 人 等 待 入 院 的 时 间 有 关 ， 是 用 病 人 等 待 入 院 的 平 均 时 间 和 从 门诊 到 出 院 的 平 均 时 间 来 表 征 ， 它 反 映 了 病 人 对 医 院 的 满 意 度 。 然 而 ， 把 所 有 病 人 时 间 利用 率 计 算 出 来 是 很 复 杂 的 事 情 ， 为 了 更 准 确 的 表 示 ， 我 们 把 病 人 的 时 间 利 用 率 按 病 人 类别 来 进 行 分 类 ： 白 内 障 （ 单 眼 ） 病 人 的 时 间 利 用 率 ， 白 内 障 （ 双 眼 ） 病 人 的 时 间 利 用 率 ，青 光 眼 病 人 的 时 间 利 用 率 ， 视 网 膜 疾 病 病 人 的 时 间 利 用 率 。 在 具 体 的 求 解 时 ， 我 们 抽 取了 7月 13日 到 9月 11日 各 类 病 人 的 情 况 进 行 分 析 ， 从 而 求 出 各 类 病 人 的 时 间 利 用 率 。病 床 的 闲 置 率 反 映 的 是 病 床 使 用 情 况 ， 用 来 判 断 病 床 是 否 被 完 全 占 用 ， 从 而 得 出 资源 的 利 用 情 况 。 对 于 题 中 所 给 出 的 附 表 我 们 用 Excel 工 作 表 处 理 得 出 从 7 月 13 号 到 9月 11 号 病 床 的 实 际 占 用 量 。 由 此 可 以 得 出 各 个 时 期 的 病 床 使 用 率 ， 进 而 求 出 各 个 时 期的 病 床 闲 置 率 。最 后 ， 通 过 满 意 度 评 价 指 标 体 系 判 断 该 模 型 是 否 合 理 。2.2 问 题 二 的 分 析通 过 对 每 周 每 天 各 类 病 人 手 术 人 数 的 统 计 ， 我 们 发 现 手 术 时 间 多 集 中 在 周 一 、 周 三 ，且 周 一 的 平 均 手 术 人 数 远 远 高 于 其 他 时 间 的 手 术 人 数 ， 这 就 会 在 一 定 程 度 上 造 成 病 人 的堆 积 。 手 术 人 数 直 接 影 响 到 出 院 人 数 ， 而 出 院 人 数 又 影 响 着 住 院 的 病 床 安 排 。 因 此 ， 周一 、 周 三 做 白 内 障 手 术 的 规 则 一 定 程 度 上 降 低 了 医 院 资 源 利 用 率 ， 也 使 病 人 的 时 间 利 用率 降 低 。 所 以 ， 我 们 考 虑 将 白 内 障 病 人 的 手 术 时 间 分 散 安 排 到 周 一 、 周 三 、 周 五 ， 从 而使 出 院 人 数 得 以 平 均 ， 亦 使 病 人 在 手 术 时 间 上 有 更 多 选 择 。 另 外 ， 为 了 提 高 病 床 周 转 率我 们 提 出 了 最 短 优 先 服 务 规 则 ， 即 在 出 现 等 待 的 情 况 下 优 先 安 排 住 院 时 间 最 短 的 病 人 。以 上 是 对 模 型 规 则 的 重 新 确 立 ， 接 下 来 需 要 找 到 影 响 床 位 分 配 的 因 素 。 为 了 解 决 这个 问 题 ， 我 们 依 据 排 队 论 中 的 马 尔 科 夫 性 的 生 灭 过 程 建 立 了 模 型 1。 通 过 该 模 型 的 建 立找 到 了 各 类 病 人 的 平 均 住 院 时 间 、 所 有 病 床 被 占 用 的 天 数 比 率 、 各 类 病 人 在 门 诊 中 所 占的 比 率 、 一 般 病 人 到 达 时 所 需 等 待 的 概 率 ， 在 此 我 们 将 该 因 素 转 化 为 病 人 的 时 间 利 用 率 。以 此 作 为 影 响 床 位 分 配 的 因 素 。 根 据 每 类 病 人 的 平 均 住 院 时 间 来 确 定 其 住 院 的 优 先 权（ 最 短 优 先 服 务 原 则 ） ， 将 优 先 权 与 分 配 因 素 结 合 来 对 病 床 进 行 合 理 分 配 。2.3 问 题 三 的 分 析病 人 从 门 诊 到 出 院 这 一 过 程 一 般 有 四 项 时 间 ， 门 诊 时 间 、 入 院 时 间 、 手 术 时 间 、 出院 时 间 ， 如 果 已 知 某 一 项 时 间 和 这 四 项 时 间 的 间 隔 ， 就 可 求 出 其 余 三 项 时 间 。病 人 到 医 院 门 诊 时 ， 都 希 望 尽 早 知 道 自 己 何 时 能 住 院 ， 这 时 ， 医 院 要 基 于 一 定 的 依据 给 出 病 人 相 对 准 确 可 靠 的 住 院 时 间 区 间 ， 这 样 既 能 满 足 病 人 的 需 要 ， 又 有 利 于 医 院 提高 病 床 的 周 转 速 度 。 对 于 题 目 所 给 的 五 类 病 人 ， 每 类 病 人 的 等 待 入 院 时 间 ， 等 待 做 手 术时 间 以 及 在 系 统 内 的 逗 留 时 间 是 有 较 大 差 别 的 ； 而 对 同 一 类 病 人 ， 他 们 的 等 待 入 院 时 间 ，等 待 做 手 术 时 间 以 及 在 系 统 内 的 逗 留 时 间 是 基 本 是 稳 定 的 。 对 于 这 五 类 病 人 ， 分 别 统 计每 类 病 人 各 项 时 间 ， 计 算 各 项 时 间 的 平 均 值 。 根 据 统 计 的 结 果 ， 我 们 就 可 以 根 据 病 人 的一 项 时 间 估 算 出 其 余 各 项 时 间 。2.4 问 题 四 的 分 析问 题 四 是 基 于 最 短 优 先 原 则 (SJF规 则 )进 行 求 解 ， 题 目 中 假 设 住 院 部 周 六 、 周 日 不安 排 手 术 ， 在 这 样 的 情 况 下 调 整 医 院 的 手 术 时 间 ， 先 要 根 据 SJF规 则 统 计 出 一 定 时 间 内入 院 及 手 术 安 排 顺 序 情 况 ， 然 后 考 虑 到 周 六 、 周 日 不 安 排 手 术 对 病 人 造 成 的 影 响 （ 特 别对 于 急 症 患 者 ） ， 以 此 调 整 医 院 的 手 术 时 间 安 排 。42.5 问 题 五 的 分 析本 问 题 是 建 立 所 有 病 人 在 系 统 内 的 平 均 逗 留 时 间 （ 含 等 待 入 院 及 住 院 时 间 ） 最 短 的病 床 比 例 分 配 模 型 ， 是 个 优 化 问 题 。 我 们 把 这 79个 病 床 按 比 例 分 给 这 5类 病 人 ， 设 外伤 分 a 个 床 位 ， 白 内 障 （ 单 眼 ） 分 b个 床 位 、 白 内 障 （ 双 眼 ） 分 c个 床 位 、 青 光 眼 分 d 个床 位 、 视 网 膜 疾 病 分 e个 床 位 ； 由 于 病 人 是 单 个 到 达 ， 从 问 题 二 的 马 尔 科 夫 性 生 灭 过 程的 模 型 可 知 ， 病 人 到 达 数 服 从 参 数 为 的 poisson分 布 2， 每 个 病 床 的 服 务 时 间 服 从 参数 为 的 负 指 数 分 布 ， 系 统 中 每 类 疾 病 都 有 已 知 的 床 位 数 ， 且 每 个 床 位 的 服 务 时 间 相 互独 立 。 当 病 人 到 达 时 ， 只 要 有 空 闲 的 床 位 病 人 就 可 以 马 上 接 受 服 务 ， 否 则 便 进 入 排 队 系统 开 始 等 待 ， 等 待 空 间 为 无 限 。 所 以 我 们 可 以 建 立 / / /M M S 排 队 等 待 模 型 。 由 附录 （ 7） 可 以 得 出 每 类 病 人 所 占 床 位 的 大 致 比 例 为 ： 9:18:26:13:34， 所 以 我 们 可 以 得出 每 类 疾 病 床 位 的 分 配 值 。 通 过 解 的 最 优 性 检 验 ， 得 到 最 优 的 分 配 比 例 。三 、 模 型 的 假 设1、 假 设 题 中 所 给 的 数 据 是 真 实 可 靠 的 ；2、 假 设 7月 13日 之 前 病 床 的 占 有 率 为 0；3、 假 设 除 急 症 患 者 外 ， 其 他 患 者 在 门 诊 当 天 即 能 确 诊 眼 病 类 型 ， 住 院 时 间 由 医 生 决定 ；4、 考 虑 到 医 院 资 源 的 利 用 率 ， 在 有 病 人 等 待 住 院 的 情 况 下 ， 不 出 现 空 床 的 情 形 。四 、 符 号 的 说 明A： 患 有 白 内 障 （ 单 眼 ） 的 此 类 病 人 ；B： 患 有 白 内 障 （ 双 眼 ） 的 此 类 病 人 ：C： 患 有 视 网 膜 疾 病 的 此 类 病 人 ；D： 患 有 青 眼 光 的 此 类 病 人 ；E： 患 有 外 伤 的 此 类 病 人 ； ： 病 人 的 时 间 利 用 率 ；X ： 第 X 类 病 人 的 时 间 利 用 率 ；： 医 院 眼 科 病 床 的 使 用 率 ；q： 病 人 对 病 床 安 排 模 型 的 满 意 度 ；i ： 第 i天 医 院 眼 科 病 床 的 闲 置 率 ：5i ： 第 i天 医 院 眼 科 病 床 的 闲 置 率 ；wt ： 病 人 门 诊 后 等 待 住 院 的 平 均 时 间 ；st ： 病 人 在 医 院 被 服 务 的 平 均 时 间 ；tt ： 病 人 从 门 诊 到 出 院 的 平 均 时 间 ；im ： 第 i天 病 床 的 使 用 数 量 ；M ： 医 院 眼 科 病 床 总 数 量 ；( 2, , , )i i b b q s ： 各 类 病 人 服 从 的 指 数 分 布 参 数 。五 、 模 型 的 建 立 与 求 解5.1 问 题 一 ： 基 于 FCFS规 则 的 评 价 指 标 体 系由 于 假 设 7月 13日 之 前 病 床 的 占 有 率 为 0， 通 过 统 计 每 天 的 门 诊 病 人 数 、 入 院 病人 数 以 及 出 院 病 人 数 （ 见 附 录 （ 1） ） 。 从 7月 13日 开 始 ， 病 人 入 院 数 缓 慢 增 加 ， 接 着增 加 越 来 越 快 ， 到 8月 7日 时 ， 病 床 已 全 部 被 占 用 ， 住 院 病 人 数 达 到 饱 和 ， 直 至 9月11 日 一 直 处 于 饱 和 状 态 。 从 7 月 13 日 到 8 月 7 日 入 院 人 数 和 出 院 人 数 的 大 致 变 化 状况 如 下 图 像 ：图 （ 1） 出 院 和 入 院 人 数 变 化 规 律 图 像由 图 像 和 附 录 （ 1） 可 知 ， 研 究 FCFS 法 则 下 病 床 安 排 是 否 合 理 只 需 考 虑 饱 和 状 态以 前 即 7月 13日 到 8月 7日 这 段 时 间 内 的 病 床 安 排 状 况 。5.1.1 建 立 病 人 满 意 度 评 价 指 标 体 系（ 1） 病 人 对 病 床 安 排 模 型 的 满 意 度 与 两 个 指 标 有 关 ,这 两 个 指 标 分 别 为 ： 病 人 的 时 间利 用 率 、 病 床 的 闲 置 率 。6以 下 是 两 个 指 标 的 分 析 和 确 立 ：a、 病 人 的 时 间 利 用 率病 人 的 时 间 利 用 率 与 病 人 等 待 入 院 的 时 间 有 关 ， 等 待 时 间 越 短 ， 病 人 病 情 的 延误 时 间 就 越 短 ， 病 人 的 时 间 利 用 率 就 越 高 。 等 待 入 院 的 时 间 是 病 人 从 看 门 诊 到 入 院这 一 过 程 需 要 的 时 间 。 对 于 每 一 类 病 人 其 平 均 时 间 利 用 率 为 ： 病 人 在 医 院 被 服 务 的平 均 时 间 与 病 人 从 门 诊 到 出 院 的 平 均 时 间 的 比 值 ， 即 ： （ 1）又 因 为 ： t w st t t （ 2）所 以 ： sX w stt t （ 3）假 设 这 四 类 病 人 与 病 人 整 体 的 时 间 利 用 率 的 关 联 程 度 相 当 ， 则 对 它 们 进 行 等 权 值 加权 求 和 可 得 整 体 病 人 的 时 间 利 用 率 ： 14 D XX A （ 4）b、 病 床 的 闲 置 率某 一 天 内 的 病 床 使 用 率 即 为 当 天 病 床 的 使 用 数 占 总 病 床 数 的 比 例 ， 那 么 该 天 病 床 的闲 置 率 即 为 ： 1 1 ii i mM （ 5）从 7月 13日 到 8月 7日 的 平 均 病 床 闲 置 率 为 ：351135 ii （ 6）事 实 上 ， 在 一 定 程 度 下 病 床 的 闲 置 率 适 当 高 一 些 ， 病 人 等 待 入 院 的 时 间 短 些 ， 同 时可 以 给 病 人 提 供 相 对 安 静 的 治 疗 环 境 ， 会 提 高 病 人 的 满 意 度 。（ 2） 建 立 满 意 度 评 价 指 标 体 系假 设 病 人 的 时 间 利 用 率 和 病 床 的 闲 置 率 对 病 人 满 意 度 q的 权 重 分 别 为 1r 和 2r ，那 么 病 人 对 病 床 安 排 模 型 的 满 意 度 可 以 表 示 为 ：1 2q r r （ 7）规 定 ： 当 (0,0.4)q 时 ， 病 人 对 该 规 则 模 型 很 不 满 意 ；当 0.4,0.6)q 时 ， 病 人 对 该 规 则 模 型 不 满 意 ；当 0.6,0.8)q 时 ， 病 人 对 该 规 则 模 型 较 满 意 ；sX ttt 7当 0.8,1)q 时 ， 病 人 对 该 规 则 模 型 很 满 意 ；5.1.2 评 价 FCFS病 床 安 排 模 型 的 优 劣（ 1） 由 于 每 类 病 人 等 待 住 院 的 时 间 不 同 ， 所 以 每 类 病 人 对 病 床 安 排 模 型 的 满 意 度 不 一 样 ，通 过 对 附 录 中 数 据 的 处 理 可 得 ：白 内 障 （ 单 眼 ） 病 人 的 时 间 利 用 率 0.282A ；白 内 障 （ 双 眼 ） 病 人 的 时 间 利 用 率 0.412B ；视 网 膜 病 人 的 时 间 利 用 率 0.494C ；青 光 眼 病 人 的 时 间 利 用 率 0.425D ；由 此 可 计 算 全 体 病 人 的 时 间 利 用 率 ： 0.403 ；（ 2） 通 过 附 录 （ 1） 的 数 据 ， 可 统 计 每 一 天 的 病 床 被 占 有 的 数 量 ， 由 此 可 求 出 病 床 的 使用 率 ， 根 据 公 式 （ 5） 、 （ 6） 可 得 平 均 病 床 闲 置 率 ： 0.604 ；（ 3） 若 两 个 指 标 的 权 重 设 置 为 0.7和 0.3， 由 公 式 （ 7） 可 求 得 病 人 对 该 病 床 安 排 模 型的 满 意 度 ： 0.463q ， 根 据 满 意 度 评 价 区 间 可 知 ， 病 人 对 该 规 则 模 型 不 满 意 ， 从 两 个分 指 标 来 看 ， 病 人 平 均 时 间 利 用 率 太 低 ， 这 主 要 是 因 为 病 人 等 待 住 院 时 间 过 长 ；又 由 图 （ 1） 可 知 ,在 该 段 时 间 中 ， 入 院 病 人 整 体 呈 增 加 趋 势 ， 而 且 每 天 的 入 院 人 数总 多 于 出 院 病 人 数 ， 造 成 了 病 床 占 有 率 激 增 的 局 面 ， 以 至 于 后 来 病 床 占 有 量 一 直 处 于 饱和 状 态 ， 控 制 了 以 后 每 天 的 住 院 人 数 。 由 于 需 要 住 院 的 病 人 数 具 有 随 机 性 ， 因 而 无 法 应对 某 天 需 要 住 院 人 数 特 别 多 的 情 形 。5.2 问 题 二 ： 基 于 最 短 优 先 原 则 (shortest job first， 简 称 SJF)的 病 床 安 排 模 型5.2.1 最 短 优 先 原 则最 短 优 先 原 则 即 医 院 在 安 排 病 人 的 住 院 时 ， 优 先 考 虑 住 院 时 间 最 短 的 病 人 ； 由 于 该类 病 人 占 用 病 床 的 时 间 较 短 ， 这 样 安 排 能 够 提 高 病 床 的 周 转 次 数 ； 同 时 缩 短 等 待 时 间 。5.2.2 各 类 病 人 平 均 服 务 时 间 的 计 算根 据 题 目 已 知 的 数 据 ， 我 们 统 计 了 每 个 病 人 的 住 院 时 间 ， 通 过 分 类 计 算 ， 得 到 各 类病 人 平 均 住 院 时 间 和 人 数 比 例 如 下 表 格 ：表 1. 各 类 病 人 平 均 住 院 时 间 和 人 数 比 例疾 病 分 类 占 总 病 人 数 比 例 平 均 住 院 时 间白 内 障 （ 单 眼 ） 0.18 5（ 天 ）白 内 障 （ 双 眼 ） 0.26 9（ 天 ）青 光 眼 0.13 11（ 天 ）视 网 膜 0.34 13（ 天 ）（ 注 ： 有 9%的 病 人 为 外 伤 患 者 ， 由 于 本 模 型 不 考 虑 外 伤 患 者 ， 所 以 我 们 只 研 究 以 上 四 类 病 人 ）根 据 病 人 平 均 住 院 时 间 我 们 预 测 出 了 在 9月 11日 之 后 出 院 病 人 的 具 体 出 院 日 期 （ 详8见 附 录 ） 。5.2.3 模 型 规 则 的 确 定表 2.8/1 9/1期 间 每 周 每 天 做 手 术 的 各 类 病 人 的 平 均 人 数 以 及 每 天 总 的 手 术 人 数病 人 类 别时 间 白 内 障 白 内 障 2 青 光 眼 视 网 膜 疾 病 总人 数星 期 一 9.2 15.4 0 0 24.6星 期 二 0 0 3.5 5.8 9.3星 期 三 1.75 0 0 0 1.75星 期 四 0 0 1 1.8 2.8星 期 五 0 0 0.8 3 3.8星 期 六 0 0 1 2.6 3.6星 期 日 0 0 1 3.4 4.4白 内 障 手 术 的 安 排 时 间 为 周 一 、 周 三 是 考 虑 到 手 术 准 备 时 间 和 累 积 住 院 的 白 内 障 病人 数 两 方 面 因 素 。 但 是 由 统 计 表 2可 知 ， 白 内 障 手 术 时 间 大 致 集 中 在 星 期 一 和 星 期 三 两天 ， 而 白 内 障 患 者 人 数 在 总 体 就 诊 比 例 中 占 到 48%， 致 使 大 约 一 半 的 就 诊 病 人 在 手 术 时间 的 选 择 上 受 到 很 大 限 制 。 另 外 ， 由 于 手 术 时 间 的 集 中 致 使 出 院 病 人 也 相 对 集 中 ， 这 样一 来 就 诊 病 人 的 等 待 时 间 就 受 到 了 限 制 ， 从 而 降 低 了 病 人 时 间 的 利 用 率 。 这 就 从 很 大 程度 上 影 响 了 病 人 的 满 意 度 。考 虑 到 病 人 手 术 时 间 的 集 中 ， 可 以 将 周 一 、 周 三 的 白 内 障 手 术 病 人 数 分 散 到 周 五 ，即 一 、 三 、 五 做 白 内 障 手 术 。 如 果 要 做 双 眼 ， 安 排 到 周 一 做 的 ， 可 以 周 一 先 做 一 只 ， 周三 作 另 一 只 ； 安 排 到 周 三 作 的 ， 可 以 周 三 先 做 一 只 ， 周 五 作 另 外 一 只 ； 安 排 到 周 五 做 的 ，可 以 周 五 先 做 一 只 ， 周 一 做 另 外 一 只 。 把 周 五 做 其 他 病 患 的 手 术 根 据 实 际 情 况 分 散 到 二四 六 七 。 由 此 每 天 做 手 术 的 人 数 可 以 比 较 平 均 ， 从 而 影 响 出 院 人 数 ， 进 而 缓 解 床 位 在 某天 安 排 紧 张 的 现 象 。由 问 题 一 知 FCFS规 则 下 ， 床 位 未 达 到 动 态 平 衡 之 前 的 时 间 段 内 ， 入 院 病 人 整 体 呈增 加 趋 势 ， 而 且 每 天 的 入 院 人 数 总 多 于 出 院 病 人 数 ， 造 成 了 病 床 占 有 率 激 增 的 局 面 ， 以至 于 后 来 病 床 占 有 量 一 直 处 于 饱 和 状 态 ， 一 定 程 度 上 控 制 了 以 后 每 天 的 住 院 人 数 。 为 了对 病 床 进 行 合 理 的 安 排 ， 我 们 引 入 了 最 短 优 先 （ SJF） 原 则 。5.2.4 基 于 马 尔 科 夫 性 生 灭 过 程 的 模 型 建 立（ 1） 模 型 的 基 本 假 设 如 下 ：a、 由 于 白 内 障 双 眼 第 二 次 手 术 属 于 直 接 住 院 的 情 况 ， 与 急 症 病 人 类 似 ， 因 此 将 准 予住 院 治 疗 的 病 人 分 为 急 诊 病 人 和 一 般 病 人 两 大 类 ， 急 诊 病 人 包 括 白 内 障 双 眼 第 二 次 手术 ； 一 般 病 人 包 括 白 内 障 （ 包 括 白 内 障 双 眼 第 一 次 手 术 ） 、 青 光 眼 、 视 网 膜 疾 病 。 其 到达 人 数 分 别 服 从 参 数 为 2b b q s 、 、 、 的 Poisson分 布 ；b、 各 类 病 人 的 服 务 时 间 分 别 服 从 参 数 为 2b b q s 、 、 、 的 指 数 分 布 ；c、 预 先 给 定 一 个 病 床 占 用 限 制 数 B（ B小 于 医 院 拥 有 的 最 大 病 床 数 S） 。 当 实 际 占用 的 病 床 数 C B 时 ， 无 论 何 种 类 型 的 病 人 均 可 立 即 住 院 ； 当 B C S 时 ， 刚 急 诊 病9人 被 允 许 住 院 ， 而 一 般 病 人 则 登 记 排 队 等 待 住 院 ； 当 C S 时 ， 急 诊 病 人 立 即 转 院 (被拒 收 )， 而 一 般 病 人 则 登 记 排 队 等 待 住 院 。 病 人 源 一 般 认 为 是 无 限 源 ；规 定 ： 2b b q sP P P P、 、 、 分 别 为 白 内 障 双 眼 第 二 次 手 术 、 白 内 障 （ 包 括 白 内 障 双 眼 第 一次 手 术 ） 、 青 光 眼 、 视 网 膜 疾 病 白 内 障 双 眼 第 一 次 手 术 类 型 的 病 人 占 准 予 住 院 的 全 体 病人 的 比 例 ； 则 22 2 bb b b q sP 2 22 ; ; ;qb b sb b q sb b q s 其 中 ， 2b b q s ； nC 为 n个 病 床 被 占 用 的 稳 态 概 率 ； ( , )J n p 为 n个 病 床 被 占 用 而 q个 病 人 在 排 队 等 待 的 联 合 稳 态 概 率 ， 则0 ( , ) , 1, ,n qC J n q n B B s （ 2） 模 型 建 立在 此 我 们 仅 对 白 内 障 单 眼 病 人 进 行 研 究 ， 其 余 各 类 可 类 似 得 到 。由 以 上 假 设 得 出 ， 眼 科 医 院 的 排 队 系 统 是 一 个 具 有 马 尔 科 夫 性 的 生 灭 过 程 ， 其 状 态转 移 速 度 图 如 下 图 示 ： 1 2 32 3q qK K K K K 101 ( )2 (2 )( 1) ( 2) ( 1) ( 1) i i i i i i i iiK B BB B B 2 1 2 2 1 222 1 1( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )i b b bi i b b bi i b bi i i bB B BK s BB s s 其 中 ， 1b q s b 根 据 0CK ， 可 得 状 态 概 率 方 程 组 ， 由 此 在 速 度 状 态 转 移 矩 阵 的 基 础 上 可 算 出 ：白 内 障 单 眼 病 人 到 达 时 必 须 等 待 的 概 率 s nn BC ；白 内 障 单 眼 病 人 病 床 被 占 用 的 天 数 比 率 sF C ；（ 3） 由 上 述 模 型 我 们 可 以 得 出 以 下 结 果 ： 所 有 病 床 被 占 用 的 天 数 比 率 ； 各 类 病 人 在 门 诊 中 所 占 的 比 率 ； 一 般 病 人 到 达 时 所 需 等 待 的 概 率 ， 在 此 我 们 将 该 因 素 转 化 为 病 人 的 时 间 利 用 率 ；以 上 各 因 素 对 病 床 安 排 的 影 响 程 度 不 同 ， 因 此 可 根 据 实 际 情 况 赋 予 其 不 同 的 权 值 。 另 外 ，由 数 据 统 计 可 计 算 得 出 各 类 病 人 的 平 均 住 院 时 间 ， 可 根 据 平 均 逗 留 时 间 确 定 各 类 病 人 的优 先 权 。在 5.23中 我 们 根 据 统 计 情 况 确 定 了 新 的 模 型 规 则 ， 因 此 将 该 规 则 与 以 上 各 因 素 及 各 类病 人 的 优 先 权 结 合 从 而 确 定 床 位 的 安 排 ， 并 且 可 以 根 据 已 知 的 第 二 天 拟 出 院 人 数 来 确 定第 二 天 应 该 安 排 哪 些 病 人 住 院 。 （ 具 体 预 测 结 果 详 见 附 录 （ 3） ）5.2.5 对 SJF 的 病 床 安 排 模 型 的 评 价11运 用 问 题 一 建 立 的 基 于 满 意 度 的 评 价 指 标 体 系 对 以 上 模 型 进 行 评 价 。该 体 系 包 含 两 个 指 标 ： 1、 每 类 病 人 的 时 间 利 用 率 sX w stt t ；由 上 述 模 型 中 各 类 病 人 住 院 时 间 的 分 布 参 数 可 得 1s it 由 各 类 病 人 病 床 被 占 用 的 天 数 比 率 sF C 可 得 wt .2、 病 床 的 闲 置 率 1 1 ii i mM 。病 人 对 病 床 安 排 模 型 的 满 意 度 为 ： 1 2q r r 在 该 模 型 中 ， 影 响 病 床 安 排 的 因 素 为 ： 所 有 病 床 被 占 用 的 天 数 比 率 （ 可 将 其 转 化 为 病 床 的 闲 置 率 ） ； 各 类 病 人 在 门 诊 中 所 占 的 比 率 ； 一 般 病 人 到 达 时 所 需 等 待 的 概 率 ， 在 此 我 们 将 该 因 素 转 化 为 病 人 的 时 间 利 用 率 ；则 以 上 因 素 与 评 价 指 标 体 系 在 很 大 程 度 上 具 有 一 定 的 关 联 性 。由 数 据 统 计 分 析 利 用 参 数 估 计 的 方 法 可 得 以 上 各 分 布 参 数 的 值 ， 从 而 得 到 各 类 病 人 的 时间 利 用 率 ：白 内 障 （ 单 眼 ） 病 人 的 时 间 利 用 率 0.3684a ；白 内 障 （ 双 眼 ） 病 人 的 时 间 利 用 率 0.45b ；视 网 膜 病 人 的 时 间 利 用 率 0.5238c ；青 光 眼 病 人 的 时 间 利 用 率 0.5652d ；则 所 有 病 人 的 平 均 时 间 利 用 率 为 : 0.403 .统 计 补 充 表 中 的 数 据 ， 可 以 得 到 病 床 的 闲 置 率 0.528 ， 对 时 间 利 用 率 和 闲 置 率赋 予 同 问 题 一 中 相 同 的 权 值 0.7和 0.3， 可 以 得 到 病 人 对 该 病 床 的 满 意 度 0.6363q ；根 据 综 合 评 价 区 间 可 知 ， 病 人 对 该 规 则 模 型 满 意 。5.3 问 题 三 ： 对 病 人 入 院 时 间 的 预 测5.3.1 统 计 各 类 病 人 在 系 统 中 的 各 项 时 间 如 下 表 三 ：表 三 . 各 类 病 人 在 系 统 中 的 各 项 时 间各 类 病 人各 项 时 间 白 内 障（ 单 ） 白 内 障（ 双 ） 视 网 膜 疾 病 青 光 眼 外 伤入 院 平 均 等 待 时 间 13（ 天 ） 13（ 天 ） 13（ 天 ） 12（ 天 ） 1（ 天 ）12手 术 前 平 均 等 待 时 间 2（ 天 ） 4（ 天 ） 2（ 天 ） 2（ 天 ） 1（ 天 ）平 均 逗 留 时 间 17（ 天 ） 21（ 天 ） 25（ 天 ） 23（ 天 ） 8（ 天 ）5.3.2 补 充 每 类 病 人 的 不 完 整 日 期以 青 光 眼 病 人 为 例 ， 这 类 病 人 的 入 院 平 均 等 待 时 间 、 手 术 前 平 均 等 待 时 间 以 及 平 均逗 留 时 间 分 别 为 ： 12天 、 2天 、 23天 ， 8月 23日 来 门 诊 的 患 者 ， 预 测 他 的 出 院 时 间 即在 9月 15号 。补 充 青 光 眼 这 类 病 人 数 据 记 录 中 不 完 整 的 部 分 见 附 录 （ 2） ；类 似 的 ， 补 充 其 他 类 患 者 记 录 中 的 数 据 ， 最 后 在 Excel中 处 理 ， 得 到 补 充 后 的 病 人 入 院时 间 、 手 术 时 间 及 出 院 时 间 ， 详 见 附 录 （ 3） ， 据 此 ， 可 适 时 通 知 患 者 入 院 时 间 。5.3.3 修 改 不 合 理 预 测 时 间由 于 我 们 按 照 平 均 时 间 预 测 病 人 未 知 的 出 院 或 住 院 时 间 ， 但 是 由 于 FCFS规 则 模 型从 8月 7号 开 始 病 床 就 已 被 占 满 ， 所 以 我 们 预 测 的 数 据 可 能 会 出 现 这 样 的 情 况 ， 某 一 天的 入 院 人 数 多 余 出 院 人 数 ， 这 是 不 符 合 事 实 的 ， 所 以 ， 先 统 计 已 补 充 后 数 据 中 入 院 人 数和 出 院 人 数 见 附 录 （ 4） ； 截 取 其 中 不 合 理 的 一 段 数 据 如 下 表 ：表 四 初 次 预 测 中 不 合 理 的 数 据诊 断 日 期 出 院 人 数 入 院 人 数2008-9-3 7 52008-9-4 10 92008-9-5 16 132008-9-6 18 182008-9-7 11 102008-9-8 7 42008-9-9 12 102008-9-10 15 152008-9-11 9 8此 段 数 据 为 初 次 预 测 中 不 合 理 的 数 据 ， 由 上 述 表 格 可 知 ， 入 院 人 数 已 多 于 出 院 人 数 ，病 人 数 已 呈 溢 出 状 态 ， 但 是 差 值 并 不 太 大 （ 可 以 通 过 手 工 调 整 改 变 这 一 状 态 ） ， 说 明 预测 系 统 有 一 定 的 误 差 ， 从 而 导 致 了 不 符 合 事 实 现 象 的 出 现 。 对 此 ， 我 们 可 以 安 排 溢 出 的病 人 晚 一 天 住 院 ， 以 此 避 免 这 种 不 合 理 的 现 象 。 通 过 手 工 调 整 ， 上 述 表 格 就 变 为 入 院 数和 出 院 人 数 相 等 ， 系 统 达 到 稳 定 状 态 。 修 改 附 录 （ 3） 中 不 合 理 的 入 院 安 排 时 间 后 ， 得到 符 合 事 实 的 入 院 安 排 时 间 。因 此 可 以 根 据 当 时 住 院 病 人 数 及 等 待 病 人 数 的 统 计 情 况 ， 使 得 病 人 在 门 诊 时 就 能 够得 知 他 的 大 致 住 院 时 间 区 间 ， 这 个 区 间 的 下 限 也 就 是 最 早 入 院 时 间 即 为 修 改 后 数 据 中 的入 院 时 间 安 排 ， 因 为 每 天 病 床 占 有 数 处 于 饱 和 状 态 ， 不 可 能 有 比 这 更 早 的 的 住 院 时 间 （ 急症 患 者 除 外 ） ， 这 个 区 间 的 上 限 即 最 晚 入 院 时 间 为 病 人 门 诊 时 间 加 上 病 人 最 大 等 待 住 院时 间 。135.4 问 题 四 ：