高等数学竞赛（国家）主要知识点归纳

第一章 一元函数微积分 （ ZYH）高等数学赵彦晖主要知识点归纳 第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 1.06】 洛必达法则 （求极限的首选方法）方法：第一章 一元函数微积分 （ ZYH）等价替换：不定型转化：第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 1.13】 求导方法(1) 隐函数求导法： 一阶用公式(2) 对数求导法： 两边取对数，再用隐函数求导法（ 导数 = 微商 ，不记公式 ）（隐函数求导法 , 对数求导法 ,微商求导法）(3) 由参数方程所确定函数的二阶导数求导法：二阶用复合函数求导法第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 1.15】 变上限积分求导 【 1.18】 分部积分法, , 【 1.19】 换元积分法（搞清楚积分部分与微分部分） （用容易积分的一边算另一边） 注： 在上述公式中去掉定积分限即为不定积分法改为广义积分限为广义积分法 (区间内无瑕点 )第一章 一元函数微积分 （ ZYH）(1) 求导 ：求 及其分界点（一阶导、二阶导为 0或不存在的点）【 1.21】 函数特性讨论（或 作图 ）(2) 列表 ：按分界点列表，求出一阶导、二阶导的符号，标出函数的变化特性（含渐近线）(3) 结论或绘图 ：指出极值、拐点、渐近线及单调、凹凸区间；或按列表绘图并标出特殊点（列表见举例）第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 1.24】 最值问题(1) 建立目标函数(2) 令 , 得唯一最值可疑点(3) 由实际问题本身知 的最大值一定存在，（用元素法或其它方法） （适合一元、多元问题）第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 1.25】 利用导数证明等式或不等式()（等式）（不等式）（不等式）（一般方法）第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 1.27】 利用中值定理证明等式或不等式 设 f (x)在 a, b 连续 ,在 (a, b )可导 , 则（函数与导数间的桥梁） 微分中值定理中值定理还有：泰勒定理、积分中值定理 介值定理、罗尔定理、柯西定理、应用 中值定理的条件：第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 2.05】 平面与直线的方程点法式（平面）：建立方程的关键：点向式（直线）：（对称式）构造向量的方法：（令比值 t 为即得参数式）第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 2.15】 复合函数求导法分项加 , 纵向乘 , 会写法 .如对【 2.18】 多元函数微分学的几何应用 曲线 曲面切向量：法向量：（切平面、法线、法平面、切线的方程由 【 2.05】 构造）第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 2.19】 无条件的极值问题可疑点 ：驻点 (偏导为 0), 偏导不存在的点 .对 求导 得极值的【 2.20】 有条件极值（最值）问题关于关于 F 的无 条件极值问题条件极值问题 . 如如使 条件极值问题化为条件极值问题化为令第一章 一元函数微积分 （ ZYH）(1) 对称性【 3.03】 第一类积分的计算性质第一章 一元函数微积分 （ ZYH）(2) 对等性(3) 替换性第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 3.04】 第一类积分的计算方法计算方法： 把方程直接代入 ,积分限由小到大 ,积分元素间差一正的倍数如： 重积分：曲线积分：曲面积分：主要是重积分定限第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 3.09】 格林公式 （第二类平面线积分计算的首选方法） 设 L是有界闭区域 D的分段光滑的正向曲线 , 在 D上连续 , 则（格林公式） 设 是 有界闭域 的分片光滑的外侧边界 , 函数 P, Q, R 在 上 有一阶连续偏导 , 则（高斯公式） 【 3.10】 高斯公式与散度其中 （散度） 第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 3.11】 第二类积分的计算方法计算方法： 把方程直接代入，积分限由起点到终点，积分元素间只有符号变化 !主要是曲线积分【 3.14】 曲线积分与路径无关的等价定理设 及其一阶偏导在 单连通 区域 D 内连续 ,则在 D内 , 曲线积分与路径无关（这时 称为保守场 ）的 充要条件 是第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 4.02】 正项级数审敛法比值法根值法法则 如果 1, 则级数发散法则略小留大找对象比较法法则 大的收敛 =小的收敛小的发散 =大的发散第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 4.05】 基本展开式1）2） 3）4）5）第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 4.06】标准幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求解步骤2） 研究 时级数的敛散性，从而求得收敛域 I内，利用逐项求导、逐项积分以及分项3） 在组合等方法将原级数化成基本展开式中已有级数之形式， 并用基本展开式中的相应和函数代换之（带上相应的收敛区间或收敛域） ,然后再通过逆运算给出原级数的和函数；4） 根据幂级数在收敛区间端点处的敛散性将等式的成立范围扩充到收敛域上。, 其中1） 设 的收敛半径为 R,收敛域为 I ,和函数为 ,则第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 4.07】 非标准幂级数收敛半径 ,收敛域 ,和函数的求解步骤等可分别通过变量替换将其 化成标准幂级数 并用上法处理，求出关于 t 的幂级数的收敛半径、收敛域及和函数，然后转化为原幂级数的收敛半径、收敛域及和函数。对于幂级数第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 4.09】 把函数展开成幂级数的间接展开法 1） 利用求导、积分及分解等法将 f(x)化成基本展开式中已有的函数形式。直接应用已知展开将其展成欲展幂级数（ 带上收敛区间或收敛域 ），然后通过逆运算（如逐项积分、逐项求导以及合并等）求出 f(x)的幂级数展开式（带上相应区间）；2） 若由上述求得的 f(x)的幂级数展开区间与该级数的收敛域不一致，则可根据幂级数在收敛区间端点的收敛性与原函数 f(x)的连续性 扩充展开区间 。（只能用）第一章 一元函数微积分 （ ZYH）【 4.13】 一阶微分方程求解1) 可分离变量方程 3) 一阶线性方程变量分离记公式 通解第一章 一元函数微积分 （ ZYH）特征根形式 通解中的对应项【 4.18】 常系数齐次线性方程的求解步骤的特征方程(1) 写出齐次方程(2) 齐次方程的