2018年中考数学试卷精选汇编点直线与圆的位置关系

点 直线与圆的位置关系 一、选择题 1（ 2018 湖北省武汉 3 分）如图，在 O 中，点 C 在优弧 上，将弧 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D若 O的半径为 ， AB=4，则 BC 的长是（ ） A B C D 【分析】连接 OD、 AC、 DC、 OB、 OC，作 CE AB 于 E， OF CE 于 F，如图，利用垂径定理得到 OD AB，则AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出 OD=1，再利用折叠的性质可判断弧 AC和弧 CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到 = ，所以 AC=DC，利用等腰三角形的性 质得 AE=DE=1，接着证明四边形 ODEF 为正方形得到 OF=EF=1，然后计算出 CF 后得到 CE=BE=3，于是得到 BC=3 【解答】解：连接 OD、 AC、 DC、 OB、 OC，作 CE AB于 E， OF CE于 F，如图， D 为 AB的中点， OD AB， AD=BD= AB=2， 在 Rt OBD中， OD= =1， 将弧 沿 BC 折叠后刚好经过 AB的中点 D 弧 AC 和弧 CD所在的圆为等圆， = ， AC=DC， AE=DE=1， 易得四边形 ODEF为正方形， OF=EF=1， 在 Rt OCF中， CF= =2， CE=CF+EF=2+1=3， 而 BE=BD+DE=2+1=3， BC=3 故选： B 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和垂径定理 2 （ 2018山东泰安 3分）如图， BM与 O 相切于点 B，若 MBA=140 ，则 ACB 的度数为（ ） A 40 B 50 C 60 D 70 【分析】连接 OA、 OB，由切线的性质知 OBM=90 ，从而得 ABO=BA O=50 ，由内角和定理知 AOB=80 ，根据圆周角定理可得答案 【解答】解：如图，连接 OA、 OB， BM 是 O 的切线， OBM=90 ， MBA=140 ， ABO=50 ， OA=OB ， ABO=BAO=50 ， AOB=80 ， ACB= AOB=40 ， 故选： A 【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 3.（ 2018山东 泰安 3分）如图， M 的半径为 2，圆心 M的坐标为（ 3， 4），点 P是 M 上的任意一点，PAPB ，且 PA、 PB与 x轴分别交于 A、 B两点，若点 A、点 B关于原点 O对称，则 AB的最小值为（ ） A 3 B 4 C 6 D 8 【分析】由 RtAPB 中 AB=2OP 知要使 AB 取得最小值，则 PO需取得最小值，连接 OM，交 M 于点 P ，当点 P 位于 P 位置时， OP 取得最小值，据此求解可得 【解答】解： PAPB ， APB=90 ， AO=BO ， AB=2PO ， 若要使 AB取得最小值，则 PO需取得最小值， 连接 OM，交 M 于点 P ，当点 P位于 P 位置时， OP 取得最小值， 过点 M作 MQx 轴于点 Q， 则 OQ=3、 MQ=4， OM=5 ， 又 MP=2 ， OP=3 ， AB=2OP=6 ， 故选： C 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 AB取得最小值时点 P的位置 4 （ 2018 四川 宜宾 3分）在 ABC中，若 O为 BC边的中点，则必有： AB2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG中，已知 DE=4， EF=3，点 P在以 DE为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2的最小值为（ ） A B C 34 D 10 【考点】 M8：点与圆的位置关系； LB：矩形的性质 【分析】设点 M为 DE的中点，点 N为 FG 的中点，连接 MN，则 MN、 PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出 NP 的最小值，再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论 【解答】解：设点 M为 DE的中点，点 N为 FG的中点，连接 MN交半圆于点 P，此时 PN 取最小值 DE=4，四边形 DEFG为矩形， GF=DE， MN=EF， MP=FN= DE=2， NP=MN MP=EF MP=1， PF2+PG2=2PN2+2FN2=2 12+2 22=10 故选： D 【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出 PN的最小值是解题的关键 5（ 2018台湾 分）如图， I 点为 ABC的内心， D点在 BC 上，且 ID BC，若 B=44 ， C=56 ，则 AID 的度数为何？（ ） A 174 B 176 C 178 D 180 【分析】连接 CI，利用三角形内角和定理可求出 BAC 的度数 ，由 I 点为 ABC 的内心，可得出 CAI、 ACI、 DCI 的度数，利用三角形内角和定理可得出 AIC、 CID 的度数，再由 AID= AIC+ CID 即可求出 AID的度数 【解答】解：连接 CI，如图所示 在 ABC中， B=44 ， ACB=56 ， BAC=180 B ACB=80 I 点为 ABC的内心， CAI= BAC=40 ， ACI= DCI= ACB=28 ， AIC=180 CAI ACI=112 ， 又 ID BC， CID=90 DCI=62 ， AID= AIC+ CID=112 +62=174 故选： A 【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出 AIC、 CID的度数是解题的关键 6（ 2018 浙江 舟山 3 分） 用反证法证明时，假设结论 “ 点在圆外 ” 不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ） A. 点 在 圆 内 B. 点在圆上 C. 点 在 圆 心上 D. 点在圆上或圆内 【考点】点与圆的位置关系，反证法 【分析】运用反证法证明，第一步就要假设结论不成立，即结论的反面，要考虑到反面所有的情况。 【解析】【解答】解：点与圆的位置关系只有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外， 如果点不在圆外，那么点就有可能在圆上或圆内 故答案为 D 【点评】本题考查了 反证法的掌握情况 . 运用反证法证明要考虑到反面所有的情况。 7 (2018 四川省眉山市 2 分 ) 如图所示， AB 是 O 的直径， PA 切 O 于点 A，线段 PO 交 O 于 点 C，连结 BC，若 P=36 ，则 B等于（ ）。 A.27 B.32 C.36 D.54 【答案】 A 【考点】切线的性质 【解析】【解答】解： PA 切 O于点 A， PAO=90 ， 又 P=36 ， POA=54 ， OB=OC， B= OCB， POA= B+ OCB=2 B=54 ， B=27. 故答 案为 :A. 【分析】根据切线的性质得 PAO=90 ，再由三角形内角和定理得 POA=54 ，根据等腰三角形性质等边对等角得 B= OCB，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和建立等式，从而得出答案 . 8（ 2018年四川省内江市）已知 O1的半径为 3cm， O2的半径为 2cm，圆心距 O1O2=4cm，则 O1与 O2的位置关系是（ ） A外高 B外切 C相交 D内切 【考点】 MJ：圆与圆的位置关系 【分析】由 O1的半径为 3cm， O2的半径为 2cm，圆心距 O1O2为 4cm，根据两圆 位置关系与圆心距 d，两圆半径 R， r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系 【解答】解： O1的半径为 3cm， O2的半径为 2cm，圆心距 O1O2为 4cm， 又 2+3=5， 3 2=1， 1 4 5， O1与 O2的位置关系是相交 故选： C 【点评】此题考查了圆与圆的位置关系注意掌握两圆位置关系与圆心距 d，两圆半径 R， r 的数量关系间的联系是解此题的关键 9（ 2018四川省泸州市 3分）在平面直角坐标系内，以原点 O为原心， 1为半径作圆，点 P 在直线 y=上运动，过点 P作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA的最小值为（ ） A 3 B 2 C D 【分析】如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OH CD于 H，先利用一次解析式得到 D（ 0， 2 ）， C（ 2， 0），再利用勾股定理可计算出 CD=4，则利用面积法可计算出 OH= ，连接 OA，如图，利用切线的性质得 OA PA，则 PA= ，然后利用垂线段最短求 PA的最小值 【解答】解：如图，直线 y= x+2 与 x轴交于点 C，与 y轴交于点 D，作 OH CD于 H， 当 x=0时， y= x+2 =2 ，则 D（ 0， 2 ）， 当 y=0时， x+2 =0， 解得 x= 2，则 C（ 2， 0）， CD= =4， OHCD= OCOD， OH= = ， 连接 OA，如图， PA为 O的切线， OA PA， PA= = ， 当 OP的值最小时， PA 的值最小， 而 OP的最小值为 OH的长， PA的最小值为 = 故选： D 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了一次函数的性质 10（ 2018台湾 分）如图，两圆外切于 P点，且通过 P点的公切线为 L，过 P点作两 直线，两直线与两圆的交点为 A、 B、 C、 D，其位置如图所示，若 AP=10， CP=9，则下列角度关系何者正确？（ ） A PBD PAC B PBD PAC C PBD PDB D PBD PDB 【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断； 【解答】解：如图， 直线 l 是公切线 1= B， 2= A， 1= 2， A= B， AC BD， C= D， PA=10， PC=9， PA PC， C A， D B 故选： D 【点评】本题考查圆与圆的 位置关系，直线与圆的位置关系，相切两个圆的性质等知识，解题的关键是证明 AC BD 二 .填空题 1（ 2018年四川省内江市）已知 ABC的三边 a， b， c，满足 a+b2+|c 6|+28=4 +10b，则 ABC的外接圆半径 = 【考点】 MA：三角形的外接圆与外心； 16：非负数的性质：绝对值； 1F：非负数的性质：偶次方； 23：非负数的性质：算术平方根； KQ：勾股定理 【分析】根据题目中的式子可以求得 a、 b、 c的值，从而可以求得 ABC的外接圆半径的长 【解答】解： a+b2+|c 6|+28=4 +10b， （ a 1 4 +4） +（ b2 10b+25） +|c 6|=0， （ 2） 2+（ b 5） 2+|c 6|=0， ， b 5=0， c 6=0， 解得， a=5， b=5， c=6， AC=BC=5， AB=6， 作 CD AB于点 D， 则 AD=3， CD=4， 设 ABC的外接圆的半径为 r， 则 OC=r， OD=4 r， OA=r， 32+（ 4 r） 2=r2， 解得， r= ， 故答案为： 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意 ，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答 2（ 2018年四川省内江市）如图，以 AB为直径的 O的圆心 O到直线 l的距离 OE=3， O的半径 r=2，直线 AB不垂直于直线 l，过点 A， B分别作直线 l的垂线，垂足分别为点 D， C，则四边形 ABCD的面积的最大值为 12 【考点】 LL：梯形中位线定理 【分析】先判断 OE 为直角梯形 ADCB的中位线，则 OE= （ AD+BC），所以 S 四边形 ABCD=OECD=3CD，只有当 CD=AB=4时， CD 最大，从而得到 S 四边形 ABCD最大值 【解答】解： OE l， AD l， BC l， 而 OA=OB， OE为直角梯形 ADCB的中位线， OE= （ AD+BC）， S 四边形 ABCD= （ AD+BC） CD=OECD=3CD， 当 CD=AB=4时， CD最大， S 四边形 ABCD最大，最大值为 12 【点评】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 3.（ 2018 浙江 舟山 4 分）（ 2018 浙江 舟山 4 分） 如图，量角器的 0 度刻度线为 AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A， D，量得 AD=10cm，点 D在量角器上的读数为 60 ，则该直尺的宽度为 _ cm。 【考点】垂径定理，切线的性质 【分析】因为直尺另一边 EF与圆 O相切于点 C，连接 OC，可知求直尺的宽度就是求 CG=OC-OG，而 OC=OA；OG 和 OA 都在 Rt AOG 中，即根据解直角三角形的思路去做：由垂定理可知 AG=DG= AD=5cm， AOG= AOD=60 ，从而可求答案。 【解答】解：如图，连结 OD， OC， OC 与 AD 交于点 G,设直尺另一边为 EF， 因为点 D 在量角器上的读数为 60 ， 所以 AOD=120 ， 因为直尺一边 EF 与量角器相切于点 C， 所以 OC EF， 因为 EF/AD， 所以 OC AD， 由垂径定理得 AG=DG= AD=5 cm， AOG= AOD=60 ， 在 Rt AOG中， AG=5 cm， AOG=60 ， 则 OG= cm,OC=OA= cm 则 CG=OC-OG= cm. 【点评】本题的关键是利用 垂径定理和切线的性质 . 4（ 2018湖北黄 石 3 分）在 Rt ABC中， C=90 ， CA=8， CB=6，则 ABC内切圆的周长为 4 【分析】先利用勾股定理计算出 AB 的长，再 利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出 ABC 的内切圆的半径，然后利用圆的面积公式求解 【解答】解： C=90 ， CA=8， CB=6， AB= =10， ABC的内切圆的半径 = =2， ABC内切圆的周长 = 22=4 故答案为 4 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角记住直角三角形内切圆半径的计算方法 5.（ 2018 山东临沂 3 分 ）如图在 ABC 中， A=60 ， BC=5cm能够将 ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得 ABC外接圆的直径，本题得以解决 【解答】解：设圆的圆心为点 O，能够将 ABC完全覆盖的最小圆是 ABC的外接圆， 在 ABC中， A=60 ， BC=5cm， BOC=120 ， 作 OD BC于点 D，则 ODB=90 ， BOD=60 ， BD= ， OBD=30 ， OB= ，得 OB= ， 2OB= ， 即 ABC外接圆的直径是 cm， 故答案为： 【点评】本题考查三角 形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答 6（ 2018山东泰安 3分）如图， O 是 ABC 的外接圆， A=45 ， BC=4，则 O 的直径为 4 【分析】连接 OB， OC，依据 BOC 是等腰直角三角形，即可得到 BO=CO=BCcos45=2 ，进而得出 O 的直径为 4 【解答】解：如图，连接 OB， OC， A=45 ， BOC=90 ， BOC 是等腰直角三角形， 又 BC=4 ， BO=CO=BCcos45=2 ， O 的直 径为 4 ， 故答案为： 4 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 7.（ 2018 山东威海 3 分 ）如图，在扇形 CAB 中， CD AB，垂足为 D， E 是 ACD 的内切圆，连接 AE，BE，则 AEB的度数为 135 【分析】如图，连接 EC首先证明 AEC=135 ，再证明 EAC EAB即可解决问题； 【解答】解：如图，连接 EC E 是 ADC的内心， AEC=90 + ADC=135 ， 在 AEC和 AEB中， ， EAC EAB， AEB= AEC=135 ， 故答案为 135 【点评】本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型 8 （ 2018安徽 4分 ） 如图 ， 菱形 ABOC的 AB， AC分别与 O相切于点 D、 E， 若点 D是 AB的中点 ， 则 DOE_. 【答案】 60 【解析】【分析】由 AB， AC 分别与 O 相切于点 D、 E，可得 BDO= ADO= AEO=90 ，根据已知条 件可得到 BD=OB，在 Rt OBD中，求得 B=60 ，继而可得 A=120 ，再利用四边形的内角和即可求得 DOE的度数 . 【详解 】 AB， AC分别与 O相切于点 D、 E， BDO= ADO= AEO=90 ， 四边形 ABOC是菱形， AB=BO， A+ B=180 ， BD=AB， BD=OB， 在 Rt OBD中， ODB=90 ， BD=OB， cos B= ， B=60 ， A=120 ， DOE=360 -120 -90 -90=60 ， 故答案为： 60. 【点睛】本题考查了 切线的性质，菱形的性质，解直角三角形的应用等，熟练掌握相关的性质是解题的关键 . 9. （ 2018 年江苏省南京市 2 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB=5， BC=4，以 CD 为直径作 O将矩形 ABCD绕点 C 旋转，使所得矩形 ABCD 的边 AB 与 O 相切，切点为 E，边 CD 与 O 相交于点 F，则CF 的长为 4 【分析】连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OH BC ，由旋转性质知 B= BCD=90 、 AB=CD=5、BC=BC=4 ，从而得出四边形 OEBH 和四边形 EBCG 都是矩形且 OE=OH=OC=2.5，继而求得CG=BE=OH= = =2，根据垂径定理可得 CF的长 【解答】解：连接 OE，延长 EO交 CD于点 G，作 OH BC 于点 H， 则 OEB= OHB=90 ， 矩形 ABCD绕点 C旋转所得矩形为 ABCD ， B= BCD=90 ， AB=CD=5、 BC=BC=4 ， 四边形 OEBH 和四边形 EBCG 都是矩形， OE=OH=OC=2.5， BH=OE=2.5 ， CH=BC BH=1.5 ， CG=BE=OH= = =2， 四边形 EBCG 是矩形， OGC=90 ，即 OG CD ， CF=2CG=4， 故答案为： 4 【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点 10 （ 2018 年江苏省泰州市 3 分）如图， ABC 中， ACB=90 ， sinA= ， AC=12，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 90 得到 ABC， P 为线段 AB 上的动点，以点 P 为圆心， PA 长为半径作 P，当 P 与 ABC的边相切时， P的半径为 或 【分析】分两种情形分别求解：如图 1中，当 P与直线 AC相切于点 Q时，如图 2中，当 P与 AB相切于点 T 时， 【解答】解：如图 1中，当 P与直线 AC 相切于点 Q时，连接 PQ 设 PQ=PA=r ， PQ CA ， = ， = ， r= 如图 2中，当 P与 AB相切于点 T时，易证 A 、 B 、 T共线， ABT ABC， = ， = ， AT= ， r= AT= 综上所述， P的半径为 或 【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键 是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 11. （ 2018山 西 3 分）如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， ACB=900 ， AC=6， BC=8， 点 D 是 AB 的 中 点 ， 以 CD 为 直 径 作 O， O 分别 与 AC， BC 交于 点 E， F，过 点 F 作 O 的切 线 FG， 交 AB 于 点 G， 则 FG 的长 为 _. 【 答 案 】 125【 考 点 】 直 角 三 角 形 斜 中 线 ， 切 线 性 质 ， 平 行 线 分 线 段 成 比 例 ， 三 角 函 数 【 解 析 】 连 接 OF FG 为 0 的 切 线 OF FG Rt ABC 中 ， D 为 AB 中 点 CD=BD DCB= B OC=OF OCF= OFC CFO= B OF BD O 为 CD 中 点 F 为 BC 中 点 CF BF 12BC 4 Rt ABC 中 ， s i nB 35Rt BGF 中 ， FG BF sin B 4 125三 .解答题 (要求同上一 ) 1. （ 2018四川凉州 8 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O1的坐标为（ 4， 0），以点 O1为圆心， 8 为半径的圆与 x 轴交于 A， B 两点，过 A 作直线 l 与 x 轴负方向相交成 60 的角，且交 y 轴于 C 点，以点 O2（ 13， 5）为圆心的圆与 x轴相切于点 D （ 1）求直线 l的解析 式； （ 2）将 O 2以每秒 1个单位的速度沿 x轴向左平移，当 O 2第一次与 O 1外切时，求 O 2平移的时间 【分析】（ 1）求直线的解析式，可以先求出 A、 C两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式 （ 2）设 O 2平移 t 秒后到 O 3处与 O 1第一次外切于点 P， O 3与 x轴相切于 D1点，连接 O1O3， O3D1 在直角 O 1O3D1中，根据勾股定理，就可以求出 O1D1，进而求出 D1D的长，得到平移的时间 【解答】解：（ 1）由题意得 OA=| 4|+|8|=12， A 点坐标为（ 12， 0） 在 RtAOC 中， OAC=60 ， OC=OAtanOAC=12tan60=12 C 点的坐标为（ 0， 12 ） 设直线 l 的解析式为 y=kx+b， 由 l过 A、 C两点， 得 ，解得 直线 l 的解析式为： y= x 12 （ 2）如图，设 O 2平移 t秒后到 O 3处与 O 1第一次外切于点 P， O 3与 x轴相切于 D1点，连接 O1O3， O3D1 则 O1O3=O1P+PO3=8+5=13 O 3D1x 轴， O 3D1=5， 在 RtO 1O3D1中， O 1D=O1O+OD=4+13=17， D 1D=O1D O1D1=17 12=5， （秒） O 2平移的时间为 5秒 【点评】本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的 2. （ 2018山东枣庄 8 分）如图，在 Rt ACB 中， C=90 ， AC=3cm， BC=4cm，以 BC 为直径作 O 交 AB于点 D （ 1）求线段 AD的长度； （ 2）点 E是线段 AC上的一点，试问：当点 E在什么位置时，直线 ED与 O相切？请说明理由 【分析】（ 1）由勾股定理易求得 AB 的长；可连接 CD，由圆周角定理知 CD AB，易知 ACD ABC，可得关于 AC、 AD、 AB 的比例关系式，即可求出 AD的长 （ 2）当 ED 与 O相切时，由切线长定理知 EC=ED，则 ECD= EDC，那么 A和 DEC就是等角的余角，由此可证得 AE=DE，即 E是 AC 的中点在证明时，可连接 OD，证 OD DE即可 【解答】解：（ 1）在 Rt ACB 中， AC=3cm， BC=4cm， ACB=90 ， AB=5cm； 连接 CD， BC为直径， ADC= BDC=90 ； A= A， ADC= ACB， Rt ADC Rt ACB； ， ； （ 2）当点 E是 AC的中点时， ED 与 O相切； 证明：连接 OD， DE是 Rt ADC的中线； ED=EC， EDC= ECD； OC=OD， ODC= OCD； EDO= EDC+ ODC= ECD+ OCD= ACB=90 ； ED OD， ED与 O相切 【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识 3. （ 2018四川成都 8 分） 如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 为 上一点，经过点， 的 分别交 ， 于点 ， ，连接 交 于点 . （ 1）求证： 是 的切线； （ 2）设 ， ，试用含 的代数式表示线段 的长； （ 3）若 ， ，求 的长 . 【答案】（ 1）如图，链接 CD AD为 BAC的角平分线， BAD= CAD. OA=OD， ODA= OAD， ODA= CAD. OD AC. 又 C=90 ， ODC=90 ， OD BC， BC是 O的切线 . （ 2）连接 DF， 由（ 1）可知， BC 为切线， FDC= DAF. CDA= CFD. AFD= ADB. 又 BAD= DAF， ABD ADF, , AD2=ABAF. AD2=xy, AD= （ 3）连接 EF 在 RtBOD中， sinB= , 设圆的半径为 r， ， r=5. AE=10,AB=18. AE是直径， AFE=90, 而 C=90 ， EF BC, AEF= B, sin AEF= . AF=AEsin AEF=10 = . AF OD, , DG= AD. AD= , DG= 【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】【分析】（ 1）连接 OD，根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，去证明 ODC=90 即可。 (2)连接 DF， DE，根据圆的切线，可证得 FDC= DAF，再证 CDA= CFD= AED，根据平角的定义可证得 AFD= ADB，从而可证得 ABD ABF，得出对应边成比例，可得出答案。（ 3）连接 EF，在 Rt BOD中，利用三角函数的定义求出圆的半径、 AE、 AB 的长，再证明 EF BC，得出 B= AEF，利用锐角三角函数的定义求出 AF的长，再根据 AF OD，得出线段成比例，求出 DG的长，然后可求出 AD 的长，从而可求得 DG的长。 4（ 2018山东菏泽 10 分 ）如图， ABC内接于 O， AB=AC， BAC=36 ，过点 A作 AD BC，与 ABC的平分线交于点 D， BD与 AC交于点 E，与 O交于点 F （ 1）求 DAF的度数； （ 2）求证： AE2=EFED； （ 3）求证： AD是 O的切线 【考点】 S9：相似三角形的判定与性质； M5：圆周角定理； MD：切线的判定 【分析】（ 1）求出 ABC、 ABD、 CBD的度数，求出 D度数，根据三角形内角和定理求出 BAF和 BAD度数，即可求出答案； （ 2）求出 AEF DEA，根据相似三角形的性质得出即可； （ 3）连接 AO，求出 OAD=90 即可 【解答】（ 1）解： AD BC， D= CBD， AB=AC， BAC=36 ， ABC= ACB= （ 180 BAC） =72 ， AFB= ACB=72 ， BD平分 ABC， ABD= CBD= ABC= 72=36 ， D= CBD=36 ， BAD=180 D ABD=180 36 36=108 ， BAF=180 ABF AFB=180 36 72=72 ， DAF= DAB FAB=108 72=36 ； （ 2）证明： CBD=36 ， FAC= CBD， FAC=36= D， AED= AEF， AEF DEA， = ， AE2=EF ED； （ 3）证明：连接 OA、 OF， ABF=36 ， AOF=2 ABF=72 ， OA=OF， OAF= OFA= （ 180 AOF） =54 ， 由（ 1）知 ADF=36 ， OAD=36 +54=90 ， 即 OA AD， OA为半径， AD是 O的切线 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键 5（ 2018江苏扬州 10 分 ）如图，在 ABC 中， AB=AC， AO BC 于点 O， OE AB 于点 E，以点 O 为圆心， OE为半径作半圆，交 AO 于点 F （ 1）求证： AC是 O的切线； （ 2）若点 F是 A的中点， OE=3，求图中阴影部分的面积； （ 3）在（ 2）的条 件下，点 P是 BC边上的动点，当 PE+PF 取最小值时，直接写出 BP的长 【分析】（ 1）作 OH AC于 H，如图，利用等腰三角形的性质得 AO 平分 BAC，再根据角平分线性质得 OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论； （ 2）先确定 OAE=30 ， AOE=60 ，再计算出 AE=3 ，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积 =S AOE S 扇形 EOF进行计算； （ 3）作 F点关于 BC 的对称点 F ，连接 EF 交 BC于 P，如图，利用两点之间线段最短得到此时 EP+FP 最小，通过证明 F= EAF 得到 PE+PF最小值为 3 ，然后计算出 OP 和 OB得到此时 PB的长 【解答】（ 1）证明：作 OH AC于 H，如图， AB=AC， AO BC 于点 O， AO平分 BAC， OE AB， OH AC， OH=OE， AC是 O的切线； （ 2）解： 点 F是 AO的中点， AO=2OF=3， 而 OE=3， OAE=30 ， AOE=60 ， AE= OE=3 ， 图中阴影部分的面积 =S AOE S 扇形 EOF= 3 3 = ； （ 3）解：作 F点关于 BC的对称点 F ，连接 EF 交 BC于 P，如图， PF=PF ， PE+PF=PE+PF=EF ，此时 EP+FP最小， OF=OF=OE ， F= OEF ， 而 AOE= F + OEF=60 ， F=30 ， F= EAF ， EF=EA=3 ， 即 PE+PF最小值为 3 ， 在 Rt OPF 中， OP= OF= ， 在 Rt