信号与系统的复习题5

4 连续时间信号与系统的复频域分析,4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯反变换 4.4 LTI系统的复频域分析 4.5 系统函数 4.6 系统的稳定性,4.1 拉普拉斯变换 4.1.1 拉普拉斯变换的定义,（1）从傅里叶积分到双边拉斯变换 当信号满足绝对可积条件时，可以进行以下傅里叶变换和反变换：许多信号并不满足此条件. 如:,用一个收敛因子 与 相乘，当为一个 足够大的正数,就可以使信号随时间的增长而衰 减. 从而可求出 的傅里叶变换，即,它的傅里叶反变换为将上式两边乘以 ，则得 令 ，从而,双边拉普拉斯变换,（2）单边拉普拉斯变换在实际问题中，用物理手段和实验方法所能记录与产生的一切信号都是有起始时刻的（有始信号),即说明: 为适应实际工程中使用的信号都有开始时刻， 定义了单边拉普拉斯变换，但在理论问题学习、研究中，可能遇到的信号就不单是因果信号，可能会有反因果信号，双边信号，时限信号等.,单边拉普拉斯变换, 如若信号在t=0处不包含冲激函数及其导数项，在求该信号的单边拉普拉斯变换时，积分下限写为“”或“”是一样的。 通常拉普拉斯变换与反变换用简记的形式表达，即本章主要讨论单边拉普拉斯变换。,4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域,拉普拉斯变换的收敛域： 使 满足绝对可积条件 的 值的范围，简记为ROC，常用S平面的阴影部分表示。 要求满足条件：收敛轴或收敛边界： 过 平行于虚轴的一条直线。对有始信号， 若满足下列条件：则收敛条件为,收敛域,【例】 信号,求收敛域。 解： 即 ，收敛坐标位于坐标原点，收敛轴即虚轴，收敛域为S平面的右半部。,j,0,【例】信号 ，求收敛域。解： 即收敛域为 。,【例】 信号 ，求收敛域。 解: 即收敛域为 。,【例】 信号 ，求收敛域。 解: 即对 没有要求，全平面收敛。对于任何有界的非周期信号，其能量有限，都为无条件收敛。,4.1.3 常用信号的拉普拉斯变换,（1）单位冲激信号即（2）单位阶跃信号即 常数A的拉普拉斯变换有,（3）指数信号即 （4）单边正弦信号即,（5）单边余弦信号 即 （6）单边衰减正弦信号即,（7）单边衰减余弦信号即,（8）t的正幂信号 （n为正整数）即 依此类推，可得即当n=1，即为单位斜坡函数时，有,4.2 拉普拉斯变换的性质 4.2.1 线性性质,若有则其中， 和 为任意常数，收敛域为两函数收敛域之重叠部分。【例】 求信号 的拉氏变换 解：由常用信号变换对有由线性性质得,例: 求下列图示信号的单边LAPLACE变换.,4.2.2 时移（延时）特性,若有 则注意: 区分4个时间函数,f(t-t0), f(t-t0)(t), f(t)(t-t0), f(t-t0)(t-t0), 只有f(t-t0)(t-t0)才可 以应用延时特性。,【例】 已知斜坡信号的拉氏变换为 ， 即 。试分别求 、 与 、 的拉氏变换。,解：由图可见， 和 两种信号，在 时，二者的波形相同，所以它们的拉普拉斯变换也相同，即,例: 求下列信号的单边LAPLACE变换,延时特性的一个重要应用是求有始周期信号的拉普拉斯变换。 设为周期为的周期函数，则可将分解表示为若 ，则根据延时特性可写出的象函数为,【例】 求图所示矩形脉冲序列的拉氏变换。 解： 该周期信号可写作 其中 为单个矩形脉冲其拉普拉斯变换为利用时移特性则得矩形脉冲序列的拉普拉斯变换为,【例】 求图所示正弦脉冲信号的拉普拉斯变换。 解：由于 因为 由拉普拉斯变换时移性质有 应用线性性质有,4.2.3 尺度变换（展缩性质）,若有则 则,4.2.4 频移特性,若有 则 则,4.2.5 时域微分定理,若有 ，且 存在。则 由此可以推导得出如果 为一有始函数，则 均为零， 则式可简化为,【例】 已知 ，试求其导数 的拉氏变换 解： 解法一：由基本定义式求 因为 导数为 所以 解法二：由微分性质求 已知 则 两种方法结果相同，但后者考虑了 。,【例】 和 的波形如图所示，求 、 信号及其他们一阶导数的拉普拉斯变换。,解 （1）求 和 的拉氏变换因为由时移特性、线性性质，可得由于单边拉氏变换的积分是从 开始的，故 与 两者拉氏变换相同，即,（2）求 和 的拉氏变换 由时域微分性质可得由图可知 ，代入上式即得,4.2.6 时域积分定理,若有 则 其中 为 积分的初始值。,【例】 已知 ，试利用阶跃信号的积分求的拉氏变换。 解：由于 可以推得利用积分特性式，考虑 ，则得即,【例】 求图(a)所示信号的 。解: 图示三角信号的表达式为,则有的图形如图（b）所示，即可表示为由单位阶跃信号变换对及延时性质、线性性质可得由图可见，是一个因果信号，所以由时域积分性质可得,例 求图（a）所示信号的 。,解 由图可知信号的表达式为对其求一阶导数得其波形如图（b）所示，其函数可表示为考虑拉普拉斯变换定义中积分限是从 到 ，所以有 又 ，应用时域积分性质，得,4.2.7 S域微分定理,若有则,4.2.8 S域积分定理,若有 则【例】 求 的拉氏变换。 解 因为 由此可得,4.2.9 初值定理,若有