一元微积分（第一章 函数、极限、连续）

一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.31第一章 函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是 LP 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理一、函数 1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】函数概念 ()yfx函数的两要素 定 义 域对 应 规 则函数的表示方法 显函数： ()yfx 隐函数：由方程 确定的函数 . ,0F()yx例： 确定了 1yxe01x 参数方程表示的函数：由方程 确定的函数 .()xty()y例： 确定了 .2ln(1)arctxy()fx 积分上限函数： ()()xfdt例： 2311t 概率表示的函数： ， 其中 为随机变量， 为实数.()FxPXxx 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数【例】 ； .,0()sinaxf1sin,0()xf一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.32如 A. 绝对值表示的函数 ；1xyB. 极限表示的函数 ；21()lim01nnxxfxC. 其他形式 202 1()a,x xf-符号函数10sgn()yx取整函数x2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】有界性： 在某区间 内有定义，若存在 ，对任意 ，总有 ， 则称()fxI0MxI()fxM在某区间 内有界.否则称 在某区间 内无界. ()fxI()fxI例： 21 1sin,(0;arctn,();,1,()2xxxRRe单调性： 在某区间 内有定义，若 ，当 时 ，就称()fxI12,I12x12()ff()fx单调上升；当 时， ，就称 单调下降 不含等号时称严格单增（或单减）. 1212()fx()fx奇偶性：若 ， 则称 为偶函数，偶函数的图形关于 轴对称；()fff y若 ，则称 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称()fxfx周期性： （主要是三角函数）()(0)Tf【例 1】 讨论 的奇偶性 【奇函数】2ln1fxx【例 2】 设 ，则 是（ ） si()tafe()fA. 偶函数 B. 无界函数 C. 周期函数 D. 单调函数【解】 因为 时， ，所以 非有界即为无界函数.2xk()fx()fx一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.333、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指） 常数函数- yC 幂函数- （ 为常数） 例：x 21,yxyx 指数函数- （ ） ，xya0,1axe 对数函数- （ ） ， ， loga,lnylgx 三角函数- sin,cos,tayxyxx 反三角函数- ari,artn4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概念，了解初等函数的概念】 复合函数 ； 为外层函数， 称为内层函数(),()()yfuxyfxf 反函数 的反函数为 或 .x11()【例】 称为是函数 的反函数.3 33yyx3yx【例】 看作是由 复合而成的复合函数.sinxe,sinue 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。【例】 设 ， ， 求 21()xf()lngx(),()fgxf【解】 2221ln()0g(x)1l()l()1f(=()nxxex或22l1l 1()ln()n10gfxfxx 或一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.34二、极限 【理解极限的概念，理解左、右极限的概念及极限存在与左、右极限的关系】1、 定义：若当 时， ，则称 x()fxAlim()xfA结论： 000lim()lixxxf()li()ff2、 性质【掌握极限的性质】极限存在的唯一性：极限存在则唯一局部有界性：若 ，则在 的一定范围内有 .lim()xfAx()fxM保号性：若 ，则在 的一定范围内 0)0()若 存在，则当 时，一定有 ()lixfgli(xglim()xf【例】 由 .0(0) 0()lim1,li()cosxUxfff【例】 由 .0(0) 0(lili,()xx fxff【例】 由 单调递增.2()lim0()()xaUafffx3、无穷小及其比较 【理解无穷小、无穷大及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限】定义：若 ， 则称 时， 为无穷小量li()0xfx()fx若 ，则称 时， 为无穷大量 （注意区别无穷大量与无界函数）m性质： 有限个无穷小的和（积）仍为无穷小 常数与无穷小的乘积仍为无穷小 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小【即 】(),li()0lim()0xxgMffg【例】 求 【0】2limarctn1x无穷小的比较一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.35若 和 为自变量同一变化趋势下的无穷小量， 若 ，称 是比 高阶的无穷小，记为 lim0x()o 若 ， （ ） ，称 和 为同阶无穷小lixC若 ，称 和 为等价无穷小，记为 li1x若 ，( ),则称 是 的 阶无穷小limkxC0k4. 求极限的方法 【掌握洛必塔法则、极限的四则运算法则、极限存在的两个准则、两个重要极限，会用它们求极限】. 用洛必塔法则求极限未定型 的极限一般可用洛必塔法则来求.00,1,型直接用， ，其他五种未定型的极限必须化为, 00()()limli )xxffgg存 在 或 为上述形式才能用洛必塔法则来求.【例 1】 求 00 0022lililimli2sin1cossncosx xxxeeee【例 2】 求 .22 23200 000i11iinincos1liml()lllim6xx xxx【例 3】 求 . 2222300000tatansetanlililimlilitann 3xxxxx【例 4】 求 . 1l1limliepeplieplim1xxxxx xxe【例 5】 求 . 2220 003sin13sin3sin31l lml(1co)l( 2x x xx xx一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.36【例 6】 120 120120ln12 lnllnlimlimnlnimxxnx xxxxxxa aaaaaeee 求【例 7】 （2009 数三）求 30coscoscos220 0in3lilil213xxxxxeee利用四则运算法则求极限（和、差、积、商的极限当每一个极限存在且分母极限不为零时可分别求）【例 1】 求 112233limlixx xxx【例 2】 求 44li(3)limlim2313n n nn【例 3】 求 .22010lim231li().()1nnnn n利用左、右极限求极限 000li()lim()li()xxxfAffA【例 1】 设 ， 求 n(1()10fxxx 0li()xf【解】 ， 00012lim()lilim1()xx xf x ， 00n()lilixxf则 =1 ()【例】 求 01limarctnxxe一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.37【解】 ；0011limarctnlim()2x xe ，则 00 01 11liarctnliarctnlim2x x xxee 01limarctn2xxe利用极限存在的两个准则求极限（）若 ，且 ，则 ()()gxfhxli()li()xxghAli()xfA（）若数列 单调递增有上界（或数列 单调递减有下界） ，则数列 一定有极限n n n【例 1】 求 2221lim( )nn【解】 因 222222) 1(1)(1nn而 ，22)()1lili(nnn则 2221lim)n 【例】 求 10linnxd【解】 ，则 10,00323()21nx xdn时 10lim2nnxd或 1100 03limlilim()li,(,)22nnn nnxddx 【例】 设 ，其中 ，求 1()2nnaxx 0,xlinx【证】 ，即数列有下界1()nnna一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.38即 ，即数列单调递减，由单调有界原理知数列 有极121()()nnxax1nx nx限，设 ， 则 ， 即 ，limA1lilim()2nnax 1()2aAA则 .linax【例 4】 设 110,limnnnxx求【解】 ，2, 21axaaa假设 ， 则 ，所以 有上界；n1 1nnx a nx因 1210, ,xx假设 ，那么n，所以 单调递增；11 1 0nnnnxxaxa nx由于 数列 单调递增有上界，所以数列 一定有极限，设 n limnA在 两边取极限，有 1nnxa 14li2naAax总结：给出了 与 的关系式（ ） ，要求 ，一般用单调有界准则（首先证明极限存1nx1()nnxflin在，再两边取极限）.利用两个重要极限求极限 （与三角函数有关 的型的极限）0()0sinsin()lm1l1xx0 （ 型的极限）()()li()limx xx xee10lim()xxe1【例 1】 求 .2()32li(1)li(12li() xaxxx xaae 一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.39【例 2】 求 .10lim()li1nnn e. 利用“有界函数与无穷小量相乘仍是无穷小量”求极限若 ，且 ，则 ()fxMli()0xglim()0xfgx【例 1】 求 lim(sn1si)x解： 11li(ssi)li2cossin2x xxxlimix x而 ，11cos,lisn022xxx故 .lim(nsi)0x【例 2】 求 .3232221coscoslilim1(in)(in)x xx. 利用等价无穷小代换求极限 定理：若 ， 则 （注：乘除可以换，加减不能换）11,:1lilixx常见的等价无穷小：时，0xsin,ta,rcsin,art,ln()xxex:21co()1x:【例 1】 求 20sinlim1xxe【解】原式 2200lilixx一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.310【例 2】求 ( 注： )30tansilimxx30tansilimxx30l【解】 原式 3330002tisi1co)1lillixx x（乘积中某一部分极限存在且不为零，可先求出此极限）【例 3】 已知 ， 求 20()ln1siim3xxfe20()limxf【解】 ，则2000()()()sillilisnxxxfff20()li6xf【例 4】 求 2013icolm(1s)ln()xx【解】 原式 .20 0i3sin13l lm(cos)022x xx.利用函数的极限求数列的极限 (注：数列非连续，不可直接使用罗必塔法则)【例】 求 1ln1imlilimlilixxnxe利用变量代换求极限【例 1】 已知 ， 求 0li2(3)xf0(2)li_xf【解】 令： ，则 .t000003(2)()12limlilimlilim()()(2) 3xtt txtftffff【例 2】 求 2 21000liln() 1ln() 1lilili2()2x tttxt t.极限值已知，确定未知常数.一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.311【例 1】 已知 ，求 21lim()0xaxb,ab【解】 22(1)1li()li 0x x x解得：10()ab,ab【例 2】 设当 时， 是比 高阶的无穷小，求 . x2(1)xe2x,ab【解】 由已知得 , 20lim0xab即 0 0li li 1xxeeab又 ，00221lili02xxaba则 ， 1【例 3】 （2009 数 1、2、3） 当 时， 与 为等价无穷小量，求 .0xsinxa2l(1)xb,ab【解】 ,2 320 000sincoslimlimli lim1cos()x xx xabb于是 再由 .1,22001coslili 6x xb则 6ab总结：求 型极限，若乘积因子中有等价无穷小量可先代换；若有非零的乘积因子可先计算出其极限；0若仍为 型，此时考虑用罗必塔法则，同时结合其他求极限的方法.二连续性 【理解函数连续的概念（含左连续与右连续） ，会判断函数间断点的类型】 1、 连续的定义：若 （ ） ， 则称函数00lim()xfx000limli()(xxyfxf()fx在 点连续0x一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.3122、 间断点及其分类：若函数 在 点不连续，则 点称为 的间断点()fx00x()fx第一类间断点：左、右极限都存在的间断点（左、右极限不相等的为跳跃间断点，左、右极限相等的间断点为可去间断点） 第二类间断点：非第一类的间断点（注：一般地，分段函数的分段点及分式函数中分母为 0 的点都有可能为间断点）3、 初等函数的连续性【了解连续函数的性质和初等函数的连续性】1 基本初等函数在其定义域内都是连续的； 2 初等函数在其定义区间内都是连续的； 3 单调连续函数的反函数在相对应的区间上仍为单调连续函数【例 1】 讨论下列函数的连续性，若有间断点，判别其类型. . 1()xfe【解】 因为 ，001lim()lixxxfe所以 为第二类无穷型间断点，因为 ， ，11li()lixxxfe11lim()lixxxfe所以 为第一类跳跃间断点 . 【 ， 为第一类可去间断点， 为第二类无穷型间断点】()ln1xf0x12x【解】 ， ， 为 的间断点，02()f且因为 11lim()li0nxxf，000li()lili1()xxxf，22li()lin1xxf所以 ， 为第一类可去间断点， 为第二类无穷型间断点02x一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.313【例 2】 函数（ A ）在其定义域内连续，A B. 1()cosfxxsin0()coxfC. D. 0()1fx1()0xf【解】 为初等函数，其定义域为 ，即其定义区间为 ，()cosf(,0)(,)由初等函数连续性的性质知 A 正确. 而 B、 C 、 D 的定义域均为 R，其中在 处均不连续.x【例 3】 设 ， 如何选择 ，使 在 内连续 210()xefaa()fx,【解】 时， 为初等函数， 时， 为初等函数，均连续，0x2()xef 0x()f要使 在 内连续，只需在 时连续即可.f,即 时， 在 内连200001lim()lilim()li()2xx xxef fa()fx,续【例】 讨论函数 的连续性，若有间断点，判断其类型.21()linnxfx【解】 ，21()lim01nnf xx， ，则 为第一类跳跃间断点；11li()lixxf11li()limxxf1x， ，则 为第一类跳跃间断点11lilixxf11lilixxf【例 5】 （2009 数 1、2、3）函数 的可去间断点的个数为 .3()sinfx_一元微积分-第一章 函数、极限、连续 禹春福 2009.314【解】 由 均为 的间断点，sin0,12x 3()sinxf而 ；320001lim()lilimsncoxxxf3211li()limlisncosxxxf，321